利用MATLAB設(shè)計狀態(tài)觀測器

1、實驗5 利用MATLAB設(shè)計狀態(tài)觀測器5.1 實驗設(shè)備同實驗1。5.2 實驗?zāi)康?、學(xué)習(xí)觀測器設(shè)計算法；2、通過編程、上機(jī)調(diào)試，掌握基于觀測器的輸出反饋控制系統(tǒng)設(shè)計方法。5.3 實驗原理說明考慮如下的線性時不變系統(tǒng)&=Ax+Bux (5.1) y=Cx其中：x,u和y分別是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量、m維控制輸入向量和p維測量輸出向量，A,B和C是已知的適當(dāng)維數(shù)常數(shù)矩陣。根據(jù)系統(tǒng)模型（5.1）和輸入輸出信息來人為地構(gòu)x(t)隨著時間的推移逼近系統(tǒng)的真實狀態(tài)x(t)，即 造一個系統(tǒng)，使得其輸出limx(t)x(t)=0 t通常稱x(t)為x(t)的重構(gòu)狀態(tài)或狀態(tài)估計值，而這個用以實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)重構(gòu)

2、的系統(tǒng)為狀態(tài)觀測器。龍伯格觀測器具有以下結(jié)構(gòu)：圖5.1 狀態(tài)估計的閉環(huán)處理方法其中的矩陣L是誤差信號的加權(quán)矩陣。觀測器模型是&=Axx+Bu+L(yCx) (5.2) =(ALC)x+Bu+Lyx是觀測器的n維狀態(tài)，L是一個n×p維的待定矩陣。 其中：x的動態(tài)方程： 狀態(tài)估計誤差e=x&&=x&exxBuLy=Ax+Bu(ALC)(5.3) =Ax(ALC)xLCx=(ALC)e16根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性結(jié)論，若矩陣ALC的所有特征值均在左半開復(fù)平面中，即矩陣ALC的所有特征值都具有負(fù)實部，則誤差動態(tài)系統(tǒng)（5.3）是漸近穩(wěn)定的，從而對任意的初始誤差

3、e(0)，隨著時間t，誤差向量e(t)都將趨向于零。即無論系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(0)是什么，狀態(tài)估計模型（5.2）的初始狀態(tài)x(0)可以任意選取，隨著時間的推移，狀態(tài)估計模型（5.2）的狀態(tài)x將趨于系統(tǒng)的實際狀態(tài)，從而實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)的重構(gòu)。由此可見，只要通過適當(dāng)選取矩陣L，使得矩陣ALC的所有特征值都具有負(fù)實部，則狀態(tài)估計模型（5.2）就是系統(tǒng)（5.1）的一個狀態(tài)觀測器。由極點(diǎn)配置和觀測器設(shè)計問題的對偶關(guān)系，也可以應(yīng)用MATLAB中極點(diǎn)配置的函數(shù)來確定所需要的觀測器增益矩陣。例如，對于單輸入單輸出系統(tǒng)，觀測器的增益矩陣可以由函數(shù)L=(acker(A,C,V)得到。其中的V是由期望的觀測器極點(diǎn)所構(gòu)成的

4、向量。類似的，也可以用L=(place(A,C,V)來確定一般系統(tǒng)的觀測器矩陣，但這里要求V不包含相同的極點(diǎn)。假定系統(tǒng)（5.1）的矩陣C具有形式10（對一般結(jié)構(gòu)的矩陣C，需要作適當(dāng)?shù)淖儞Q）。根據(jù)矩陣C的結(jié)構(gòu)，將系統(tǒng)狀態(tài)x分劃成兩部分：xx=a xb其中的xa是一個標(biāo)量。由xy=Cx=10a=xa xb可知：xa恰好是系統(tǒng)的輸出，它能被直接測量得到。xb是n1維向量，是狀態(tài)向量中不能直接測量的部分。將狀態(tài)空間模型（5.1）中的矩陣A和B作相應(yīng)的分塊，則該狀態(tài)空間模型可以寫成&aAaaxx=A&bbaAabxaBa+u （5.4） AbbxbBb其中的xb是要估計的狀態(tài)，將已知信號

5、和未知信號分離，可以得到&b=Abbxb+(baxa+Bbu)x&aAaaxaBau=Aabxbx表5.1 狀態(tài)空間模型的對應(yīng)關(guān)系 進(jìn)而，將其和全階觀測器設(shè)計時的標(biāo)準(zhǔn)模型（5.2）相比較，可得以下對應(yīng)項之間的關(guān)系：全階觀測器x 降階觀測器 xbAbbAbaxa+Bbu A Buy17&aAaaxaBau xC AabL（n×1維矩陣）根據(jù)上表給出的對應(yīng)關(guān)系及全階觀測器的模型 L（(n1)×1維矩陣）&=(ALC)xx+Bu+Ly&=(ALA)&xbbbabxb+Abaxa+Bbu+L(xaAaaxaBau) （5.5） 然而，

