數(shù)字信號(hào)處理第7章答案

1、多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章第7章多采樣率數(shù)字信號(hào)處理7.1引言引言7.2學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式7.3采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)7.4教材第教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答章習(xí)題與上機(jī)題解答 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章 7.1 引引 言言本章內(nèi)容與教材第8章內(nèi)容相對(duì)應(yīng)。在實(shí)際系統(tǒng)中， 經(jīng)常會(huì)遇到采樣率的轉(zhuǎn)換問(wèn)題， 要求一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)能工作在“多采樣率”狀態(tài)。 這樣的系統(tǒng)中， 不同處理階段或不同單元的采樣頻率可能不同。 例如， 在DSP開(kāi)發(fā)仿真實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中， 為了抗混疊濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單， 降低系統(tǒng)復(fù)雜度， 應(yīng)先統(tǒng)一對(duì)模擬信號(hào)以系統(tǒng)最高采樣頻率采樣， 然后， 根據(jù)實(shí)驗(yàn)者選擇的

2、各種采樣頻率， 在數(shù)字域改變采樣頻率。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章由于在數(shù)字域改變采樣頻率完全用軟件實(shí)現(xiàn)， 所以， 采樣頻率可以任意選擇， 又避免了對(duì)各種不同的采樣頻率設(shè)計(jì)各種不同的抗混疊模擬濾波器， 從而使系統(tǒng)復(fù)雜度大大降低。 采樣率轉(zhuǎn)換在現(xiàn)代通信、 信號(hào)處理和圖像處理等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用， 應(yīng)用實(shí)例舉不勝舉， 本科大學(xué)生能理解的幾種實(shí)例在教材8.1節(jié)有介紹， 這里不再重復(fù)。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章7.2 學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式學(xué)習(xí)要點(diǎn)及重要公式本章要求學(xué)生熟悉采樣率轉(zhuǎn)換的基本概念和種類， 了解采樣率轉(zhuǎn)換的應(yīng)用價(jià)值和適用場(chǎng)合， 掌握三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)（整數(shù)因子D抽取、 整數(shù)因子I插值和有

3、理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換）的基本原理、 構(gòu)成原理方框圖及其各種高效實(shí)現(xiàn)方法（FIR直接實(shí)現(xiàn)、 多相濾波器實(shí)現(xiàn))， 每種實(shí)現(xiàn)方法的特點(diǎn)。 這些專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)對(duì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)、 設(shè)計(jì)、 開(kāi)發(fā)工作在多采樣率狀態(tài)的各種復(fù)雜系統(tǒng)是極其重要的。 采樣率轉(zhuǎn)換的基本概念和種類， 以及應(yīng)用價(jià)值和適用場(chǎng)合在教材中已有較詳細(xì)的介紹， 這里不再重復(fù)。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章下面對(duì)三種常用的采樣率轉(zhuǎn)換基本系統(tǒng)的重要知識(shí)點(diǎn)及相關(guān)公式進(jìn)行歸納總結(jié)， 以便讀者復(fù)習(xí)鞏固。 值得注意， 要理解采樣率轉(zhuǎn)換原理， 必須熟悉時(shí)域采樣概念、 時(shí)域采樣信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)、 時(shí)域采樣定理。 此外， 時(shí)域離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析和變換（Z變換、 傅

4、里葉變換）域分析理論是本章的分析工具。 只有熟練掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)， 才能掌握本章的知識(shí)， 否則， 無(wú)法理解本章內(nèi)容。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章7.2.1 整數(shù)因子D抽取1. 整數(shù)因子整數(shù)因子D抽取器原理框圖抽取器原理框圖按整數(shù)因子D對(duì)x(n)抽取的原理方框圖如圖7.2.1所示。圖7.2.1 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章2. 整數(shù)因子抽取器的功能整數(shù)因子抽取器的功能整數(shù)因子抽取器的功能表現(xiàn)為： 輸出端信號(hào)采樣頻率Fy降為輸入端信號(hào)采樣頻率Fx的1/D， 即Fy=Fx/D。 3. 知識(shí)要點(diǎn)及重要公式知識(shí)要點(diǎn)及重要公式經(jīng)過(guò)抽取使采樣率降低， 會(huì)引起新的頻譜混疊失真， 所以， 必須在抽取前進(jìn)行抗混疊濾波。

