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1、 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)加法的幾何意義: 是以、為兩鄰邊的平行四邊形對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)減法的幾何意義:是連接向量、的終點(diǎn),并指向被減數(shù)的向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).2. 重要結(jié)論(1) 對(duì)復(fù)數(shù)z 、和自然數(shù)m、n,有,(2) ,; ,.(3) ,.(4)設(shè),二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.對(duì)于,是復(fù)數(shù)運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算相互轉(zhuǎn)化的主要依據(jù),也是把復(fù)數(shù)看作整體進(jìn)行運(yùn)算的主要依據(jù),在解題中加以認(rèn)識(shí)并逐漸體會(huì).2.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí),不能把實(shí)數(shù)的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來,如下面的結(jié)論.當(dāng)時(shí),不總是成立的.(1);(2);(3);(4);(5)三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 滿足條件的點(diǎn)的軌
2、跡是( )A.橢圓 B.直線 C.線段 D.圓正解:點(diǎn)(0,2)與(-1,0)間的距離為, 動(dòng)點(diǎn)在兩定點(diǎn)(0,-2)與(-1,0)之間,選C 例2 求值:正解:原式=例3已知,求的值. 分析:結(jié)論是等比數(shù)列的求和問題,所以應(yīng)聯(lián)想到求和公式,若直接將條件代入求和公式,則顯得較為麻煩,不妨先將條件化簡(jiǎn). 原式=評(píng)注:由于數(shù)列中的數(shù)可以是復(fù)數(shù),所以數(shù)列的諸性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中仍成立.例4 (06年上海春卷)已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),求一個(gè)以為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程.解法一: . 若實(shí)系數(shù)一元二次方程有虛根,則必有共軛虛根. , 所求的一個(gè)一元二次方程可以是. 解法二:設(shè) ,得 , 以下解法同解法一. 例5
3、解析 四、典型習(xí)題導(dǎo)練2.3計(jì)算4.計(jì)算 5解下列方程:(1);(2). 例1,已知復(fù)數(shù)z滿足求.解:設(shè)z=x+yi, x, yR,則 , =0, 又|z2|=2, 聯(lián)立解得,當(dāng)y=0時(shí), x=4或x=0 (舍去x=0, 因此時(shí)z=0),當(dāng)y0時(shí), 綜上所得 例2設(shè)z為虛數(shù),求證:為實(shí)數(shù)的充要條件是|z|=1.證明:設(shè)z=a+bi (a, bR,b0),于是,所以b0, R =0 |z|=1.例3復(fù)數(shù)z滿足,且為純虛數(shù),求z.解:設(shè)z=x+yi (x, yR),則 ,即.為純虛數(shù), 或例4設(shè)z是虛數(shù),=是實(shí)數(shù),且10,則,當(dāng),即a=0時(shí),上式取等號(hào),所以的最小值為1.例5,若復(fù)數(shù)z滿足,,則z= .例6設(shè)zC,|z|=1,則的最大值為(3)例7,已知復(fù)數(shù)z滿足|z|13iz求的值例7已知 ,復(fù)數(shù), 求|例8若zC,滿足。求z的值和|z|的取值范圍例9,設(shè),是純虛數(shù),求復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程 解:是純虛數(shù), ,即
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