實(shí)數(shù)區(qū)間絕對(duì)值

1、1高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué) 北郵世紀(jì)學(xué)院基礎(chǔ)部北郵世紀(jì)學(xué)院基礎(chǔ)部 華衛(wèi)兵華衛(wèi)兵2目 錄第一章第一章 函數(shù)函數(shù) 第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 第四章第四章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章第五章 不定積分不定積分 第六章第六章 定積分定積分 第三章第三章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 第七章第七章 微分方程微分方程3課程考核辦法課程考核辦法 期末考試（期末考試（60%）+平時(shí)成績(jī)（平時(shí)成績(jī)（40%） 平時(shí)成績(jī)（總分平時(shí)成績(jī)（總分100） 構(gòu)成：構(gòu)成： 曠課（曠課（-10）遲到（）遲到（-5） 不交作業(yè)（不交作業(yè)（-5/次）補(bǔ)交（次）補(bǔ)交（-2/次）次） 小測(cè)驗(yàn)（按比例記入平時(shí)成績(jī)）小

2、測(cè)驗(yàn)（按比例記入平時(shí)成績(jī)） 參考書(shū)：高等數(shù)學(xué)參考書(shū)：高等數(shù)學(xué) 同濟(jì)第六版同濟(jì)第六版4網(wǎng)絡(luò)資源網(wǎng)絡(luò)資源 /education/ccp/ 美國(guó)教育網(wǎng)站美國(guó)教育網(wǎng)站 /content/ 英國(guó)教育網(wǎng)站英國(guó)教育網(wǎng)站 http:/ 揚(yáng)州大學(xué)高等數(shù)學(xué)精品課程揚(yáng)州大學(xué)高等數(shù)學(xué)精品課程 http:/ 中國(guó)科技大學(xué)微積分圖形庫(kù)中國(guó)科技大學(xué)微積分圖形庫(kù) http:/ 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽競(jìng)賽5 背景歷史背景歷史 微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱(chēng)。微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱(chēng)。 它是一它是一種數(shù)學(xué)思想，種數(shù)學(xué)思

3、想，無(wú)限細(xì)分無(wú)限細(xì)分就是微分，就是微分，無(wú)限求和無(wú)限求和就是積分。就是積分。 十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多十七世紀(jì)后半葉，牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過(guò)的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分?jǐn)?shù)學(xué)家都參加過(guò)的工作，分別獨(dú)立地建立了微積分學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，學(xué)。他們建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無(wú)窮小量，理論基礎(chǔ)是不牢固的。直到十九世紀(jì)，柯西和維爾理論基礎(chǔ)是不牢固的。直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，以及康托爾等建立了嚴(yán)斯特拉斯建立了極限理論，以及康托爾等建立了嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論，這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化。格的實(shí)數(shù)理論，這門(mén)學(xué)科才得以嚴(yán)密化。 6第一節(jié)第一節(jié)

4、實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)、區(qū)間與絕對(duì)值區(qū)間與絕對(duì)值一一 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)整數(shù)整數(shù)、分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)、零零四則運(yùn)算后還是有理數(shù)任意兩個(gè)有理數(shù)之間將必存在有理數(shù)1.1.有理數(shù)有理數(shù)(1)(1) 分類(lèi)：分類(lèi)：表示形式表示形式:有理數(shù)的性質(zhì)有理數(shù)的性質(zhì):封閉性封閉性稠密性稠密性pq有限小數(shù)有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小無(wú)限循環(huán)小數(shù)數(shù)7 (2) 無(wú)理數(shù)：無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)表示法表示法:性質(zhì)性質(zhì):(3) 數(shù)軸數(shù)軸三要素三要素 :原點(diǎn)原點(diǎn)、單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度、正方向正方向.實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)可通過(guò)可通過(guò)數(shù)軸上的點(diǎn)數(shù)軸上的點(diǎn)形象的表示形象的表示.常用數(shù)集常用數(shù)集:N-自然數(shù)集自然數(shù)集Q-有理數(shù)集有理數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系數(shù)集間的關(guān)系:.,RQQZZN

