勾股定理和勾股數(shù)組

1、第17講 勾股定理幾何學(xué)有兩大珍寶，其一是畢達(dá)哥拉斯定理，另一個(gè)是分一線段為中外比。前者我們可比之為黃金，后者，我們可稱之為貴重的寶石。                  開普勒知識(shí)方法掃描勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 勾股定理的逆定理：即如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形。勾股定理是平面幾何中最重要的幾何定理之一，在幾何圖形的計(jì)算和論證方面，有著重要的應(yīng)用。它溝通了形與數(shù)，將幾

2、何論證轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算是一種重要的數(shù)學(xué)方法。勾股定理的逆定理常用來證明兩條直線互相垂直。經(jīng)典例題解析例1已知ABC中，C=90°，D，E分別是BC，AC上的任意一點(diǎn)求證：AD2+BE2=AB2+DE2分析 求證中所述的4條線段分別是4個(gè)直角三角形的斜邊，因此考慮從勾股定理入手證明 由勾股定理得AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，所以AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例2（1988年上海市初三數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）如圖，在凸四邊形ABCD中，已知AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且ABC=90°，則DAB的度數(shù)是_ 解 連結(jié)AC，設(shè)A

3、B=2k，則BC= 2k，CD=3k，DA=k.在RtABC 中，在ACD中,例3（2001我愛數(shù)學(xué)初中生夏令營試題）點(diǎn)D、E分別為ABC的邊AC和BC上，C為直角，DEAB，且3DE2AB，AE13，BD9，那么，AB的長(zhǎng)等于_。解 由DEAB，得記k，m，則有CE2k，CB3k，CD2m，CA3m。因C為直角，故由勾股定理，得CE2CA2AE2，CD2CB2BD2，即兩式相加，有k2m2因此AB2BC2CA29k29m2于是AB評(píng)注 設(shè)比例因子k與m，可使線段用長(zhǎng)度表出，以便利用勾股定理求出線段之長(zhǎng)。 例4(2003第1屆“創(chuàng)新杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)在直角三角形ABC中，C=90º

4、，I是ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過I作IDAB于D，若BD=m，CD=n，那么ABC的面積為 .解 因I是ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，故I到三邊的距離相等，作IEAC，IFBC，顯然AIDAIE，BIDBIF，CIFCIB，于是BF=BD=m, AE=AD=n.設(shè) CE=CF=r，因AC2+BC2=AB2，故(n+r) 2+(m+r) 2=(m+n) 2. 化簡(jiǎn)得 r2+mr+nr=mn. ABC的面積=(m+r)(n+r)=(mn+mr+nr+r2)=(mn+mn)=mn.例5( 2003年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的面積和周長(zhǎng)的數(shù)值相等試確定這個(gè)直角三

5、角形三邊的長(zhǎng)。解 設(shè)a，b分別為兩個(gè)直角邊，則斜邊c=，由于a,b,c均為正整數(shù)，所以ab，不妨設(shè)a>b. 依題意有 a+b+=，兩邊平方整理得：，消去ab，得。即 (a-4)(b-4)=8=8×1=4×2。由于a,b為正整數(shù)，a>b, 則或所以a=12, b=5, c=13或 a=8, b=6, c=10.例6（2002年上海初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）若直角三角形兩直角邊上中線長(zhǎng)度之比為m，則m的取值范圍是_。解 設(shè)RtABC（C90°）的兩直角邊BCa，ACb，則BC邊上的中線長(zhǎng)為，AC邊上的中線長(zhǎng)為，依題意，得m， 即m2，亦即0。所以（4m21）（m2

6、4）0，解得m24，故m2。例7如圖,AM是ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)證明 過A引ADBC于D由勾股定理，AB2=AD2+BD2=AD2+(BM+MD)2=AD2+BM2+2BMMD+MD2AC2=AD2+CD2=AD2+(MC-MD)2= AD2+MC2-2MCMD+MD2注意到 BM=CM， 故AB2+AC2=2AD2+2BM2+2MD2=2(AD2+MD2)+2BM2=2(AM2+BM2)評(píng)注 (1)如果設(shè)ABC三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，它們對(duì)應(yīng)邊上的中線長(zhǎng)分別為ma，mb，mc，由上述結(jié)論不難推出關(guān)于三角形三條中線長(zhǎng)的公式,(2)涉及到含有線段的平

