兩條直線的夾角

1、11.3(2) 兩條直線的夾角教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)理解直線夾角公式的推導(dǎo)，能正確使用夾角公式求兩條直線的夾角.進(jìn)一步理解運(yùn)用平行、垂直、夾角等概念求直線方程的一般方法.通過(guò)兩條直線夾角公式的推導(dǎo)，形成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題的能力教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)理解兩條直線夾角公式的推導(dǎo)，會(huì)求兩條直線的夾角.教學(xué)用具準(zhǔn)備多媒體設(shè)備教學(xué)流程設(shè)計(jì)課堂小結(jié)并布置作業(yè)兩條直線的夾角公式兩條直線夾角的定義兩直線的夾角復(fù)習(xí)引入運(yùn)用與深化(例題解析、鞏固練習(xí))一、復(fù)習(xí)引入1引例：判斷下列各組直線的位置關(guān)系，如果相交，則求出交點(diǎn)的坐標(biāo)（課本p16例1）（1）， ； （2）， ； （3）， 解：（參考課本p1617）說(shuō)明復(fù)習(xí)

2、判斷兩直線的平行、重合、相交，以及求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的方法.由此引出新的課題.思考并回答下列問(wèn)題1（對(duì)于上述（1）、（2）這樣），當(dāng)兩條直線相交時(shí)，用什么“量”來(lái)描述兩條直線的相對(duì)位置呢？ 教具演示：兩條直線相交，使其中一條直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，讓學(xué)生觀察這兩條直線的關(guān)系.解答：兩條直線的夾角.2回顧舊知：在初中平面幾何中“兩直線夾角”的定義是什么？解答：角是有公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的幾何圖形（如右圖）說(shuō)明在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上引人新課.二、學(xué)習(xí)新課關(guān)于兩直線的夾角1、概念形成兩條直線的夾角如右圖，兩條直線相交，一共構(gòu)成幾個(gè)角？它們有什么關(guān)系？怎樣定義兩條直線的夾角呢？平面上兩條直線和相交構(gòu)成四個(gè)角

3、，它們是兩組互補(bǔ)的對(duì)頂角，因?yàn)橄鄬?duì)而言，銳角比較簡(jiǎn)單.我們規(guī)定兩條相交直線所成的銳角或直角為兩條直線的夾角.如果兩條直線平行或重合，規(guī)定它們的夾角為0.因此,兩條直線的夾角的取值范圍是 ，而兩條相交直線夾角的取值范圍是（.現(xiàn)在我們可以用夾角來(lái)描述兩直線的相對(duì)位置關(guān)系，當(dāng)給出兩條直線的方程時(shí)，它們的相對(duì)位置就確定了，它們的夾角也隨之確定，那么，如何根據(jù)直線方程求兩直線的夾角呢？說(shuō)明為什么規(guī)定銳角或直角為兩直線的夾角，說(shuō)明其合理性；提出問(wèn)題，給學(xué)生造成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探索欲2、夾角公式的推導(dǎo)分析：直線的方向方向向量斜率傾斜角夾角之間的關(guān)系.由于直線的方向是由直線的方向向量或者斜率決定的，下面我們

4、借助于這兩條直線的方向向量來(lái)求得兩直線的夾角.說(shuō)明 引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖分析，尋找?jiàn)A角、傾斜角、方向向量之間的關(guān)系.通過(guò)類(lèi)比，尋求思路.設(shè)兩條直線的方程分別為：（不全為零）：（不全為零）.設(shè)與的夾角為，與的一方向向量分別為與，其夾角為，且=,=，當(dāng)時(shí)，則如圖甲所示;當(dāng)時(shí)，則,如圖乙所示.于是得:.即為直線與的夾角公式.特別地,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 與的夾角為,即與垂直.也就是說(shuō):垂直垂直(其中,分別為與的一個(gè)法向量)而由,易得當(dāng)時(shí),有,即當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí), 與垂直的充要條件是其中分別為直線與的斜率. 說(shuō)明培養(yǎng)學(xué)生周密分析，嚴(yán)格論證的能力.由于直線的夾角與兩個(gè)向量的夾角有區(qū)別,前者的范圍是.后者的范圍是

5、,因此必須考慮兩種情況與; 允許學(xué)生從斜率的角度考慮,但是不作為本課的重點(diǎn),可留做課后探討.3、例題分析例1：（回到引例）求下列各組直線的夾角：（1）， ； （2）， ；解：設(shè)與的夾角為，則由兩條直線的夾角公式得(1)即為所求;(2) 即為所求.說(shuō)明解決本課開(kāi)頭提出的問(wèn)題, 本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的是使學(xué)生熟悉夾角公式的初步應(yīng)用;鼓勵(lì)學(xué)生一題多解,對(duì)于小題(2),由于直線的斜率不存在,還可以數(shù)形結(jié)合(圖略)，求得的傾斜角,得出與的夾角為）例2：若直線：與：互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.（補(bǔ)充）解：先把直線的方程化為一般形式：.兩直線垂直,，為所求說(shuō)明 通過(guò)練習(xí)強(qiáng)調(diào)兩條直線垂直的充要條件，指出公式適合的前提條件