5、 抗混疊濾波器hD(n)有兩項(xiàng)指標(biāo)： 根據(jù)采樣定理， 抗混疊濾波器的阻帶截止頻率為多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章s Hz22yxFFfD相應(yīng)的數(shù)字阻帶截止頻率為(7.2.1)s2sxfFD(7.2.2)應(yīng)當(dāng)注意， 由于抗混疊濾波器工作于輸入信號(hào)采樣頻率Fx， 所以， 式（7.2.2）中用Fx換算得到相應(yīng)的數(shù)字截止頻率， 絕對(duì)不能用Fy換算。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章抗混疊濾波器的通帶截止頻率（或過(guò)渡帶寬度）取決于抽取系統(tǒng)對(duì)信號(hào)頻譜的失真度要求。 設(shè)計(jì)時(shí)根據(jù)具體要求確定抗混疊濾波器的其他三個(gè)指標(biāo)參數(shù)（通帶截止頻率p、 通帶最大衰減p、 阻帶最小衰減s）。 例如， 要求抽取過(guò)程中頻帶0, fp上幅頻失真小

6、于1%（顯然fpfs）， 由于抽取引起的頻譜混疊失真不超過(guò)0.1%。 這時(shí)， 抗混疊濾波器的通帶截止頻率為p=2fp/Fx， 通帶最大衰減為p=20 lg(11%)=0.0873 dB， 阻帶最小衰減為s=20 lg(0.1%)=60 dB。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章整數(shù)因子抽取器的輸入x(n)和輸出y(m)的關(guān)系式如下： 0( )()( ) ()Dky mv Dmhk x Dmk(7.2.3)(7.2.4)(7.2.5)1j2/1/j2/1/01( )(e)(e)Dk DDk DDDkY zHzXzD221jjj01(e)(e)(e)ykkDDDDkYHXD多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章在主值區(qū),

7、 上Y(ejy)為jj/j/1(e)(e)(e)yyyDDDYHXD|y|7.2.2 整數(shù)因子整數(shù)因子I內(nèi)插器內(nèi)插器1. 整數(shù)因子整數(shù)因子I內(nèi)插器原理框圖內(nèi)插器原理框圖按整數(shù)因子I對(duì)x(n)內(nèi)插的原理方框圖如圖7.2.2所示。 圖7.2.2 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章2 整數(shù)因子內(nèi)插器的功能整數(shù)因子內(nèi)插器的功能整數(shù)因子內(nèi)插器的功能表現(xiàn)為： 輸出端信號(hào)采樣頻率Fy提高為輸入端信號(hào)采樣頻率Fx的I倍， 即Fy=IFx。 3. 知識(shí)要點(diǎn)及重要公式知識(shí)要點(diǎn)及重要公式經(jīng)過(guò)整數(shù)倍零值內(nèi)插使采樣率升高至I倍， 不會(huì)引起新的頻譜混疊失真， 但是會(huì)產(chǎn)生I-1個(gè)鏡像頻譜（見(jiàn)圖7.2.3(b)）。 從時(shí)域考慮， 零值

8、內(nèi)插器輸出v(m)的兩個(gè)非零值之間有I-1個(gè)零樣值， 不是我們所期望的提高采樣率后的采樣序列y(m)。 所以， 必須進(jìn)行低通濾波， 濾除鏡像頻譜， 得到y(tǒng)(m)。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章鏡像頻譜濾波器hI(n)的指標(biāo)也有兩項(xiàng)： 阻帶截止頻率和數(shù)字域阻帶截止頻率。 根據(jù)采樣理論， 采樣頻率提高到Fy時(shí)， 采樣信號(hào)序列y(m)的頻譜以Fy為周期。 由于輸入端信號(hào)x(n)的采樣頻率為Fx， 所以x(n)的頻帶寬度不會(huì)超過(guò)Fx/2（對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率為）。 因此， 整數(shù)因子I內(nèi)插器輸出信號(hào)y(n)的頻譜一定是帶寬為Fx/2、 重復(fù)周期為Fy的周期譜。 我們將零值內(nèi)插器輸出的信號(hào)v(m)的頻譜中除了y(m

9、)頻譜以外的其他頻譜稱為鏡像頻譜。 鏡像頻譜濾波器的作用就是讓y(m)頻譜盡量無(wú)失真通過(guò)， 濾除v(m)中的鏡像頻譜。 當(dāng)I=3時(shí)， 圖7.2.2中各點(diǎn)信號(hào)的頻譜示意圖如圖7.2.3所示。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章圖7.2.3 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章綜上所述可知， 鏡像頻譜濾波器的阻帶截止頻率為s= Hz2xFf相應(yīng)的數(shù)字域阻帶截止頻率為22/2sxsyxfFFIFI(7.2.6)(7.2.7)應(yīng)當(dāng)注意， 由于鏡像頻譜濾波器工作于輸出信號(hào)采樣頻率Fy， 所以， 式（7.2.7）中用Fy換算得到相應(yīng)的數(shù)字截止頻率， 絕對(duì)不能用Fx換算。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章與抗混疊濾波器情況類似， 根據(jù)具體

