恒等式的證明

1、第五講 恒等式的證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一本講主要介紹恒等式的證明首先復(fù)習(xí)一下基本知識，然后進(jìn)行例題分析兩個(gè)代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等證明恒等式，沒有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡捷一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無附加條件的恒

2、等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明對于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡化下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧1由繁到簡和相向趨進(jìn)恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)”(即將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)例1 已知x+y+z=xyz，證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz分析 將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz，將等式左邊化簡成右邊證 因?yàn)閤+y+z=xyz，所以左邊=x(1-z2-y2-y2z2)+y(1-z2-x2+x2z2)+(1-y2-x2+x2y2)

3、=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz=右邊說明 本例的證明思路就是“由繁到簡”例2 已知1989x2=1991y2=1993z2，x0，y0，z0，且證 令1989x2=1991y2=1993z2=k(k0)，則又因?yàn)樗运哉f明 本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，通過設(shè)參數(shù)k，使左右兩邊同時(shí)變形為同一

4、形式，從而使等式成立2比較法a=b(比商法)這也是證明恒等式的重要思路之一 例3 求證： 分析 用比差法證明左-右=0本例中，這個(gè)式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項(xiàng)；若對第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)具有這種特性的式子叫作輪換式利用這種特性，可使輪換式的運(yùn)算簡化證 因?yàn)樗运哉f明 本例若采用通分化簡的方法將很繁像這種把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧全不為零證明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)同理所以 所以(1+p)

5、(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)說明 本例采用的是比商法3分析法與綜合法根據(jù)推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч?，即從已知條件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論證 要證 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要證a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要證 ab=ac+bc，只要證 c(a+b)=ab，只要證這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所

6、求證的等式成立說明 本題采用的方法是典型的分析法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d證 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因?yàn)?a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)0又因?yàn)閍，b，c，d都為正數(shù)，所以a+b0，c+d0，所以ab，c=d所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(

7、a-c)=0，所以ac故a=bc=d成立說明 本題采用的方法是綜合法4其他證明方法與技巧求證：8a+9b+5c=0a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，(c+a)=3k(c-a)所以6(a+b)=6k(a-b)，3(b+c)=6k(b-c)，2(c+a)=6k(c-a)以上三式相加，得6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即 8a+9b+5c=0說明 本題證明中用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用的也是類似方法這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧例8 已知a+b+c=0，求證2(a4+b4+c4)(a2+b2+c2)2分析與證明 用比差法

8、，注意利用a+b+c=0的條件左-右=2(a4+b4+c4)-(a2+b2+c2)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=a2-(b-c)2a2-(b+c)2=(a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=0所以等式成立說明 本題證明過程中主要是進(jìn)行因式分解分析 本題的兩個(gè)已知條件中，包含字母a，x，y和z，而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法證 由已知說明 本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法例10 證明：(y+z-2x

9、)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)分析與證明 此題看起來很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法令y+z-2x=a，z+x-2y=b，x+y-2z=c，則要證的等式變?yōu)閍3+b3+c3=3abc聯(lián)想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以將，相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a3+b3+c3-3abc=0，所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)說明 由本例可以看出，換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效力例11 設(shè)x，y，z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且求證：x2y2z2=1分析 本題x，y，z具有輪換對稱的特點(diǎn)，我們不妨先看二元的所以x2y2=1三元與二元的結(jié)構(gòu)類似證 由已知有××得x2y2z2=1說明 這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問題的思路中總之，從上面的例題中可以看出，恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上，深刻體會(huì)例題中的常用變形技能與方法，這對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要練習(xí)五1已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求證：2b=a+c2證明：(x+y