平面向量的坐標運算

1、平面向量的坐標運算教學案例分析平面向量的坐標運算教學案例分析課題平面向量的坐標運算主要分析研究兩類問題：(一)、平面向量的坐標和平面向量的坐標運算(二)、以情境教學培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力，履行“以學生發(fā)展為本”的教育思想。下面從三個方面闡述這節(jié)課。第一方面：教材分析本節(jié)的授課內(nèi)容為平面向量的坐標運算，選自全日制普通高級中學教科書（必修）數(shù)學第一冊（下）第五章第四節(jié)，下面從四個方面進行教材分析。1、教材的地位和作用平面向量的坐標將平面向量和一對有序?qū)崝?shù)建立了一一對應關(guān)系；平面向量的坐標運算，則使向量的運算完全數(shù)量化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來，為用“數(shù)”的運算處理“形”的問題搭起了橋梁。這樣，

2、用向量的方法解決幾何問題更加方便，從而極大地提高了學生利用向量知識解決實際問題的能力。同時，這節(jié)課的教學內(nèi)容和教學過程對進一步培養(yǎng)學生觀察、分析和歸納問題的能力具有重要意義。2、教材的處理結(jié)合教參和學生的學習能力，將平面向量的坐標運算安排了2課時。本節(jié)為第一課時。根據(jù)目前學生的狀況和以往的經(jīng)驗，雖然這節(jié)課的內(nèi)容比較簡單，但由于老師講解的過多，導致學生丟失了很多重要的知識。為了激發(fā)學生的學習熱情，在平面向量基本定理為背景下，以問題情境創(chuàng)設復習提問的形式，引出平面向量的坐標的定義；以討論的形式得出平面向量坐標運算的規(guī)律，直接切入本節(jié)課的知識點。之后，由淺入深，由低到高地設計了三個層次的問題，逐步加

3、深學生對平面向量的坐標的記憶和理解。由此，對教材的引入、例題和練習做了適當?shù)难a充和修改。3、教學重點與難點根據(jù)學生現(xiàn)狀、教學要求以及教材內(nèi)容，確立本節(jié)課的教學重點為：明確平面向量的坐標和點的坐標的關(guān)系并熟練地掌握平面向量的坐標運算。由學生的實際情況運用所學知識分析和解決實際問題的能力較差，把本節(jié)課的難點定為：平面向量的坐標運算的應用。要突破這個難點，關(guān)鍵在于緊扣平面向量的坐標運算的相關(guān)知識，利用情境去發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。4、教學目標的分析根據(jù)教學要求，教材的地位和作用，以及學生現(xiàn)有的知識水平和數(shù)學能力，把本節(jié)課的教學目標確定為三個方面：(1)知識教學目標：理解向量的坐標表示法與平面向量和一對有

4、序?qū)崝?shù)的一一對應關(guān)系；能準確表述平面向量的坐標運算的規(guī)律；并掌握用平面向量的坐標運算解決平面幾何問題的方法。(2)能力訓練目標：培養(yǎng)學生觀察、分析、比較、歸納的能力及創(chuàng)新能力；培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合的方法去分析和解決問題的能力。(3)德育滲透目標：通過學習平面向量的坐標運算，實現(xiàn)幾何與代數(shù)的完全結(jié)合，讓學生明白：知識與知識之間，事物與事物之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化；通過例題及練習的學習，培養(yǎng)學生的辯證思維能力，養(yǎng)成勤于動腦，明辨是非的學習作風。第二方面：教法與學法分析數(shù)學家喬治·波利亞指出：“學習任何知識的最佳途徑是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)，理解最深，也最容易掌握其中的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系

5、?！边@里所說的“發(fā)現(xiàn)” ，其實就是學生在自主探索過程中,根據(jù)自己的思維方式和體驗對數(shù)學知識進行“再創(chuàng)造” 。教學實踐證明，學生進行“再創(chuàng)造”時能最大限度地發(fā)揮主觀能動性和創(chuàng)造性，并從中學習探索的方法，體驗成功的樂趣，激起學習數(shù)學的興趣。因此本節(jié)課采用“引導發(fā)現(xiàn)法”來組織課堂教學，為學生提供自主探索、實現(xiàn)“再創(chuàng)造”的機會，突出學生的主體作用。教學活動是教與學的有機統(tǒng)一。在教學過程中，要緊緊抓住“學”這個中心。根據(jù)本節(jié)課的特點，以“講練結(jié)合”為主題的課堂情境，以“教為主導，學為主體，練為主線” 為教學原則，通過提問歸納講練討論總結(jié)的教學程序，循序漸進借助情境地將問題逐步引向深入，并借助于計算機課件