5、 Z-整數(shù)集整數(shù)集R-實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集無(wú)限不循環(huán)小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)運(yùn)算封閉性（運(yùn)算封閉性（）稠密性（稠密性（）8二二. .區(qū)間與鄰域區(qū)間與鄰域: :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù)是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).,baRba 且且|),(bxaxba 開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間|,bxaxba 閉區(qū)間閉區(qū)間（1 1）區(qū)間）區(qū)間: :),(baOabOab,baxx9半開(kāi)區(qū)間半開(kāi)區(qū)間|,(bxaxba |),bxaxba 和和稱(chēng)稱(chēng)a, ,b為區(qū)間的為區(qū)間的端點(diǎn)端點(diǎn)，稱(chēng)稱(chēng)ba為這些為這些區(qū)間的長(zhǎng)度區(qū)間的長(zhǎng)度. .以上這些區(qū)間都稱(chēng)為以上這些區(qū)間都稱(chēng)為有限區(qū)間有限區(qū)間

6、. .引引進(jìn)進(jìn)記記號(hào)號(hào) + + （正無(wú)窮大正無(wú)窮大）( (負(fù)無(wú)窮大負(fù)無(wú)窮大）（無(wú)窮大無(wú)窮大）10無(wú)限區(qū)間無(wú)限區(qū)間|),axxa |),(axxa |),(Rxx |),(bxxb |,(bxxb Oa , a ）b),(b O用用數(shù)軸上無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)數(shù)軸上無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)可以表示無(wú)限區(qū)間可以表示無(wú)限區(qū)間.11x a a 點(diǎn)點(diǎn)a的左的左鄰域鄰域: :開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間( (a-,-,a) )點(diǎn)點(diǎn)a的右的右鄰域鄰域: :開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間 ( (a, ,a+)+)a (2) (2) 點(diǎn)點(diǎn)a的去心鄰域：的去心鄰域：| 0 |),( axxaU。(1)(1)設(shè)設(shè)是任一正數(shù)，稱(chēng)開(kāi)區(qū)間是任一正數(shù)，稱(chēng)開(kāi)區(qū)間( (a-,-,a+)

7、+)為點(diǎn)為點(diǎn)a的的 鄰域，記為鄰域，記為U( (a,),)，即，即| |),(axxaxaxaU點(diǎn)點(diǎn)a稱(chēng)為該鄰域的稱(chēng)為該鄰域的中心中心，稱(chēng)，稱(chēng)為該鄰域的為該鄰域的半徑半徑. .2.2.鄰域鄰域120 1 2 3 4-1-2-3大象距原點(diǎn)大象距原點(diǎn)多遠(yuǎn)多遠(yuǎn)?兩只小狗分別兩只小狗分別距原點(diǎn)多遠(yuǎn)距原點(diǎn)多遠(yuǎn)?三三. .絕對(duì)值絕對(duì)值1306 一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)a a的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離。示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離。-1-2-3-4-5-612345BA 絕對(duì)值：絕對(duì)值：大象離原點(diǎn)大象離原點(diǎn)4個(gè)單位長(zhǎng)度個(gè)單位長(zhǎng)度:那么兩只小狗呢那么兩只小狗呢?如果一個(gè)數(shù)為如果一

8、個(gè)數(shù)為-5,則它的絕對(duì)值呢則它的絕對(duì)值呢?33 3 333 3 3142. 2. 絕對(duì)值應(yīng)用絕對(duì)值應(yīng)用（1 1） 等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系aaaakkak （2 2） 鄰域的表示鄰域的表示00(,)|U xxxx（3 3） 絕對(duì)值不等式絕對(duì)值不等式abababab15思考思考. 設(shè)設(shè)a,b為任意實(shí)數(shù)，證明：為任意實(shí)數(shù)，證明：111abababab16因變量因變量自變量自變量)(xfy 1.1.定義定義 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集 ， 則稱(chēng)映射則稱(chēng)映射 為定義為定義D上的函數(shù)，上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為通常簡(jiǎn)記為 D稱(chēng)為稱(chēng)為定義域定義域, 記作記作 , 即即 . RDRDf:fDDDf 對(duì)每個(gè)對(duì)每個(gè) ,按按對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則