6、是把直線的方程化成一般式方程，以便確定系數(shù)例3：已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線的夾角為，求直線的方程.(補(bǔ)充)解：（方法一）設(shè)的方程為（其中為的一法向量），則即化簡(jiǎn)為 解方程，得當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)方程為當(dāng)時(shí)，方程為，即綜上, 的方程是或.（方法二）設(shè)點(diǎn)斜式，按直線的斜率是否存在分兩類(lèi)討論 若直線的斜率不存在，則過(guò)點(diǎn)直線的方程為，設(shè)它與直線的夾角，則，滿足題意. 若直線的斜率存在，那么設(shè)直線的方程為,即,設(shè)它與直線的夾角，則 則即,解得, 所以直線的方程為,化簡(jiǎn)得 , 由可知, 的方程是或.說(shuō)明 啟發(fā)學(xué)生探討“求過(guò)某定點(diǎn)，且與已知直線夾角為的直線方程”這類(lèi)基本問(wèn)題的處理方法；一般地, 求直線方程時(shí),往往采用

7、待定系數(shù)法:先設(shè)出的直線方程，再利用直線的夾角公式列式，求解；分析思路，啟發(fā)學(xué)生一題多解.若設(shè)點(diǎn)斜式，學(xué)生可能只求出一條直線，啟發(fā)學(xué)生從平面幾何分析，應(yīng)有兩條直線.但為什么有的學(xué)生求到只有一條呢？讓學(xué)生在矛盾中頓悟：需要按斜率是否存在分兩類(lèi)討論，而且利用直線的夾角公式時(shí)，都必須先化為直線方程的一般形式.例3類(lèi)同于教材中的例4，教材中例4給出的夾角為特殊值，本例為，目的讓學(xué)生熟悉反三角的表示.例4：已知的三個(gè)頂點(diǎn)為(1)求中的大小;(2)求的平分線所在直線的方程. （補(bǔ)充）解:（1）方法一:直線的方程為:，直線的方程為:, 設(shè)它們的夾角為,又為銳角,所以=，則即為所求;方法二:數(shù)形結(jié)合,因?yàn)榧礊?/p>

8、所求. （2）方法一：設(shè)角平分線所在直線方程，即.由角平分線與兩邊成等角，運(yùn)用夾角公式得 解得 ,由題意,舍所以角平分線的方程為：.方法二: 數(shù)形結(jié)合,利用半角公式先求角平分線所在直線的斜率為, 又已知它過(guò)點(diǎn)（2，1），所以，角平分線的方程為：說(shuō)明鞏固提高.因?yàn)楸绢}中,直線的方程為:,因此采用方法二更簡(jiǎn)潔些.但是方法一卻是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法.小題（1）,求三角形的內(nèi)角,一般先求過(guò)的兩條邊所在直線方程，由夾角公式可求得.需要注意夾角公式所得的角是三角形內(nèi)角或其補(bǔ)角；小題（2）,注意結(jié)合圖形,正確取舍.三、鞏固練習(xí)練習(xí)11.3（2） -1,3 四、課堂小結(jié)1本節(jié)課研究了兩條直線的夾角，推導(dǎo)出兩

9、條直線的夾角公式的方法，要理解、體會(huì)其中的思想方法；2會(huì)用兩條直線垂直的充要條件解決與垂直有關(guān)的問(wèn)題；3熟練運(yùn)用夾角公式求兩條直線的夾角.注意不垂直的兩條相交直線的夾角為銳角； 4進(jìn)一步討論了求直線方程的方法：運(yùn)用待定系數(shù)法時(shí)，可設(shè)直線方程為點(diǎn)法向式、或點(diǎn)斜式方程，而在用點(diǎn)斜式方程時(shí)，需要分類(lèi)討論.五、作業(yè)布置1、書(shū)面作業(yè)：練習(xí)11.3（2） -2,4習(xí)題11.3 A組-10,11,122、思考題：光線沿直線1：照射到直線2：上后反射，求反射線所在直線的方程.解 由.設(shè)的方程為（其中為一法向量，不同時(shí)為零）由反射原理,直線與的夾角等于與的夾角，得,舍去(否則與1重合) ,所以,得的方程為.3思考題：在y軸的正半軸上給定兩點(diǎn)A（0，a），B