6、輔助教學，引導學生多種感官參與學習的全過程。第三方面：教學過程：共分為六個環(huán)節(jié)，具體的時間安排如下：復習提問約3分鐘，導入新課約5分鐘，創(chuàng)設問題約25分鐘，小結(jié)約5分鐘，布置作業(yè)約2分鐘。第1環(huán)節(jié)、復習提問（問題情境）：（1）什么是向量的基底？（2）平面向量基本定理的內(nèi)容是什么？（3）直角坐標平面內(nèi)的點與一對有序?qū)崝?shù)存在什么樣的關(guān)系？課堂教學論認為：“要使教學過程最優(yōu)化，首先要把所學習的知識和學生已有的信息聯(lián)系起來” ，這三個問題的復習就可以使學生在學習新的知識前,已擁有適當?shù)闹R積累。第2環(huán)節(jié)、導入新課：分為兩步。第一步：以平面向量基本定理為背景，我首先引入平面向量的坐標的定義在直角坐標系x

7、oy內(nèi)，分別取與x軸和y軸方向相同的兩個單位向量i、j。在xoy平面上任作一向量a，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序數(shù)對(a1, a2),，使得a= a1i+ a2j,                   y        a       a 

8、(a1, a2)叫做向量a在直角坐標系xoy中的坐標，                  記作a= (a1, a2)                         &#

9、160;                其中a1叫做在x軸上的坐標分量，                              

10、0;    a2叫做在y軸上的坐標分量，         o             a  x        i、j是直角坐標平面上的基底。        &#

11、160;                      顯然     0=(0,0)  i=(1,0) j=(0,1)                &#

12、160;            為了幫助學生更好地理解向量的坐標，我提出了一個問題：經(jīng)過討論，由師生共同總結(jié)出下面兩點。問題：平面向量坐標表示的實質(zhì)是什么？（1）在直角坐標系內(nèi)，每一個平面向量都可以用一對實數(shù)唯一表示； 即向量（x，y） 向量 點A（x，y）（2）相等的向量其坐標相同，同樣坐標相同的向量是相等的向量P111例題1   （口答）  為加深學生對向量坐標的記憶和理解，我安排了P111例題1。學生

13、以口答的形式完成，既節(jié)約時間，也活躍了課堂氣氛。第二步： 在學生已完全掌握了平面向量的坐標之后，我提出了兩個問題 問題1、 已知a= a1i+ a2j,    b= b1i+ b2j,（i， j為直角坐標系的基底）1則a，b 的坐標為-2求a+b，a-b，a3求a+b，a-b，a的坐標問題2已知A（ x1,y1）B（ x2,y2）1則  OA,  OB 的坐標分別為-2 化簡    OB 

14、0;-OA3求  AB的坐標這兩個問題由師生共同練習完成。通過師生間的討論，相互啟發(fā)，相互合作，達到溫故知新的目的，也由低級到高級的認識順序引出本節(jié)課的知識點，這很自然，學生比較容易接受。同時激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)平面向量的坐標運算規(guī)律的強烈欲望。第3環(huán)節(jié)、創(chuàng)設問題情境這是本節(jié)課的核心，根據(jù)循序漸進、由淺入深的教學原則，設計了三個層次的問題。第一層次：先由師生共同歸納總結(jié)由問題1、2得出的結(jié)論，培養(yǎng)學生觀察、分析、比較、歸納的能力。由問題1我們得到結(jié)論1a+b=（a1 +b1   ， a2+ b2）a-b=（a1 -b1&#

15、160;  ， a2- b2）a =（a1  ， a2）用語言敘述為：兩個向量的和與差的坐標分別等于兩個向量相應坐標的和與差。數(shù)乘向量積的坐標等于數(shù)乘向量相應坐標的積由問題2我們得到結(jié)論2AB   =（ x2 -x1   ， y2-y1）用語言敘述為：一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的相應坐標。這兩個結(jié)論是向量直角坐標運算的規(guī)律，為本節(jié)的知識點，為加深認識，我又安排了練習1練習1、（口答）下列的說法是否正確（1）已知向量a=（-2，4），

16、 b=（5，2）則12a=（-6，4），2b=（5，4）                      （ ）22a（-4，8）                    

17、60;              （ ）（2）已知A（2，1），B（3，8），則 AB  =（-1，-7）    （ ）第（1）題中的1讓學生注意數(shù)乘向量積的坐標等于數(shù)乘向量相應坐標的積2提醒學生區(qū)分點的坐標和向量坐標，兩者是不同的概念。第（2）題讓學生明確一個向量的坐標等于向量終點坐標減去始點的相應坐標第二層次：設計練習2、3、4練習2、已知向量a，b求 a +b，a-b&#

