3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

1、3.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)三維目標(biāo)：1. 知識(shí)與技能：了解平均變化率與割線斜率之間的關(guān)系；2. 過(guò)程與方法：理解曲線的切線的概念；3. 情態(tài)與價(jià)值：通過(guò)函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義并會(huì)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題； 教學(xué)重點(diǎn)：曲線的切線的概念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)方法：討論法教學(xué)工具：多媒體教學(xué)課時(shí)：1課時(shí)教學(xué)過(guò)程：創(chuàng)設(shè)情景(一) 平均變化率、割線的斜率(二) 瞬時(shí)速度、導(dǎo)數(shù)我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=xo處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y=f(x)在x=xo附近 的變化情況，導(dǎo)數(shù)f (xj的幾何意義是什么呢？新課講授(一)曲線的切線及切線的斜率：如

2、圖3.1-2，當(dāng)Pn(Xn,f (xn)( n,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點(diǎn)P(xo, f(x0)時(shí)，割線PPn的變化趨勢(shì)是什么？圖 3.1-2我們發(fā)現(xiàn),當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn) P即厶xT0時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線.問題：害熾PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么關(guān)系?切線PT的斜率k為多少?容易知道，割線PPn的斜率是 人二"小 f(Xo),當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無(wú)限接近點(diǎn) P時(shí)，心無(wú)限xn - x0趨近于切線PT的斜率k ,即k二嘰f(Xo小 fW = f(x0)說(shuō)明：(1)設(shè)切線的傾斜角為 a ,那么當(dāng) XT 0時(shí),割

3、線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線 的斜率這個(gè)概念：提供了求曲線上某點(diǎn)切線的斜率的一種方法；切線斜率的本質(zhì)一函數(shù)在X = X)處的導(dǎo)數(shù)(2)曲線在某點(diǎn)處的切線：1)與該點(diǎn)的位置有關(guān)；2)要根據(jù)割線是否有極限位置來(lái)判斷與 求解如有極限，則在此點(diǎn)有切線，且切線是唯一的；如不存在，則在此點(diǎn)處無(wú)切線；3)曲線的切 線,并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以無(wú)窮多個(gè)(二)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f (x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(diǎn) (x0，f (x0)處的切線的斜率，f（xo）= imof(X。 ：X)- f(X。)Z-3 -說(shuō)明：求曲線在某點(diǎn)處的切線方程的基本步驟求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；求出函數(shù)

4、在點(diǎn)x0處的變化率f(X。)= lirn，of （Xo：X）- f （Xo）Ax,得到曲線在點(diǎn)-# -# -(Xo, f (Xo)的切線的斜率；利用點(diǎn)斜式求切線方程(二)導(dǎo)函數(shù)：由函數(shù)f (x)在X=Xo處求導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)時(shí)，f (Xo)是一個(gè)確定的數(shù)，那么，當(dāng)X變化時(shí)，便是X的一個(gè)函數(shù)，我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作：f (x)或y ,f(X" y 二嘰f （x：x） - f （x）Ax注：在不致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù).(三)函數(shù)f (X)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)f (Xo)、導(dǎo)函數(shù)f(x)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。1) 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)f(Xo)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與

5、自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。2) 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的，就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)3) 函數(shù)f (X)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)f'(xo)就是導(dǎo)函數(shù)f(x)在x=xo處的函數(shù)值，這也是 求函數(shù) 在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。典例分析2例1: (1)求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程2(2)求函數(shù)y=3x在點(diǎn)(1,3)處的導(dǎo)數(shù)解: ( 1)y 1x4(1 X)21 (121)Z所以，所求切線的斜率為2,因此，所求的切線方程為y_2 =2(x_1)即 2x_y = 0(2)因?yàn)閥x3x2 一3 12x1= lim3x 1 x1=lim3(

6、 x 1) =6所以，所求切線的斜率為6,因此，所求的切線方程為y3 = 6(x1)即 6x - y - 3 = 0(2)求函數(shù)f(x)= -x2在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解:逍 一(一1 ：x)2(-1：x) -2xx一(一1：x)2(-1：x) -2Ax_：x) =3例2.(課本例2)如圖3.1-3，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)2h(x)二-4.9x - 6.5x 10，根據(jù)圖像，請(qǐng)描述、比較曲線h(t)在t0、t1、t2附近的變化情況.解：我們用曲線h(t)在t0、t1、t2處的切線，刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況.(1) 當(dāng)t二t0時(shí)，曲線

7、h(t)在t0處的切線l0平行于x軸，所以，在t二t。附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.(2) 當(dāng)t二E時(shí)，曲線h(t)在t,處的切線h的斜率h(t1)：0，所以，在t二£附近曲線下降,即函數(shù)h(x)二-4.9x2 6.5x 10在t1附近單調(diào)遞減.(3)當(dāng)t珂2時(shí)，曲線h(t)在t2處的切線12的斜率h(t2)：0，所以，在t=t2附近曲線下降,即函數(shù)h(x)二-4.9x26.5x 10在t =t2附近單調(diào)遞減.從圖3.1-3可以看出，直線h的傾斜程度小于直線12的傾斜程度，這說(shuō)明曲線在 右附近比在 t2附近下降的緩慢.例3.(課本例3)如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度c =

8、 f(t)(單位：mg/mL)隨時(shí)間t (單位：min )變化的圖象根據(jù)圖像，估計(jì)t =0.2,0.4,0.6,0.8時(shí)，血管中藥物濃度的瞬時(shí)變化率(精確到 0.1 ).解：血管中某一時(shí)刻藥物濃度的瞬時(shí)變化率，就是藥物濃度f(wàn) (t)在此時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)，從圖像上看，它表示曲線 f(t)在此點(diǎn)處的切線的斜率.如圖3.1-4，畫出曲線上某點(diǎn)處的切線，利用網(wǎng)格估計(jì)這條切線的斜率，可以得到此時(shí)刻藥物 濃度瞬時(shí)變化率的近似值.作t =0.8處的切線，并在切線上去兩點(diǎn)，如(0.7,0.91) , (1.0,0.48)，則它的斜率為：,0.48-0.91,k1.41.0-0.7所以 f (0.8) ： -1.4下表給出了藥物濃度瞬時(shí)變化率的估計(jì)值：t0.20.40.60.8藥物濃度瞬時(shí)變化率f '(t)0.40-0.7-1.4課堂練習(xí)：3