6、方程（5.5）還不是所要的降階觀測器。因為在方程（5.5）中，用到了xa的微分。由于xa就是測量輸出信號，而測量信號往往含有噪聲和誤差，對這樣的信號進(jìn)行微分會放&a。 大噪聲和誤差，這在實際應(yīng)用中是應(yīng)該避免的。因此有必要消除式（5.5）中的x通過將式（5.5）中的微分項放在一起可以克服上面講到的困難，即得到：&Ly%&=(AbbLAab)(x%bLy)+(AbbLAab)L+AbaLAaayxb （5.6） +(BbLBa)u定義 可以得到估計不可直接測量狀態(tài)xb的觀測器xbLy=wxbLy=wAbbLAab=AL+ALA=BAbaaaBLB=Fba則式（5.6）可以寫

7、成+B&=Awy+Fu （5.7） w式（5.7）就是要設(shè)計的降階觀測器，不可直接測量的狀態(tài)分量xb的估計量由下式給出：+Ly x=wb由于xy01x=a=Iw+Ly x+ywLb記=0， D=1 CIL則+Dwy x=C和測量值y給出了系統(tǒng)狀態(tài)x的估計值上式用降階觀測器的狀態(tài)wx。基于狀態(tài)估計值的反饋控制器是%u=Kx %(Ka+KbL)y=Kbw因此，基于降階觀測器的輸出反饋控制器是+B&=(AFK)wF(K+KL)ywbab （5.8） u=Kbw(Ka+KbL)y18基于降階觀測器的輸出反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下：圖5.2 基于降階觀測器的反饋控制系統(tǒng)滿足方程 容易證明，誤

8、差向量e=xbxb=ww&=(AbbLAab)e （5.9） e因此，若(Aab,Abb)完全能觀，則一定可以通過選取一個適當(dāng)?shù)木仃嘗，使得誤差動態(tài)系統(tǒng)（5.9）具有任意給定的極點(diǎn)，這樣的矩陣L可以應(yīng)用全階觀測器的設(shè)計方法來設(shè)計。矩陣L也稱為是系統(tǒng)的降階觀測器增益矩陣。對于降階觀測器的設(shè)計，使用MATLAB軟件中的函數(shù)L=(acker(Abb,Aab,V)或L=(place(Abb,Aab,V)可以得到觀測器的增益矩陣L。其中的V是由降階觀測器的期望極點(diǎn)所組成的向量。5.4 實驗步驟1、基于觀測器的輸出反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計，采用MATLAB的m-文件編程；2、在MATLAB界面下調(diào)試程序

9、，并檢查是否運(yùn)行正確。例5.1 給定線性定常系統(tǒng)y=100x試應(yīng)用MATLAB軟件，設(shè)計一個全維觀測器，使得觀測器極點(diǎn)是1=5+j5，1=5j5，3=10。配置全階觀測器極點(diǎn)的M-文件為：a=0 1 0;0 0 1;1.244 0.3965 -3.145;19b=0;0;1.244;c=1 0 0;v=-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3) -10;l=(acker(a',c',v)'執(zhí)行以上程序可得：16.855 L=147.3875544.3932相應(yīng)的全維觀測器是：&%=(ALC)x%+Bu+Ly x例5.2 考慮例5.1給出的系統(tǒng)。假

10、設(shè)輸出y可準(zhǔn)確量測。試應(yīng)用MATLAB軟件，設(shè)計一個降階觀測器，使得其極點(diǎn)是1=5+j5, 1=5j5。由于輸出y可準(zhǔn)確量測，同時y=x1，因此可得：100Aaa=0，Aab=10，Aba=，Abb=0.39653.145 1.2440Ba=0，Bb= 1.244執(zhí)行以下的M-文件：Aaa=0;Aab=1 0;Aba=0;1.244;Abb=0 1;0.3965 -3.145;Ba=0;Bb=0;1.244;v=-5+j*5*sqrt(3) -5-j*5*sqrt(3);l=(acker(Abb',Aab',v)'Ahat=Abb-l*AabBhat=Ahat*l+Aba-l*AaaFhat=Bb-l*Ba可得：20131.846506.8556.855L=A=，B=，F(xiàn)= 78.837578.4413.1451.244784.4132即所設(shè)計的降階觀測器為：131.84650&%+By+Fu=6.855%=Aw%ww+y+78.4413.145784.41321.244u 5.5 實驗要求在運(yùn)行以上例程序的基礎(chǔ)上，考慮圖5.3所示的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)，試針對被控對象設(shè)計基于全階觀測器和降階觀測器的輸出反饋控制器。設(shè)極點(diǎn)配置部分希望的閉環(huán)極點(diǎn)是1,2=2