10、要求確定鏡像頻譜濾波器其他三個(gè)指標(biāo)參數(shù)（通帶截止頻率p、 通帶最大衰減p、 阻帶最小衰減s）。 鏡像頻譜濾波器的p（或過(guò)渡帶寬度）和p取決于內(nèi)插系統(tǒng)對(duì)有用信號(hào)頻譜的保真度要求， 而s取決于內(nèi)插系統(tǒng)對(duì)鏡像高頻干擾的限制指標(biāo)。理想情況下， 鏡像頻譜濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)為j 0 (e)0 yyIyIIHI(7.2.8)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章通帶內(nèi)幅度常數(shù)取I是為了確保在m=0, I, 2I, 3I, 時(shí)， 輸出序列y(m)=x(m/I)。 整數(shù)因子I內(nèi)插系統(tǒng)的時(shí)域輸入輸出關(guān)系式如下： ( )( )( )() ( )IIky mv mh mh mk v k (7.2.9)因?yàn)槌嗽贗的整數(shù)倍點(diǎn)v(k

11、I)=x(k)以外， v(k)=0， 所以 ( )() ( )Iky mh mkI x k (7.2.10)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章變換域輸入輸出關(guān)系式： ( )( )()( )()mImImImmmV zv m zv Im zx m zX z (7.2.11)計(jì)算單位圓上的V(z)得到v(m)的頻譜為jjje(e)( )(e)IzVV zX(7.2.12)( )( ) ( )( )()IIIY zHz V zHz X z(7.2.13)jjjjj(e)(e) (e)(e)(e)IIIYHVHX(7.2.14)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章理想情況下， HI(ej)由式（7.2.8）確定， 所以，

12、jj (e) 0 (e)0 II XIYI(7.2.15)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章圖7.2.4 7.2.3 有理數(shù)因子有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)1 有理數(shù)因子有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)原理框圖采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)原理框圖有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換的原理框圖如圖7.2.4所示。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章2 有理數(shù)因子有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的功能采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的功能有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)首先對(duì)輸入序列x(n)按整數(shù)因子I內(nèi)插， 然后再對(duì)內(nèi)插器的輸出序列按整數(shù)因子D抽取， 達(dá)到按有理數(shù)因子I/D的采樣率轉(zhuǎn)換。 如果仍用Fx=1/Tx和Fy=1/Ty分別表示輸入序列x(

13、n)和輸出序列y(m)的采樣頻率， 則Fy=(I/D)Fx。應(yīng)當(dāng)注意， 先內(nèi)插后抽取才能最大限度地保留輸入序列的頻譜成分(請(qǐng)讀者解釋為什么)。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章3 知識(shí)要點(diǎn)及重要公式知識(shí)要點(diǎn)及重要公式圖7.2.4中濾波器h(l)同時(shí)完成鏡像濾波和抗混疊濾波功能。 所以， 理想情況下， 濾波器h(l)是理想低通濾波器， 其頻率響應(yīng)為j 0 min,(e) 0 min, IDI DHI D圖7.2.4中各點(diǎn)信號(hào)的時(shí)域表示式歸納如下： (7.2.16)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章線性濾波器輸出序列為 0, 2 , 3 ,( )0 lxlIIIv lI 其他(7.2.17)線性濾波器輸出序列為( )

14、() ( )() ( )kkw lh lk v kh lkI x k(7.2.18)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章整數(shù)因子D抽取器輸出序列y(m)為 ( )()() ( )ky mw Dmh DmkI x k (7.2.19)式（7.2.19）就是有理數(shù)因子I/D采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的輸入輸出時(shí)域關(guān)系。 如果線性濾波器用FIR濾波器實(shí)現(xiàn)， 則式（7.2.19）為有限項(xiàng)之和， 所以可以直接按式（7.2.19）編程序計(jì)算輸出序列y(m)。 當(dāng)然， 也可以采用教材上介紹的各種高效實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)以硬件或軟硬結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章 7.3 采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)實(shí)際上， 采樣率轉(zhuǎn)換

