Poisson泊松分布及應(yīng)用

1、Poisson分布及其應(yīng)用分布及其應(yīng)用一、一、Possion分布的概念分布的概念 Possion分布由法國(guó)數(shù)學(xué)家分布由法國(guó)數(shù)學(xué)家S.D.Possion創(chuàng)立的，創(chuàng)立的，用以描述罕見(jiàn)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。也可視為用以描述罕見(jiàn)事件發(fā)生次數(shù)的概率分布。也可視為觀(guān)察例數(shù)觀(guān)察例數(shù)n很大，發(fā)生的概率很大，發(fā)生的概率很小時(shí)二項(xiàng)分布很小時(shí)二項(xiàng)分布B（ n,）的極限情形。）的極限情形。 以一毫升水樣中大腸桿菌數(shù)為例。設(shè)某河中，以一毫升水樣中大腸桿菌數(shù)為例。設(shè)某河中，平均每毫升水中有平均每毫升水中有個(gè)大腸桿菌，從該河中隨機(jī)抽取個(gè)大腸桿菌，從該河中隨機(jī)抽取一毫升水，將一毫升水，將1毫升水等分成毫升水等分成n個(gè)相當(dāng)于

2、一個(gè)大腸桿個(gè)相當(dāng)于一個(gè)大腸桿菌的微小體積，則每個(gè)體積中平均大腸桿菌數(shù)為菌的微小體積，則每個(gè)體積中平均大腸桿菌數(shù)為/ n。這里。這里n很大，每一個(gè)微小體積可能是水也可能是很大，每一個(gè)微小體積可能是水也可能是大腸桿菌，大腸桿菌數(shù)與大腸桿菌，大腸桿菌數(shù)與n之比為之比為p， p很小很小，很小很小，因此一毫升水樣中大腸桿菌數(shù)是一罕見(jiàn)事件。因此一毫升水樣中大腸桿菌數(shù)是一罕見(jiàn)事件。分析：分析：每個(gè)體積中只能有兩種結(jié)果，每個(gè)體積中只能有兩種結(jié)果，每個(gè)每個(gè)體積中出現(xiàn)大腸桿菌數(shù)的概率均為體積中出現(xiàn)大腸桿菌數(shù)的概率均為/ n 。不同不同體積上大腸桿菌出現(xiàn)與否相互獨(dú)立。體積上大腸桿菌出現(xiàn)與否相互獨(dú)立。 因此，在這因此

3、，在這n個(gè)體積中出現(xiàn)的大腸桿菌數(shù)服個(gè)體積中出現(xiàn)的大腸桿菌數(shù)服從二項(xiàng)分布從二項(xiàng)分布B（ n, / n ），概率函數(shù)為），概率函數(shù)為 xnxxnnnCXP 1數(shù)學(xué)上可以證明，當(dāng)數(shù)學(xué)上可以證明，當(dāng) n 時(shí)，時(shí)，P（X）的極限為）的極限為!)(xeXPx !)(XeXPX 若稀有事件發(fā)生數(shù)為若稀有事件發(fā)生數(shù)為0，1，2，其相應(yīng)，其相應(yīng)的概率函數(shù)為的概率函數(shù)為 ，則稱(chēng)此變量，則稱(chēng)此變量服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的Poisson分布。分布。式中，式中， X為觀(guān)察單位內(nèi)某稀有事件的發(fā)生數(shù)；為觀(guān)察單位內(nèi)某稀有事件的發(fā)生數(shù)；e為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，約等于為自然對(duì)數(shù)的底，為常數(shù)，約等于2.71828 ，為為Pois

4、son分布的總體均數(shù)，分布的總體均數(shù)，=n 或?yàn)橛^(guān)察單或?yàn)橛^(guān)察單位內(nèi)的平均發(fā)生數(shù)。位內(nèi)的平均發(fā)生數(shù)。Poisson分布的應(yīng)用條件分布的應(yīng)用條件1 必須符合二項(xiàng)分布的三個(gè)條件。必須符合二項(xiàng)分布的三個(gè)條件。2 要求要求或或1-接近接近0或或1（例如（例如0.999）例如，上例中平均每毫升水中有例如，上例中平均每毫升水中有8個(gè)細(xì)菌，則從該河個(gè)細(xì)菌，則從該河中隨機(jī)抽取中隨機(jī)抽取1毫升水中的細(xì)菌數(shù)毫升水中的細(xì)菌數(shù)X服從服從=8的的Poisson分分布。布。!)(xexeXPxx88 求求1毫升水中不含細(xì)菌的概率，含毫升水中不含細(xì)菌的概率，含1個(gè)細(xì)菌的概率個(gè)細(xì)菌的概率408103543080 .!)(eP

