線線角-線面角-二面角的講義

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上線線角與線面角一、課前預(yù)習(xí)1.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2, E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)且EF=，AD、BC所成的角為 .2.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D與底面所成的角分別為60和45，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為 ( ) (A). (B). (C). (D). 3.平面與直線所成的角為,則直線與平面內(nèi)所有直線所成的角的取值范圍是 4.如圖,ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成的角的度數(shù)為(A).30 (B).45 (C).60 (D).905.有一個(gè)三角尺ABC,A=30, C=90

2、,BC是貼于桌面上,當(dāng)三角尺與桌面成45角時(shí),AB邊與桌面所成角的正弦值是 二、典型例題例1.(96·全國(guó)) 如圖,正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60角,求異面直線AD與BF所成角的余弦值.【備課說(shuō)明:1.求異面直線所成的角常作出所成角的平面圖形.作法有:平移法:在異面直線的一條上選擇“特殊點(diǎn)”,作另一條直線平行線或利用中位線.補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.2.解立幾計(jì)算題要先作出所求的角,并要有嚴(yán)格的推理論證過(guò)程,還要有合理的步驟.】例2.如圖在正方體AC1中, (1) 求BC1與平面ACC1A1所成的角; (2) 求A

3、1B1與平面A1C1B所成的角.備課說(shuō)明:求直線與平面所成角的關(guān)鍵是找直線在此平面上的射影,為此必須在這條直線上找一點(diǎn)作平面的垂線. 作垂線的方法常采用:利用平面垂直的性質(zhì)找平面的垂線.點(diǎn)的射影在面內(nèi)的特殊位置.例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F為棱BB1上一點(diǎn),BFFB1=21, BF=BC=. (1)若D為BC的中點(diǎn),E為線段AD上不同于A、D的任意一點(diǎn),證明：EFFC1; (2)試問(wèn):若AB=,在線段AD上的E點(diǎn)能否使EF與平面BB1C1C成60角,為什么?證明你的結(jié)論.備課說(shuō)明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點(diǎn)問(wèn)題,解決這類(lèi)問(wèn)題,常假設(shè)命題成立,再研究是否與

4、已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.一、知識(shí)與方法要點(diǎn)：1斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角。求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過(guò)斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直來(lái)確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用其它方法求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離。2二面角的大小用它的平面角來(lái)度量，求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角(要證明)。作二面角的平面角經(jīng)常要用三垂線定理，關(guān)鍵是過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)向另一個(gè)面作垂線，并確定垂足的位置。若二面角的平面角難以作出，可考慮用射影面積公式求二面角的大小。3判定兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找到一條

5、垂直于另一個(gè)平面的直線。兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面二、例題例1正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為C1D1中點(diǎn)(1)求證：AC1平面A1BD(2)求BM與平面A1BD成的角的正切值解： (1)連AC，C1C平面ABCD， C1CBD又ACBD， AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，連AD1，AD1交A1D于E，連結(jié)ME，在D1AC1中，MEAC1，AC1平面A1BDME平面A1BD連結(jié)BE，則MBE為BM與平面A1BD成的角在中，例2如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸

6、旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)移動(dòng)的距離等于AC時(shí)停止，并記為點(diǎn)P（1）求證：面ABP面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值證明（1）  由題設(shè)知APCPBP點(diǎn)P在面ABC的射影D應(yīng)是ABC的外心，即DABPDAB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面ABC（2）解法1  取PB中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE、CDBCP為正三角形，CEBDBOD為等腰直角三角形，DEPBCED為二面角C-BP-A的平面角又由（1）知，面ABP面ABC，DCAB，AB面ABP面ABC，由面面垂直性質(zhì)定理，得DC面ABPDCDE因此CDE為直角三角形設(shè)，則，例3如圖所示，在正三棱柱中，截面?zhèn)让?1)求

7、證：；(2)若，求平面與平面所成二面角(銳角)的度數(shù)證明：在截面A1EC內(nèi)，過(guò)E作EGAC，G是垂足，如圖，面AEC面AC，EG側(cè)面AC取AC的中點(diǎn)F，分別連結(jié)BF和FC，由ABBC得BFAC面ABC側(cè)面AC，BF側(cè)面AC，得BFEGBF和EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC于FGBE側(cè)面AC，BEFG，四邊形BEGF是 ，BEFGBEAA，F(xiàn)GAA，AACFGC解：(2)分別延長(zhǎng)CE和C1B1交于點(diǎn)D，連結(jié)ADBACBCA60°，DACDABBAC90°，即 DAACCC面ACB，由三垂線定理得DAAC，所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90°CCAAABAC，CA

8、C45°，即所求二面角為45°說(shuō)明：如果改用面積射影定理，則還有另外的解法三、作業(yè)： 1已知平面的一條斜線a與平面成角，直線b，且a,b異面，則a與b所成的角為（A）A有最小值，有最大值B無(wú)最小值，有最大值。C有最小值，無(wú)最大值D有最小值，有最大值。2下列命題中正確的是（D）A過(guò)平面外一點(diǎn)作該平面的垂面有且只有一個(gè)B過(guò)直線外一點(diǎn)作該直線的平行平面有且只有一個(gè)C過(guò)直線外一點(diǎn)作該直線的垂線有且只有一條D過(guò)平面外的一條斜線作該平面的垂面有且只有一個(gè)3一條長(zhǎng)為60的線段夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間，它和這兩個(gè)平面所成的角分別為 45°和30°，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)向