15、系統(tǒng)的高效實(shí)現(xiàn)就是指其中的FIR數(shù)字濾波器的高效實(shí)現(xiàn)。 這里高效的含義有三個(gè)方面： 在滿足濾波指標(biāo)要求的同時(shí)， 濾波器的總長(zhǎng)度最??； 使濾波處理計(jì)算復(fù)雜度最低； 對(duì)濾波器的處理速度要求最低。 教材中介紹了采樣率轉(zhuǎn)換系統(tǒng)的兩種實(shí)現(xiàn)方法： 直接型FIR濾波器結(jié)構(gòu)、 多相濾波器實(shí)現(xiàn)。 各種實(shí)現(xiàn)方法的原理、 結(jié)構(gòu)及其特點(diǎn)在教材中都有較詳細(xì)的敘述， 本書(shū)不再重復(fù)。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章 7.4 教材第教材第8章習(xí)題與上機(jī)題解答章習(xí)題與上機(jī)題解答1. 已知信號(hào)x(n)=anu(n), |a|I， 所以， 只要將題7解圖（一）中的濾波器h(n)和抽取器用教材第256頁(yè)中圖8.6.2替換， 就得到直接型FI

16、R濾波器高效結(jié)構(gòu)。 由于h(n)較長(zhǎng)， 結(jié)構(gòu)圖占用篇幅太大， 所以具體結(jié)構(gòu)圖請(qǐng)讀者練習(xí)畫(huà)出。 當(dāng)然也可以用多相結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)， 這時(shí)要求濾波器總長(zhǎng)度N是抽取因子5的整數(shù)倍。 但程序ex807.m運(yùn)行結(jié)果N=M+1=58， 所以， 應(yīng)當(dāng)保留程序中第7行后面的階數(shù)修改語(yǔ)句“M=M+2”， 運(yùn)行得到新的h(n)， 其長(zhǎng)度N=60=512， 畫(huà)出多相結(jié)構(gòu)如題7解圖(二)所示。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章題7解圖（二）多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章圖中5個(gè)多相濾波器系數(shù)按照如下公式確定： pk(n)=h(k+5n) k=0, 1, 2, 3, 4; n=0, 1, 2, , 11請(qǐng)讀者運(yùn)行程序并確定pk(n)的具體數(shù)據(jù)

17、。 8*. 假設(shè)信號(hào)x(n)是以奈奎斯特采樣頻率對(duì)模擬信號(hào)xa(t)的采樣序列， 采樣頻率Fx =10 kHz。 現(xiàn)在為了減少數(shù)據(jù)量， 只保留0f3 kHz的低頻信息， 希望盡可能降低采樣頻率， 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)采樣率轉(zhuǎn)換器。 要求經(jīng)過(guò)采樣率轉(zhuǎn)換器后， 在頻帶0f2.8 kHz中頻譜失真不大于1 dB， 頻譜混疊不超過(guò)1。多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章（1） 確定滿足要求的最低采樣頻率Fy和相應(yīng)的采樣率轉(zhuǎn)換因子; （2） 畫(huà)出采樣率轉(zhuǎn)換器原理方框圖; （3） 確定采樣率轉(zhuǎn)換器中FIR低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)， 用等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器， 畫(huà)出濾波器的單位脈沖響應(yīng)及其損耗函數(shù)曲線， 并標(biāo)出指標(biāo)參數(shù)（通

18、帶截止頻率、 阻帶截止頻率、 通帶最大衰減和阻帶最小衰減）； （4） 求出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中子濾波器的單位脈沖響應(yīng)， 并列表顯示或打印。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章解解： （1） 根據(jù)時(shí)域采樣定理， 滿足要求的最低采樣頻率Fy=23 kHz=6 kHz， 采樣率轉(zhuǎn)換因子為Fy/Fx=6/10=3/5。（2） 采樣率轉(zhuǎn)換器原理方框圖如題8解圖(一)所示。 圖中， I=3， D=5。 題8解圖(一)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章題8解圖(二)多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章說(shuō)明： 調(diào)用remezord估算得到濾波器長(zhǎng)度N=M+1=214， 為了滿足多相實(shí)現(xiàn)條件， 取D的整數(shù)倍N=543=215， 程序中階數(shù)用M=M+1調(diào)整。 （4） 按照下式構(gòu)造多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中子濾波器的單位脈沖響應(yīng)： pk(n)=h(k+5n) k=0, 1, 2, 3, 4; n=0, 1, 2, , 42由于本題給定的指標(biāo)太高， 使濾波器階數(shù)高達(dá)214， 列出多相實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中子濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列的數(shù)據(jù)篇幅太大， 所以， 請(qǐng)讀者運(yùn)行程序顯示h(n)數(shù)據(jù)， 并確定5個(gè)子濾波器的單位脈沖響應(yīng)序列pk(n)的具體數(shù)據(jù)。 多采樣率數(shù)字信號(hào)處理第章本題求解程序ex808.m清單如下： % 程序ex808.m% 調(diào)用remez函數(shù)設(shè)計(jì)按因子3/5的采樣率轉(zhuǎn)