9、 f ,總有總有唯一確定唯一確定的值的值y與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng), 這個(gè)值稱(chēng)為函數(shù)這個(gè)值稱(chēng)為函數(shù)f 在在x處的函數(shù)值處的函數(shù)值,記作記作f (x),即即y= f (x).Dx )( fZ函數(shù)值函數(shù)值f (x)的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為的全體所構(gòu)成的集合稱(chēng)為函數(shù)函數(shù)f 的值域的值域, 記作記作或或 f (D) , 即即.),()()(DxxfyyDffZ第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的概念及其圖形函數(shù)的概念及其圖形17()0 x)(0 xf自變量自變量因變量因變量對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則f定義域定義域與與對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則.xyDW2. 2. 函數(shù)的兩要素函數(shù)的兩要素: :如果兩個(gè)函數(shù)的如果兩個(gè)函數(shù)的定義域定義域相同相同,對(duì)應(yīng)

10、法則對(duì)應(yīng)法則也相同也相同,那么這兩那么這兩個(gè)函數(shù)就是相同的個(gè)函數(shù)就是相同的,否則否則就是不同的就是不同的.約定約定: : 定義域是自變量所能取的使算式有定義域是自變量所能取的使算式有( (實(shí)際實(shí)際) )意義意義的一切實(shí)數(shù)值的一切實(shí)數(shù)值. .21xy 例如，例如， 1 , 1 : D211xy 例如，例如，)1 , 1(: D18oxy),(yxxyWD 如果自變量在定如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做數(shù)叫做單值函數(shù)單值函數(shù)，否，否則叫與則叫與多值函數(shù)多值函數(shù)例如，例如，222ayx ( , )( ),

11、( ).x yyf xxDyf x點(diǎn)集W稱(chēng)為函數(shù)的圖形定義定義: :193. 函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法(1)(1)解析法解析法 y = f (x)因變量法則自變量如函數(shù) 的定義域?yàn)?，291xy33Dxx 13Wyy 值域?yàn)閮?yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：便于數(shù)學(xué)上的分析和計(jì)算便于數(shù)學(xué)上的分析和計(jì)算20(2) 列表法列表法下表列出了在上午10:00到中午12:00每隔20min測(cè)得的氣溫?cái)?shù)據(jù)，由此可以觀察出這段時(shí)間內(nèi)氣溫（單位：o C）的變化規(guī)律 時(shí)刻t10:0010:00氣溫T 10:2010:2010:4010:4011:0011:00 11:2011:20 11:4011:40 12:0012:0018

12、18181818.518.51919202021212323優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀、精確直觀、精確21(3) 圖形法圖形法yxo)(xfy DDoxy),(yxxyfR )(xfy 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：直觀、通俗、容易比較直觀、通俗、容易比較224. 幾種幾種常見(jiàn)的函數(shù)常見(jiàn)的函數(shù)例例1 函數(shù)函數(shù)y=2它的定義域它的定義域),( D值域值域,2)(fZ它的它的圖形圖形是一條是一條平行平行 于于x軸軸的直線(xiàn)的直線(xiàn).Oxyy=2例例2 函數(shù)函數(shù) 0 , , 0 ,|xxxxxy定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =0, +).=0, +).)(fZ這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為絕對(duì)值絕對(duì)值函數(shù)函數(shù).Oxyx

13、y 23 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)xxx sgn例例3 函數(shù)函數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù), ,定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 =1,0,=1,0,1.1.)(fZ1-1xyo24 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo例例4 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過(guò)表示不超過(guò) 的最大整數(shù)的最大整數(shù)x如如-3.4=-4,-3.4=-4,1=1=1,1,. 075 定義域定義域 D=(=(,+),+),值域值域 = =Z Z. .)( fZ階梯曲線(xiàn)階梯曲線(xiàn)Gauss函數(shù)函數(shù)25例例5 函數(shù)函數(shù)11102)(xxxxxfy是一個(gè)

14、是一個(gè)分段函數(shù)分段函數(shù).它的定義域它的定義域 D=0,+).=0,+).如如:;221221,1 , 021 f. 431)3(), 1(3 fxy 1xy2 yxO126 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo例例6 狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)2721)(xxxf例例7 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 求求 個(gè)nnxfffxf)()( )1xf xx例例8 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 求求 個(gè)nnxfffxf)()( )F x例例9 設(shè)設(shè)函數(shù)函數(shù) 是除了在是除了在0與與1以外的一切實(shí)數(shù)都以外的一切實(shí)數(shù)都 意義的實(shí)值函數(shù)，且有意義的實(shí)值函數(shù)，且有1( )()1