7、方證明題，在初二的學(xué)習(xí)范圍內(nèi)，多是用勾股定理作為工具來證明的。在解答此類問題時(shí)所用的輔助線，最常用的是作三角形的高，有時(shí)還要用到某些幾何變換，如平移，旋轉(zhuǎn)，對(duì)稱等等。例8（1978年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)少年班入學(xué)試題）設(shè)M是ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，MDAB,MEBC,MFCA,又BD=BE，CE=CF,求證:AD=AF. 分析 這里有很多垂線，很自然地想到勾股定理。證明 如圖，連結(jié)MA，MB，MC。由條件中的垂直關(guān)系，有AD2 = DD12+AD12 = BD2-BD12+AM2-MD12 = AM2 +BE2-( BD12+ MD12)= AM2 +BE2- BM2= AM2 +BD2-( ME12+

8、 BF12)= (AM2- ME12)+( BE2- BF12)= AM2- ME12+ EE12.同理可證 AF2 = AM2- ME12+ EE12，于是AD2 = AF2，AD=AF. 評(píng)注 更進(jìn)一步，可以把已知的等式BD=BE，CE=CF改為不等式BDBE，CECF，結(jié)論則變?yōu)锳FAD。同步訓(xùn)練一 選擇題1(1993年吉林省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)在ABC中，則ABC的面積為（ ）8m10m(A) 10 (B) 10 (C) 12.5 (D) 152(2002年四川省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)如圖，一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米，如果梯子的頂端下滑1米，那么梯子的底

9、端的滑動(dòng)距離（ ）（A）等于1米 （B）大于1米（C）小于1米 （D）不能確定3（2001年希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，正方形EFGH內(nèi)接于ABCD，AEa，AFb,且SEFGH，則=（ ） （A） （B） （C） （D）4（2002年澳大利亞數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）如圖，PQR是一個(gè)直角三角形，它的斜邊PR被點(diǎn)S及點(diǎn)T三等分，若，則k之值為何？(A) (B) (C) (D) 2 (E) 5（第十四屆“五羊杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）圖中的正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，從各邊往外作等邊三角形ABE，BCF，CDG，DAH，則四邊形AFGD的周長(zhǎng)為（ ）。（A）422 （B）222（C）424

10、（D）224二 填空題6（2002年希望杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）.RtABC中，ABC90，C60，BC2，D是AC的中點(diǎn)，從D作DEAC與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，以AB、BE為鄰邊作矩形ABEF，連結(jié)DF，則DF的長(zhǎng)是。7（2004年第二屆“創(chuàng)新杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）如圖，等邊三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C分別在三條互相平行的直線上，其中的距離為1，的距離為2，AC與相交于D，則BD= 。8(1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)在ABC中，ABAC2，BC邊上有100個(gè)不同的點(diǎn)p1，p2，p3，p100, 記mi=APi2+BPi×PiC (I=1,2，100)，則m1+m2+m100=_9（20

11、01年河北初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）在矩形ABCD中，DC5cm，在DC上存在一點(diǎn)E，沿直線AE把AED折疊，使點(diǎn)D恰好落在BC邊上，設(shè)此點(diǎn)為F，若ABF的面積為30cm2，那么折疊的AED的面積為_。10（1995年福州市第三屆初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）三角形三邊長(zhǎng)是一組勾股數(shù)，它的面積等于60，則它的周長(zhǎng)等于 三 解答題11在ABC中，已知AB= 17AC= 15, BC邊上的中線BD=4求SABC·12求證：任意四邊形四條邊的平方和等于對(duì)角線的平方和加對(duì)角線中點(diǎn)連線平方的4倍.13（1992年第九屆縉云杯初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）設(shè)a、b、c分別表示ABC中A、B、C所對(duì)邊,h表示AB邊上的高。 (1) 求證: a+b. (2) 說明: 當(dāng)已知ABC具備什么條件時(shí),上述結(jié)論中的等號(hào)成立?14在ABC中,BAC=90°,AB