5、318106842181 .!)(ePPoisson分布可視為觀(guān)察例數(shù)分布可視為觀(guān)察例數(shù)n很大，發(fā)生的很大，發(fā)生的概率概率很小時(shí)二項(xiàng)分布很小時(shí)二項(xiàng)分布B（ n,）的極限情形。）的極限情形。當(dāng)當(dāng)n很大時(shí)，二項(xiàng)分布概率的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，很大時(shí)，二項(xiàng)分布概率的計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，利用二項(xiàng)分布的利用二項(xiàng)分布的Poisson近似這一性質(zhì)，當(dāng)近似這一性質(zhì)，當(dāng)n很大且很大且(0.01)很小時(shí)，可以用很小時(shí)，可以用Poisson分分布的概率計(jì)算近似代替二項(xiàng)分布的概率計(jì)布的概率計(jì)算近似代替二項(xiàng)分布的概率計(jì)算。算。例例4-7 如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病概率如果某地新生兒先天性心臟病的發(fā)病概率為為8那么該地那么該地1

6、20名新生兒中有名新生兒中有4人患先天性心臟人患先天性心臟病的概率有多大？病的概率有多大？分析：新生兒先天性心臟病的發(fā)病率分析：新生兒先天性心臟病的發(fā)病率= 8，新，新生兒人數(shù)生兒人數(shù)n=120，其中患先天性心臟病的人數(shù)服，其中患先天性心臟病的人數(shù)服從二項(xiàng)分布。因?yàn)閺亩?xiàng)分布。因?yàn)?較小，較小，120較大，也可以認(rèn)較大，也可以認(rèn)為患先天性心臟病的人數(shù)近似地服從為患先天性心臟病的人數(shù)近似地服從Poisson分布。分布。96. 0008. 0120 n014. 0! 496. 0)4(496. 0 eXP二、二、 Poisson分布的特征分布的特征（1） Poisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等

7、，分布的總體均數(shù)與總體方差相等，均為均為。 若從該河中隨機(jī)抽取無(wú)數(shù)個(gè)若從該河中隨機(jī)抽取無(wú)數(shù)個(gè)1毫升水，顯然毫升水，顯然1毫升水中的細(xì)菌數(shù)毫升水中的細(xì)菌數(shù)X各不相同，這些細(xì)菌數(shù)各不相同，這些細(xì)菌數(shù)X的的總體均數(shù)即總體均數(shù)即Poisson分布的參數(shù)分布的參數(shù)，而且這些細(xì)菌，而且這些細(xì)菌數(shù)數(shù)X的總體方差也等于此參數(shù)的總體方差也等于此參數(shù)。（2） Possion分布的觀(guān)察結(jié)果有可加性。分布的觀(guān)察結(jié)果有可加性。若從總?cè)魪目傮w均數(shù)為體均數(shù)為1 的的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出一份樣本，分布總體中隨機(jī)抽出一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為X1，再獨(dú)立地從總體均數(shù)為，再獨(dú)立地從總體

8、均數(shù)為2的的Poisson分布總體中隨機(jī)抽出另一份樣本，其中稀有分布總體中隨機(jī)抽出另一份樣本，其中稀有事件的發(fā)生次數(shù)為事件的發(fā)生次數(shù)為X2，則它們的合計(jì)發(fā)生數(shù)，則它們的合計(jì)發(fā)生數(shù)T=X1+X2也也服從服從Poisson分布，總體均數(shù)為分布，總體均數(shù)為1 + 2 。 上述性質(zhì)推廣到多個(gè)上述性質(zhì)推廣到多個(gè)Poisson分布的情形，例如，分布的情形，例如，上例中，平均每毫升水含有上例中，平均每毫升水含有8個(gè)細(xì)菌，從該河中獨(dú)立地個(gè)細(xì)菌，從該河中獨(dú)立地取水樣取水樣5次，每次水樣中的細(xì)菌數(shù)分別為次，每次水樣中的細(xì)菌數(shù)分別為Xi，均服從，均服從=8的的Poisson分布，那么把分布，那么把5份水樣混合，其合

9、計(jì)菌落數(shù)也份水樣混合，其合計(jì)菌落數(shù)也服從服從=40 的的Poisson分布，分布，若已知參數(shù)若已知參數(shù)的取值，則可按的取值，則可按Poisson分布的概率函分布的概率函數(shù)式計(jì)算不同數(shù)式計(jì)算不同X值時(shí)的概率，然后以值時(shí)的概率，然后以X為橫軸，以取為橫軸，以取值概率值概率P為縱軸，可繪制出為縱軸，可繪制出Poisson分布的圖形。分布的圖形。（3） Poisson分布的圖形特征分布的圖形特征0.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.200.220.240.260.280100.000.020.040.060.080.100.120.140.160.180.