15、xF xFxx求求( )F x28M-Myxoy=f(x)X有界有界無(wú)界無(wú)界,)(, 0,成立成立有有若若MxfXxMDX （1）函數(shù)的）函數(shù)的有界性有界性:.)(否否則則稱(chēng)稱(chēng)無(wú)無(wú)界界上上有有界界在在則則稱(chēng)稱(chēng)函函數(shù)數(shù)XxfM-MyxoX0 x第三節(jié)第三節(jié) . . 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性29(1)(1)當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)，它的界是不唯一的當(dāng)一個(gè)函數(shù)有界時(shí)，它的界是不唯一的. .注意注意: :(2)(2)有界與否是和有界與否是和X有關(guān)的有關(guān)的. .Xx 1Mxf )(1使使(3)證明無(wú)界的方法證明無(wú)界的方法: 對(duì)于對(duì)于任意正數(shù)任意正數(shù) M ,總存在總存在（2）函數(shù)的）函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性:,)(

16、DIDxf 區(qū)間區(qū)間的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()() 1 (21xfxf,2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn)如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間xxxxI 12(2) ( )( )f xf x(1)單調(diào)增加的單調(diào)增加的(2)單調(diào)減少的單調(diào)減少的則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間I上上恒有恒有30)(xfy )(1xf)(2xfxyoI)(xfy )(1xf)(2xfxyoI函數(shù)函數(shù)f單調(diào)增加單調(diào)增加函數(shù)函數(shù)f單調(diào)減少單調(diào)減少31偶函數(shù)偶函數(shù)yx)( xf )(xfy ox-x)(xf,Dx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),對(duì)于對(duì)于有有f (-x)=

17、 f (x)恒成立恒成立,則稱(chēng)則稱(chēng)f (x)為為偶函數(shù)偶函數(shù);偶函數(shù)的圖形偶函數(shù)的圖形關(guān)于關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng).函數(shù)函數(shù) y = cosx是偶函數(shù)是偶函數(shù).（3）函數(shù)的）函數(shù)的奇偶性奇偶性:32奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),對(duì)于對(duì)于,Dx 有有f (-x)= -f (x)恒成立恒成立,則稱(chēng)則稱(chēng)f (x)為為奇函數(shù)奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).函數(shù)函數(shù) y=sinx是偶函數(shù)是偶函數(shù).函數(shù)函數(shù) y=sinx+cosx既非奇函數(shù)既非奇函數(shù),又非偶函數(shù)又非偶函數(shù).332l 2l23

18、l 23l函數(shù)函數(shù)sinx, cosx的周期是的周期是.2 （通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期最小正周期）.則稱(chēng)則稱(chēng)f (x)為為周期周期函數(shù)函數(shù), l 稱(chēng)為稱(chēng)為f (x)的的周期周期.)()(xflxf 一一Dx 有有,)(Dlx 且且恒成立恒成立, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,如果存在一個(gè)正數(shù)如果存在一個(gè)正數(shù)l ,使得對(duì)于任使得對(duì)于任（4）函數(shù)的）函數(shù)的周期性周期性:函數(shù)函數(shù)tanx的周期是的周期是. 34若函數(shù)若函數(shù)f (x)在在D上是上是單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù),則則1 f也是也是f (D)上的上的單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù).0 x0yxyD)(yx 反

19、函數(shù)反函數(shù)ofRfR0 x0yxyDo)(xfy 函數(shù)函數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈,值域?yàn)橹涤驗(yàn)閆,對(duì)任意的對(duì)任意的Zy有唯一確定的有唯一確定的 與之對(duì)應(yīng)，且滿(mǎn)足與之對(duì)應(yīng)，且滿(mǎn)足 ),(xfy則稱(chēng)此函數(shù)則稱(chēng)此函數(shù)Dx為為 的的反函數(shù)反函數(shù).)(xf35 直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).xy 相對(duì)于相對(duì)于反函數(shù)反函數(shù)),(1xfy 原來(lái)的函數(shù)原來(lái)的函數(shù)y=f (x)稱(chēng)為稱(chēng)為直接函數(shù)直接函數(shù).)(xfy 直直接接函函數(shù)數(shù)xyo),(abQ),(baP)(xy 反反函函數(shù)數(shù)1 反函數(shù)的圖形反函數(shù)的

