文獻綜述宋慧麗已修改

1、文 獻 綜 述2011屆行列式的一些計算方法學生姓名 宋慧麗 學 號 07101129 院 系 數(shù)理信息學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 指導教師 吳培炯 完成日期 2010年12月31日 行列式的一些計算方法的文獻綜述行列式的計算是學習高等代數(shù)的基石,它是求解線性方程組,求逆矩陣及求矩陣特征值的基礎,但行列式的計算方法很多,綜合性較強,在行列式計算中需要我們多觀察總結,便于能熟練的計算行列式的值。目前我們常用的計算行列式的方法有三角化法,拆項法,降階法，升階法，待定系數(shù)法和數(shù)學歸納法。同時，我還總結了幾種尚未被大家廣為使用的方法。目前常用的幾種方法1. 三角化法即把行列式轉換成上三角行列式（主對

2、角線下方的元素全為零的行列式）或下三角行列式（主對角線上方的元素全為零的行列式）。2. 拆項法把某一行(或列)的元素寫成兩數(shù)和的形式,再利用行列式性質將原行列式寫成二個行列式的和,使問題簡化以利于計算。3. 降階法(包括遞推降階法和依據(jù)定理展開)遞推降階法：遞推法可分為直接遞推和間接遞推。用直接遞推法計算行列式的關鍵是找出一個關于的代數(shù)式來表示，依次從逐級遞推便可以求出的值；間接遞推的做法是，變換原行列式以構造出關于和的方程組，消去就可以解得。依據(jù)定理展開法：依據(jù)行列式展開定理，可以把所給行列式展開成若干個低一階的行列式的和。如果能把行列式變形，使其某一行（列）的元素只有一個不為零，那么這個行

3、列式就可以變形為一個低一階的行列式來計算。4. 升階法在計算行列式時. 我們往往先利用行列式的性質變換給定的行列式，再利用展開定理使之降階，從而使問題得到簡化。有時與此相反，即在原行列式的基礎上添行加列使其升階構造一個容易計算的新行列式，進而求出原行列式的值。這種計算行列式的方法稱為升階法。升階時，新行(列)由哪些元素組成? 添加在哪個位置? 這要根據(jù)原行列式的特點作出適當?shù)倪x擇。5. 待定系數(shù)法此方法是數(shù)學中的重要方法，它是對數(shù)學問題，根據(jù)求解問題的固有特征，可轉化為一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后利用恒等式性質求出未知系數(shù)，從而獲得問題解決的方法，用待定系數(shù)法求行列式的思想:若行列式中含有未

4、定元，則行列式一定是關于的一個多項式，且當取某些值，如能夠使行列式的值為零，根據(jù)多項式整除理論，則行列式一定可以被這個線性因子整除，即行列式的表達式里應該含有該因子，如果可以找出行列式的所有因子，求出待定常數(shù)即可得到行列式的值。6. 數(shù)學歸納法即利用不完全歸納法尋找出行列式的猜想值，再用數(shù)學歸納法給出猜想值的嚴格證明。這里采用第二型數(shù)學歸納法較多。幾種尚未被廣泛使用的方法1. 析因子法如果行列式中有一些元素是變數(shù)（或某個參變數(shù)）的多項式，那么可以將行列式當作一個多項式，然后對行列式施行某些變換，求出的互素的一次因式，使與這些因式的乘積只相差一個常數(shù)因子，根據(jù)多項式相等的定義，比較與的某一項的系

5、數(shù)，求出的值，便可求得。2. 超范德蒙行列式法超范德蒙行列式法就是考慮階范德蒙行列式，利用行列式與某元素余子式的關系計算行列式的方法。該方法適用于具有范德蒙行列式的題型。3. 微積分法若行列式含有未知量，可將行列式看成關于這個未知量的多項式，若易于求出某個初始值，再對進行求導運算，求出，最后根據(jù)微積分知識求出在初始值處的解析表達式。記，則。同上可得。從而，接下來解決的問題是已知，求的表達式。由知而，得依次類推可計算出4. 軟件法對于階數(shù)已知的行列式的計算或一些稍復雜的行列式的計算，我們還可借助于一些數(shù)學軟件來進行求解。一是借助于EXCEL進行行列式計算：如計算行列式的值，可按下列步驟進行求解：

6、第一步：打開一個EXCEL文檔，選擇相鄰的兩行兩列的四個空單元格，在其中分別依次輸入行列式的四個元素-1，-2，2，3;第二步：選定存放結果的單元格，點擊“插入”菜單中的“函數(shù)”，打開粘貼函數(shù)的窗口，在窗口中選擇“數(shù)學與三角函數(shù)”中的MDETERM函數(shù)，單擊確定；第三步：在編輯欄內(nèi)函數(shù)的括號內(nèi)輸入要計算的單元格，按下Enter鍵即可得到所求行列式的值。二是使用數(shù)學軟件Matlab進行行列式的計算，如可按下列步驟計算行列式的值。第一步：打開Matlab，在其命令窗口輸入以下命令：第二步：按下Enter鍵即可得到行列式的值。研究的方向對于行列式的計算，往往由于方法的不同，難易繁簡差別程度甚大，欲使

7、計算過程簡單明了，要善于選擇適當?shù)姆椒ǎ莆找欢ǖ募记?。對這些技巧進行探討歸納，不僅有課程建設的現(xiàn)實意義，而且有深刻的理論意義。因此，我將著力于研究各種方法的使用領域，各種類型的題目最適合于何種方法。就目前而言，大家用的最多的還是一些比較常規(guī)的方法，但是往往這些方法的計算量較大，因此就面臨了如何推廣大家尚未頻繁使用的技巧這個問題。參考文獻1趙樹嫄.線性代數(shù)M.中國人民大學出版社,2001年2同濟大學數(shù)學教研室.線性代數(shù)M.高等教育出版社,(第四版）19953王萼芳.高等代數(shù)教程習題集M.北京 清華大學出版社,20014李師正.高等代數(shù)解題方法與技巧M.北京 高等教育出版社,20015張賢科,許浦華 高等代數(shù)學M.北京 清華大學出版社,20006楊聞起.計算行列式的三種技巧M.通化師范學院學報,2003（3） 12-167李永樂.研究生入學考試線性代數(shù)M.北京 北京大學出版社,20008蘇N.B.普羅斯庫烈柯夫,周曉鐘.線性代數(shù)習題集M.北京 人民教育出版社,19819王開帥. 用待定系數(shù)法計算行列式J.河北理科教學研究,2001年