9、平面的交線引垂線，則垂足間的距離是（A）A30B20C15D124設(shè)正四棱錐SABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角是（C）A30°B45°C60°D90°5正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，則它的側(cè)棱與底面所成的角為6A是BCD所在平面外的點(diǎn)，BAC=CAB=DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.（）求證：ABCD； （）求AB與平面BCD所成角的余弦值.7正四面體ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，求：CE與底面BCD所成角的正弦值解 過(guò)A，E分別作AH面BCD，EO面BCD，H，O為垂足，A

10、H 2OE，AH，OE確定平面AHD，連結(jié)OC，ECO即為所求AB=AC=AD，HB=HC=HDBCD是正三角形，H是BCD的中心，連結(jié)DH并延長(zhǎng)交BC于F，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)， ，在RtADH中，8在四面體ABCD中，DA面ABC，ABC90°，AECD，AFDB求證：（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF證明  如圖1-83（1）AD面ABCADBC又ABC90°BCABBC面DABDB是DC在面ABD內(nèi)的射影AFDBAFCD（三垂線定理）AECDCD平面AEFCDEF（2）CDAE，CDEFCD面AEFCD 面BCD面AEF面BCD（3）由EFCD，AECD

11、 AEF為二面角B-DC-A的平面又AFDB，AFCD，BDCDD AF平面DBC，二面角題目：如圖所示，已知面，二面角的平面角為，求證：2如圖，在空間四邊形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角為直二面角，求二面角的大小。例3設(shè)在平面內(nèi)的射影是直角三角形的斜邊的中點(diǎn)，求（1）AC與平面BCD所成角的大??；（2）二面角的大??；（3）異面直線AB和CD所成角的大小。例4.在正方體中，為的中點(diǎn)，求截面與底面所成較小的二面角的大小。選用：如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，求：（1）與所成角；（2）與平面所成角的正切值；（3）平面與平面所成角解：（1） 與所成角就是平面 （三垂線定理）在中， （2）作，

12、平面平面平面，為與平面所成角在中， （3） 平面又平面 平面平面即平面與平面所成角為二面角大小的求法二面角的類(lèi)型和求法可用框圖展現(xiàn)如下：一、定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；POBA例、 如圖,已知二面角-等于120°,PA,A,PB,B. 求APB的大小.例、在四棱錐P-ABCD中，ABCD是正方形，PA平面ABCD，PA=AB=a，求二面角B-PC-D的大小。二、三垂線定理法：已知二面角其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱錐P-ABCD中，ABCD是

13、平行四邊形，PA平面ABCD，PA=AB=a，ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。ABCDA1B1C1D1EO例、(2003北京春)如圖,ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體,側(cè)棱AA1長(zhǎng)為1,底面為正方體且邊長(zhǎng)為2,E是棱BC的中點(diǎn),求面C1DE與面CDE所成二面角的正切值.CDPMBA例、ABC中，A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的射影是AB中點(diǎn)M，二面角PACB的大小為45°。求（1）二面角PBCA的大??；（2）二面角CPBA的大小例、(2006年陜西試題)如圖4，平面平面，=l，A，B，點(diǎn)A在直線l上的射影為A1，點(diǎn)B

14、在l的射影為B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1ABB1的大小.圖4B1AA1BL EF三、垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；PlCBA例、空間的點(diǎn)P到二面角的面、及棱l的距離分別為4、3、，求二面角的大小.四、射影法：（面積法）利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此方法不必在圖形中畫(huà)出平面角；例、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。例、如圖，設(shè)M為正方體ABCD-A1B1C1D

15、1的棱CC1的中點(diǎn)，求平面BMD1與底面ABCD所成的二面角的大小。 AHMD1C1B1A1BCD五、平移或延長(zhǎng)（展）線（面）法對(duì)于一類(lèi)沒(méi)有給出棱的二面角，應(yīng)先延伸兩個(gè)半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。例、在四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA平面ABCD，PAABa，求平面PBA與平面PDC所成二面角的大小。課前預(yù)習(xí)1. 60 2.A 3. , 4.C 5.典型例題例1解:CBADCBF為異面直線AD與BF所成的角.連接CF、CE設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為,則BF=CBAB, EBABCEB為平面ABCD與平面ABEF所成的角CBE=60 CE= FC=

16、cosCBF=例2解:(1)設(shè)所求的角為,先證BD平面ACC1A1,則sin=sinOC1B=.故=30o.(2)A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. 棱錐B1-A1BC1是正三棱錐.過(guò)B1作B1H平面A1BC1,連A1H, B1A1H是直線A1B1與平面A1C1B所成的角.設(shè)A1B1=則A1B=得A1H=.故cosB1A1H=.所求角為例3解:(1)連接OF,容易證明AD面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DFFC1,FC1EF.(2) AD面BB1C1C, EFD是EF與平面BB1C1C所成的角.在EDF中,若EFD=60,則ED=DF·tan6

17、0=·=,AB=BC=AC=2,AD=.>.E在DA的延長(zhǎng)線上,而不在線段AD上;故線段AD上的E點(diǎn)不可能使EF與平面BB1C1C成60角.反饋練習(xí)1. D 2. D 3. 4. 3 5. 60,90 6. 45 7.解:(1)作DD于D,連接AD,BD.CA,CADD.四邊形CADD是直角梯形,CAD=D DA=90,AB,ABDD.又ABBD,AB平面BDD,BD平面BDD.ABBD.DBD是BD與所成的角,DBD=30,BD=,DD=,BD=.在ABD中,AB=,BD=,ABD=90,AD=.在CADD中，CD=.(2)作DCDC交CA于C,CDA是CD與所成的角,sinCDA=.反饋練習(xí)1設(shè)集合A、B、C分別表示異面直線所成的角、平面的斜線與平面所成的角、直線與平面所成的角的取值范圍,則（ ） (A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D) BAC.2兩條直線,與平面所成的角相等,則直線,的位置關(guān)系是（ ） (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D)