20、圖形362. 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)與函數(shù)f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為. gf 函數(shù)函數(shù)g與函數(shù)與函數(shù)f 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)構(gòu)成復(fù)合函數(shù)gf的的條件條件是是:函數(shù)函數(shù)g在在D上的值域上的值域g(D)必須必須含在含在f 的定義域的定義域fD內(nèi)內(nèi),即即.)(fDDg 定義定義:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) )(ufy 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?1D函數(shù)函數(shù)u=g(x)在在D上有上有定義定義,且且,)(1DDg 則由下式確定的函數(shù)則由下式確定的函數(shù) Dxxgfy , )(稱(chēng)為由函數(shù)稱(chēng)為由函數(shù)u=g(x)和函數(shù)和函數(shù) 構(gòu)成的構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù),它的它的定義域?yàn)槎x域?yàn)镈,變量變量u稱(chēng)為稱(chēng)為中間

21、變量中間變量.)(ufy 37注意注意: :1. 不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的數(shù)的;)2arcsin(2xy 2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.,uy ,cotvu .2xv ,arcsinuy ;22xu 如如:)1 , 12,(2yDxuRx ,2cotxy 如如:38例例1. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),1,1,13)(xxxxxf)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x0,49xx1) 13(3x10 x1,xx求求.)(xff解解:,13 x39例例2 2).(,0, 10

22、, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x; 1 x40,1)(20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx 413. 3. 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算和和(差差) :gf ;),()()(Dxxgxfxgf 積積:gf ;),()()(Dxxgxfxgf 商商:gf .0)(,)()()( xgxDxxgxfxgf設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)

23、f (x), g (x)的定義域依次為的定義域依次為,2121 DDDDD則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算：42第五節(jié)第五節(jié). 基本初等函數(shù)與初等函數(shù)基本初等函數(shù)與初等函數(shù)oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy (1)冪函數(shù)冪函數(shù)Rxy ( 是常數(shù)是常數(shù))43xay xay)1( )1( a)1 , 0( (2) 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxey 44(3) 對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1( 45(4) 三角函數(shù)三角函數(shù)xysin 正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin 4

24、6xycos xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)47正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 48xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot 49正割函數(shù)正割函數(shù)xysec xysec 50 xycsc 余割函數(shù)余割函數(shù)xycsc 51(5) 反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin xyarcsin 反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)52xyarccos xyarccos 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)53xyarctan xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)54xycot arcarccotyx反余切函數(shù)反余切函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為稱(chēng)為基本初等函數(shù)

25、基本初等函數(shù). 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算有限次四則運(yùn)算和和有限次有限次的函數(shù)復(fù)合的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱(chēng)為稱(chēng)為初等函數(shù)初等函數(shù).55函數(shù)的分類(lèi)函數(shù)的分類(lèi):函數(shù)函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)非初等函數(shù)( (分段函數(shù)分段函數(shù), ,有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)有無(wú)窮多項(xiàng)等函數(shù)) )代數(shù)函數(shù)代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)有理函數(shù)無(wú)理函數(shù)無(wú)理函數(shù)有理整函數(shù)有理整函數(shù)( (多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)) )有理分函數(shù)有理分函數(shù)( (分式函數(shù)分式函數(shù)) )四、小結(jié)四、小結(jié)56例例1 求下列函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域43) 1l

26、n(1xxxy2ln221xxxxy（1）（2）xxf2sin)2()0(),1(),(fxfxf例例2 若函數(shù)若函數(shù)，求，求。572ln)(ln2)(xxgxxf) 1ln() 2ln()(12ln)(xxxgxxxfxexxgxexxxfxx)()()(21)(11)(2xxgxxxf例例3 下列函數(shù)對(duì)中，哪一對(duì)函數(shù)表示的是同一下列函數(shù)對(duì)中，哪一對(duì)函數(shù)表示的是同一 個(gè)函數(shù)？個(gè)函數(shù)？(B)，(C)(D)(A)58例例4 下列函數(shù)中，哪個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)？下列函數(shù)中，哪個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)？) 12sin()(xxxf)1ln()(2xxxfxexxfx)(xxxxfsin1)(2(B)(C)(D)(A)59xxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用利用函數(shù)表示與變量字母的無(wú)關(guān)函數(shù)表示與變量字母的無(wú)關(guān)的特性的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設(shè)設(shè)其中).(xf求令即即令即畫(huà)線(xiàn)三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxxxff) 1(2111)()(例例5 5.60例例6 思考與練習(xí)思考與練習(xí),)()1(uufy 2)(