10、200102 4 6 8 10 =22 4 6 8 10 12 =40.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170100.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.100.110.120.130.140.150.160.170102 4 6 8 10 12 14 16 =62 4 6 8 10 12 14 16 18 =10由前面的由前面的Poisson分布圖可見(jiàn)，當(dāng)總體均分布圖可見(jiàn)，當(dāng)總體均數(shù)數(shù)較小時(shí)，為偏峰，較小時(shí)，為偏峰，越小分布愈偏，隨越小分布愈偏，

11、隨的增大，的增大， Poisson分布的對(duì)稱(chēng)性越來(lái)越好。分布的對(duì)稱(chēng)性越來(lái)越好。 當(dāng)當(dāng)20時(shí)，時(shí)， Poisson分布近似正態(tài)分布分布近似正態(tài)分布),( N利用利用Poisson分布的正態(tài)近似性，可以分布的正態(tài)近似性，可以解決不少解決不少Poisson分布的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。分布的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題。三、三、 Possion分布的應(yīng)用分布的應(yīng)用（一）概率估計(jì)（一）概率估計(jì)（二）單側(cè)累計(jì)概率計(jì)算（二）單側(cè)累計(jì)概率計(jì)算若稀有事件發(fā)生次數(shù)的總體均數(shù)為若稀有事件發(fā)生次數(shù)的總體均數(shù)為，那么該稀有事件，那么該稀有事件發(fā)生次數(shù)至多為發(fā)生次數(shù)至多為k次的概率為次的概率為 kXXXekXP0!)( 若稀有事件發(fā)生次數(shù)的總體

12、均數(shù)為若稀有事件發(fā)生次數(shù)的總體均數(shù)為，那么該稀有事，那么該稀有事件發(fā)生次數(shù)至少為件發(fā)生次數(shù)至少為k次的概率為次的概率為 kXXXekXPkXP0!111)( 例例4-8 例例4-7中，至多有中，至多有4人患先天性心臟病的概論人患先天性心臟病的概論有多大？至少有有多大？至少有5人患先天性心臟病的概率有多大？人患先天性心臟病的概率有多大？至多有至多有4人患先天性心臟病的概率為人患先天性心臟病的概率為997. 0! 496. 0! 396. 0! 296. 0! 196. 0! 096. 0!96. 0)()4(496. 0396. 0296. 0196. 0096. 04096. 040 eeee

13、eXeXPXPXXX至少有至少有5人患先天性心臟病的概率為人患先天性心臟病的概率為 003. 0997. 0141)5( XPXP例例4-9 實(shí)驗(yàn)顯示某實(shí)驗(yàn)顯示某100cm2的培養(yǎng)皿中平均菌落數(shù)為的培養(yǎng)皿中平均菌落數(shù)為6個(gè)，試估計(jì)該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)小于個(gè)，試估計(jì)該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)小于3個(gè)的概率，大個(gè)的概率，大于于1個(gè)的概率。個(gè)的概率。分析：分析：因培養(yǎng)皿中菌落數(shù)服從因培養(yǎng)皿中菌落數(shù)服從Poisson分布，因此分布，因此可用可用Poisson分布的概率函數(shù)來(lái)計(jì)算分布的概率函數(shù)來(lái)計(jì)算該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)小于該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)小于3個(gè)的概率個(gè)的概率 062. 0! 26! 16! 06! 0632026160