18、160;，3a+ 4b， 4a- 4b 的坐標（1）  a=（-2，4），b=（5，2）（2）  a=（4，3），b=（-3，8）練習3、已知A（2，1），B（3，8），則求 AB練習4、已知A（2，3），B（4，5），C（6，8）（1）若  3 AB  = DC，求D點的坐標（2）求    2 AB  -   3 AC + 2   BC這組練習由學生獨立完成。目的是

19、使學生進一步掌握平面向量的坐標運算和向量相等的條件，也體會到對于兩個向量相加減的坐標運算法則可以推廣到有限個向量相加減。對于練習4中的第（2）題讓學生認識到先進行向量運算幾何形式的化簡，再進行代數(shù)運算比較好，也感受到幾何與代數(shù)的密不可分。第三層次：遵循深入淺出的教學原則，我安排了例題2，這是本節(jié)課重點知識的應用。例題2、已知平行四邊形ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是A（2，1）、B（1，3）、C（3，4），求頂點D的坐標。           B  

20、0;    y                       C                      &#

21、160;                                                 &#

22、160;                                E                 &

23、#160;                     A               D             

24、;                                       O          

25、0;       x                                          

26、60;                例題2有多種解法，除了課本中給出的由向量線性運算的幾何形式向代數(shù)形式轉(zhuǎn)化的方法之外，還可以利用向量  AB = DC  或  AD =  BC列方程，也可以利用線段AC，BD的中點E的向量表達式進行等量轉(zhuǎn)化求出D點的坐標。但不論哪一種解法都用到了一個很重要的數(shù)學方法-數(shù)形結(jié)合。講這個題時，目的是引導學生熟練地轉(zhuǎn)化向量線性

27、運算的幾何形式和代數(shù)形式，其它的方法則只是給予了提示，讓學生以小組討論的形式完成。給學生留出空間，開闊思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力。老師以巡視的方式進行個別引導，并代表性地抽取學生上黑板演示，讓學生動手實踐、自主探索、合作交流，圍繞中心各抒己見，把思路方法弄清，并使集體智慧個人化，書本知識靈活化，同時培養(yǎng)學生獨立思考的能力和團結(jié)協(xié)作的精神，親身體會“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非?！保ㄈA羅庚語），從而提高學生利用數(shù)形結(jié)合的方法解決實際問題的能力。第4環(huán)節(jié)、小結(jié)：為了讓學生將獲得的知識進一步條理化、系統(tǒng)化，同時培養(yǎng)學生歸納總結(jié)的能力及練習后進行再認識的能力，教師引

28、導學生進行總結(jié)：（1）平面向量的坐標表示是向量的代數(shù)表示形式，其背景是平面向量的基本定理；（2）平面向量的坐標運算規(guī)律：兩個向量的和與差的坐標分別等于兩個向量相應坐標的和與差。數(shù)乘向量積的坐標等于數(shù)乘向量相應坐標的積一個向量的坐標等于向量終點的坐標減去始點的相應坐標（3）平面向量的坐標表示使得我們可以通過數(shù)的運算來研究圖形的幾何性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法；第5環(huán)節(jié)、布置作業(yè)：為了讓學生進一步鞏固本節(jié)課內(nèi)容，提高自覺學習的能力，根據(jù)本節(jié)課的重點、難點和設計作業(yè)時“基礎性、靈活性、延伸性”的特點，我設計了必做題和選做題，這是為了在面向全體學生的基礎上，讓學有余力的學生充分發(fā)揮了其特長和潛能。必做題：1、課本P 114：習題5.4  1（1）、2、3、4、7（2）2、思考題：3a與a的坐標有什么關(guān)系，位置有什么特點？選做題：（將例題2改為）已知平行四邊形的三個頂點坐標分別是A（2，1）、B（1，3）、C（3，4），求第四個頂點D的坐標。必做題中，一部分用來鞏固平面向量的坐標運算，另一部分則讓學生進一步掌握平面向量的坐標運算的應用，思考題又為下一節(jié)課的內(nèi)容埋下伏筆。選作題，因為平行四邊形四點的順序沒有給出，所以應分三種可能討論，它是例題2的延伸。第6環(huán)節(jié)、板書設計 ：板書設計是一種重要的教學輔助手段，也是課堂教學中不可少的重要組成部分。在黑板中上方