(完整版)求展開式系數(shù)的六種常見類型

1、求展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考?？碱}型之一，本文以高考題為例，對二項式定理 試題中求展開式系數(shù)的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一、(a b)n(n N )型例1. (x 應(yīng)y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)是()(A) 840(B) 840(C) 210(D) -210解析：在通項公式Tr 1 CM J2y)rx10中令r=4,即得(x T2y)10的展開式中x6y4項的系數(shù)為C14)( 72)4=840，故選Ao例2. (x 上)8展開式中x5的系數(shù)為 x183rq解析：通項公式Tr1 C8x8r( y)r ( 1)rC8x 2 ，由題意得8 3r 5, ,x2則r 2,

2、故所求x5的系數(shù)為(1)2C； 28。評注：常用二項展開式的通項公式求二項展開式中某特定項的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定r的值。二、(a b)n (c d)m(n,m N )型例3. (x3 -)4 (x l)8的展開式中整理后的常數(shù)項等于 . xx解析；(x3 2)4 的通項公式為 Tr1 C；(2)(x3)4r C；( 2)rx124，令 xx12 4r 0,則r 3,這時得(x3 ?)4的展開式中的常數(shù)項為C323 = 32, x(x 1)8的通項公式為Tk1 C；d)kx8k C；x82k,令8 2k 0,則k 4,這時得 xx(x 1)8的展開式中的常數(shù)項為C；=70,故(x3 2)4 (

3、x 1)8的展開式中常數(shù)項 xxx等于 32 70 38。例4.在(1 x)5 (1 x)6的展開式中，含x3的項的系數(shù)是()(A) 5(B) 5(C)10(D) 10解析：(1 x)5中X3的系數(shù)C310 ,(1 x)6中x3的系數(shù)為Ce ( 1)3 20,故(1 x)5 (1 x)6的展開式中X3的系數(shù)為10,故選D 。評注：求型如(a b)n (c d)m(n,m N )的展開式中某一項的系數(shù)，可分 別展開兩個二項式，由多項式加減法求得所求項的系數(shù)。三、(a b)n(c d)m(n,m N )型例5. (x2 1)( x 2)7的展開式中x3項的系數(shù)是。解析：(x 2)7的展開式中x、x

4、3的系數(shù)分別為 C7( 2)6和C3( 2)4,故(x2 1)(x 2)7 的展開式中 x3 項的系數(shù)為 C7( 2)6+C3( 2)4=1008。例6. x 1 x 1 8的展開式中x5的系數(shù)是()(A )14( B ) 14(C )28(D)28略解：(x 1)8的展開式中x4、x5的系數(shù)分別為C；和C，,故x 1 x 18展 開式中x5的系數(shù)為C84 C8 14,故選B。評注：求型如(a b)n(c d)m(n,m N )的展開式中某一項的系數(shù)，可分別 展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數(shù)。四、(a b c)n(n N )型例7. (x 1 J5)5的展開式中整理后的常數(shù)項為 .

5、2 x5, k 1 解法 一：B1炎)5=(31)<2 ，通項公式丁C：22(-1)5k,2x2x2x,x 1.5kr r 5 k r (5 k r)r 5 2r k k r 5 人(-) 的通項公式為Tr 1 C5 kx x 2 < ) C5 kx 2，令2 x5 2r k 0,WJk 2r 5,可得 k 1,r 2或 k 3,r 1或 k 5,r 0。,_ - c 15.9當k 1,r 2時，得展開式中項為C5Cj222 2 15必；2當k 3,r 1時,，得展開式中項為C5C22V2 2 1 20行；當k 5,r 0時，得展開式中項為C；4T2 4垃綜上，仁 1 V2)5的展

6、開式中整理后的常數(shù)項為 殍 20.2 4.2 63-2 2 x22cc 5解法二：(個 21°、5 /X 2 . 2x 2、5 (x .2) (x . 2)2) =() =5=x2x(2x)5(2x)5項式(x 、，；2)10中，Tr 1 CiOx10r(T2)r,要得到常數(shù)項需10 r 5,即r 5。所C5以，常數(shù)項為C10(.2)563 , 22解法三：(-1 V2)5是5個三項式仁-V2)相乘。常數(shù)項的產(chǎn)生有三2 x2 x種情況：在5個相乘的三項式(x 1 歷中，從其中一個取x,從另外4個三2 x2項式中選一個取1,從剩余的3個三項式中取常數(shù)項相乘，可得 xc5 1 c4 c；

7、 (J2)3 20V2 ；從其中兩個取-,從另外3個三項式中選兩個取-,5 2 432x從剩余的1個三項式中取常數(shù)項相乘，可得 c； (1)2 c；2 & yV2；從5個相乘的三項式(-揚中取常數(shù)項相乘，可得C； (72)5=4亞。2 x綜上，(x1T2)5的展開式中整理后的常數(shù)項為2 x20.2 "二 4.2 4。22評注：解法一、解法二的共同特點是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項式轉(zhuǎn)化為二項式來解決。解法三是利用二項式定理的推導方法來解決問題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項。五、(a b)m (a b)m 1 L (a b)n (m, n N

8、,1 m n)型例8.在(1 x) (1 x)2(1 x)6的展開式中，x2項的系數(shù)是(用數(shù)字作答)解析：由題意得x2項的系數(shù)為C； C； C42 C： C2 35。例9.在(1x)5+(1x)6+(1x)7+(1x)8的展開式中，含x3的項的系數(shù)是3 / 5()(A) 74(B) 121(C) 74(D) 121解析：(1- x)5 + (1 x)6 +(1 x)7 +(18=(1 x)51 (1 x)4(1 x)5 (1 x)91 (1 x)x(1 x)5 中 x4 的系數(shù)為 C54 5,(1 x)9 中 x4 的系數(shù)為一C；126 -126+5=121，故選Do評注：例8的解法是先求出各

9、展開式中x2項的系數(shù)，然后再相加；例 9則從整體出發(fā)，把原式看作首相為（1x）5,公比為（1x）的等比數(shù)列的前4項和,用等比數(shù)列求和公式減少項數(shù)，簡化了運算。8和例9的解答方法是求(a b)m (a b)m 1 L (a b)n(m, n N ,1n）的展開式中某特定項系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六、求展開式中若干項系數(shù)的和或差例 10.若(1 2x)20042a0a1x a2x2004 , a 2004 x (xR),則(a0a1) (a0a2)(a0a3)(a0a 2004)o （用數(shù)字作答）解析：在（1200422x)a0 a1x a2x2004 , a2004x中,a1 a2a3a2004(1

10、) 20041故(a0a1) (a0a2)(a0a3)(a0a 2004)=2003a0+a0 a1a2a3a20042004 。例 11 . (2x3)4a0a1x2 a?xa3x3 a4x4 ,則(a022a2a4)(a1a3)令x 1 ,可得a0a1a2a3 a4(23)44 / 5的值為（）(A) 1(B)-1(C) 0(D) 2解析：在（2x , 3）4a1x2a2x-3_4a3xa4x 中,令x 1 ,可得a0a2a3 a4(2 V3)4,所以，(a。a2 a4)2 (a1 a3)2 = (a° a? a4aa3)(a0a? a4 aia3)= (a。 ai a2 a3 a4)(a。 a a2 a3a4)= (2 73)4(2 袁)4=1，故評注：