14、60620 XXeeeeXPXP該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)大于該培養(yǎng)皿中菌落數(shù)大于1個(gè)的概率個(gè)的概率 983. 0! 16! 06110111606 eeXPXPXP三、三、 Poisson分布的正態(tài)近似法分布的正態(tài)近似法 當(dāng)當(dāng)20時(shí)，依據(jù)時(shí)，依據(jù)Poisson分布近似正態(tài)分布的原理，分布近似正態(tài)分布的原理，可以對(duì)其總體均數(shù)進(jìn)行推斷?？梢詫?duì)其總體均數(shù)進(jìn)行推斷。（一）一組樣本資料的（一）一組樣本資料的Z檢驗(yàn)檢驗(yàn) 0100: : HH00 XZ為為Poisson分布的總體均數(shù)，分布的總體均數(shù)，0為已知的一個(gè)定值。為已知的一個(gè)定值。例例6-10 某地十年前計(jì)劃到某地十年前計(jì)劃到2000年把孕產(chǎn)婦死亡率年把孕產(chǎn)

15、婦死亡率降到降到25/10萬(wàn)以下，萬(wàn)以下，2000年監(jiān)測(cè)資料顯示，該地區(qū)年監(jiān)測(cè)資料顯示，該地區(qū)平均而言，每平均而言，每10萬(wàn)例活產(chǎn)兒孕產(chǎn)婦死亡萬(wàn)例活產(chǎn)兒孕產(chǎn)婦死亡31人，問(wèn)該人，問(wèn)該地區(qū)降低孕產(chǎn)婦死亡的目標(biāo)是否達(dá)到？地區(qū)降低孕產(chǎn)婦死亡的目標(biāo)是否達(dá)到？了了預(yù)預(yù)定定目目標(biāo)標(biāo)。，可可以以認(rèn)認(rèn)為為該該地地區(qū)區(qū)達(dá)達(dá)到到不不拒拒絕絕值值，做做推推斷斷結(jié)結(jié)論論確確定定計(jì)計(jì)算算檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量：，：準(zhǔn)準(zhǔn)建建立立假假設(shè)設(shè)，確確定定檢檢驗(yàn)驗(yàn)水水005. 010H 0.05,P . 32 . 12525-31Z2.0.05 25H 25 1 ZZPH （二）兩組獨(dú)立樣本資料的（二）兩組獨(dú)立樣本資料的Z檢驗(yàn)檢驗(yàn)應(yīng)

16、用條件：兩總體均數(shù)均大于應(yīng)用條件：兩總體均數(shù)均大于202121XXXXZ 當(dāng)兩樣本觀(guān)測(cè)單位數(shù)相等時(shí)，計(jì)算檢驗(yàn)當(dāng)兩樣本觀(guān)測(cè)單位數(shù)相等時(shí)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為統(tǒng)計(jì)量為假設(shè)為假設(shè)為211210:,: HH當(dāng)兩樣本觀(guān)測(cè)單位數(shù)不相等時(shí)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)當(dāng)兩樣本觀(guān)測(cè)單位數(shù)不相等時(shí)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為計(jì)量為221121nXnXXXZ 例例6-11 甲、乙兩檢驗(yàn)師分別觀(guān)察甲、乙兩檢驗(yàn)師分別觀(guān)察15名正常人末梢名正常人末梢血嗜堿性白細(xì)胞數(shù)量，每張血片均觀(guān)察血嗜堿性白細(xì)胞數(shù)量，每張血片均觀(guān)察200個(gè)視野，個(gè)視野，結(jié)果甲計(jì)數(shù)到嗜堿性粒細(xì)胞結(jié)果甲計(jì)數(shù)到嗜堿性粒細(xì)胞26個(gè)，乙計(jì)數(shù)到個(gè)，乙計(jì)數(shù)到29個(gè)。個(gè)。試問(wèn)兩位檢驗(yàn)師檢查結(jié)果是否一致？試問(wèn)兩位檢驗(yàn)師檢查結(jié)果是否一致？2 計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量40452. 029262926 Z1 建立檢驗(yàn)假設(shè)建立檢驗(yàn)假設(shè)0.05 :,:211210 HH3 確定確定P值和做推斷值和做推斷0.05P 05. 0 ZZ按按=0。05水準(zhǔn)，尚不能拒絕水準(zhǔn)，尚不能拒絕H0，尚不能認(rèn)，尚不能認(rèn)為兩檢驗(yàn)師檢查結(jié)果有差異。為兩檢驗(yàn)師檢查結(jié)果有差異。例例6-12 某車(chē)間改革生產(chǎn)工藝前，測(cè)得三次粉塵濃度，某車(chē)間改革生產(chǎn)工藝前，測(cè)得三次粉塵濃度，每升空氣中分別有每升空氣中分別有38、29、36顆粉塵；改進(jìn)工藝后，顆粉塵；改進(jìn)工藝后，測(cè)取兩次，