無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)

1、 無窮級數(shù)10常數(shù)項級數(shù)概念及性質(zhì)1、定義 稱為一般項或通項 稱為前n項部分和例1、2、定義 如收斂，則收斂3、幾個重要級數(shù)等比級數(shù)（幾何） ，當 收斂， 發(fā)散；P級數(shù) 收斂， 發(fā)散；當， 又稱調(diào)和級數(shù)。4、級數(shù)性質(zhì) 性質(zhì)5是級數(shù)收斂的必要條件即 收斂 例1、 發(fā)散， 例2、 發(fā)散， 例3、 發(fā)散，但20正項級數(shù)判別法正項級數(shù)部分和數(shù)列單調(diào)遞增 正項級數(shù) 收斂 部分和數(shù)列有上界1、比較判別法設，如收斂，則收斂 如發(fā)散，則發(fā)散例、判別下列級數(shù)斂散性（1）（2）解（1）由于 發(fā)散，原級數(shù)發(fā)散（2）由于，而收斂，原級數(shù)收斂比較判別法的極限形式如則有時 ，同時收斂，同時發(fā)散A=0如 收斂，則收斂A=+

2、如 收斂，則收斂判別下列級數(shù)斂散性例、 又發(fā)散，原級數(shù)發(fā)散例、（1） （2） （3）解：（1）由（2） 收斂原級數(shù)收斂（3） 發(fā)散， 發(fā)散2、比值判別法設正項級數(shù)的一般項滿足則當時，級數(shù)收斂，時發(fā)散，不定3、根值法設為正項級數(shù)，如則當時，級數(shù)收斂，時發(fā)散，不定正項級數(shù)判別其斂散性的步驟：需進一步判別發(fā)散首先考察如中含或的乘積通常選用比值法；如是以為指數(shù)冪的因子，通常用根值法，也可用比值法；如含形如（可以不是整數(shù)）因子，通常用比較法；利用級數(shù)性質(zhì)判別其斂散性；據(jù)定義判別級數(shù)斂散性，考察是否存在，實際上考察是否有上界。例、判別下列級數(shù)的斂散性 （1） （2） （3）設（4）（5） （6）（7）（8

3、）解：（1） 收斂（2）方法一： 收斂方法二： 收斂 原級數(shù)收斂 級數(shù)收斂 收斂（3）當 發(fā)散 發(fā)散 為公比的等比級數(shù) 收斂（4） 收斂， 原級數(shù)收斂（5） 對 收斂，又由比較判別法知原級數(shù)收斂 （6） ，由此值法知收斂 原級數(shù)收斂3°交錯級數(shù)的斂散性的判別法 如，則稱為交錯級數(shù)。萊伯尼茲判別法：如交錯級數(shù)滿足：( i ) ( ii ) 則 收斂，且和例、判斷下列級數(shù)的斂散性。1 解： 收斂2.解： 即 收斂4°絕對收斂與條件收斂 定義 P275 為任意項級數(shù) 如 收斂 稱絕對收斂 如 發(fā)散 收斂 稱條件收斂 定理，如 收斂 必收斂例、判斷級數(shù)的斂散性，如收斂，是絕對收斂還

4、是條件收斂 ( 1 ) ( 2 ) 解：( 1 ) 原級數(shù)收斂，且絕對收斂。解：( 2 ) 原級數(shù)絕對收斂 原級數(shù)發(fā)散 原級數(shù)為 為交錯級數(shù) 收斂而 發(fā)散 條件收斂冪級數(shù)10定義，具有下列形式的函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)(令 即上述形式)取 為常數(shù)項級數(shù)，如收斂，其和為 為常數(shù)項級數(shù)，如收斂，其和為 為和函數(shù),總收斂對冪級數(shù)主要討論兩個問題（1）冪級數(shù)的收斂域 （2）將函數(shù)表示成冪級數(shù)冪級數(shù)的收斂域具有特別的結(jié)構(gòu)定理：（i）如在 收斂，則對于滿足的一切 都絕對收斂 （ii）如在發(fā)散，則對于滿足的一切 發(fā)散20冪級數(shù)的收斂半徑及其求法定理：如冪級數(shù)系數(shù)滿足 則（1） （2） （3）注意：當 的斂散性不

5、能確定，要討論例1：求下列冪級數(shù)的收斂域（1） （2）（3） （4）解：（1）故當原級數(shù)為為交錯級數(shù)，滿足¬­ 收斂當原級數(shù)為發(fā)散 收斂域為解（2）由于 故收斂域為解（3） 當原級數(shù)為發(fā)原級數(shù)為為交錯級數(shù)滿足（1） （2）設 ，當， 單調(diào)減， 故 收斂 收斂域為-1，1）解（4） 令 當原級數(shù)為 發(fā)散同理 級數(shù)也發(fā)散收斂域20冪級數(shù)的性質(zhì) 求冪級數(shù)的和函數(shù)：利用逐項求導，逐次積分及四則運算等于將其化為可求和的形式，即化到公式： 在端點的斂散性與有關。例、求下列冪級數(shù)的和函數(shù)1、2、解1、R=1，x=±1，un0，收斂域為（-1，1）令 （-1，1）解2、收斂域（-，+）令故，例、利用計算冪級數(shù)的和函數(shù)，求下列級數(shù)的和解：記： （-1，1） 30將函數(shù)展開成冪函數(shù)1、泰勒級數(shù)與麥克勞林級數(shù) 設函數(shù)在的某鄰城內(nèi)具有任意階導數(shù)，則級數(shù) 稱為在點的泰勒級數(shù)特別當，則級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù)2、函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的條件能展開成泰勒級數(shù)：收斂于 在，之間3、冪級數(shù)展開式的求法 方法1、 直接法：計算 證明：及 方法 2、 間接法：利用已知的冪級數(shù)展開式，通過變量代換四則運算，逐項求導逐項積分待定系數(shù)等方法及到函數(shù)的展開式。例 將下例函數(shù)展開成的