數(shù)理方程分離變量法

1、第八章 分離變量法對(duì)于這樣的定解問題，我們將介紹分離變量法求解，首先回憶高數(shù)中我們?nèi)绾翁幚淼那蠼獾?，高?shù)中處理微分或重積分是把函數(shù)分成單元函數(shù)分離變量法的思路：對(duì)于二階線性微分方程變換成單元函數(shù)來求解，也就是通過分離變量法把x、t兩個(gè)變量分開來，即把常微分方程變化為兩個(gè)偏微分方程來求解。分離變量法的思想：先求出具有分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理做出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)（疊加后這些特解滿足邊界條件不滿足初始條件，再由初始條件確定通解中的未知的數(shù)）。疊加原理：線性偏微分方程的解的線性組合仍是這個(gè)方程的解。特點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)上解的唯一性來做作保證。（2）物理

2、上由疊加原理作保證。例：有界弦的自由振動(dòng)1.求兩端固定的弦的自由振動(dòng)的規(guī)律第一步：分離變量（建立常微分方程定解問題）令這個(gè)思想可從實(shí)際的物理現(xiàn)象可抽象出來，比如我現(xiàn)在說話的聲音，它的振幅肯定隨時(shí)間變化，但到達(dá)每個(gè)同學(xué)的位置不同，振幅又是隨位置變化，可把聲音分成兩部分，一部分認(rèn)為它隨時(shí)間變化，一部分隨位置變化。第二步：代入方程（偏微分就可寫成微分的形式，對(duì)于u有兩個(gè)變量，但對(duì)于X、T都只有一個(gè)變量）變形得= 左邊與t無關(guān)，右邊與x無關(guān)，左右兩邊相互獨(dú)立，要想相等，必定等于一個(gè)常數(shù)。由于x, t 是相互獨(dú)立的變量，上式必然等于同一常數(shù)。方程左邊為關(guān)于x的函數(shù)，方程右邊為關(guān)于t的函數(shù)，只有當(dāng)左右兩邊

3、都等于常數(shù)的時(shí)候才成立令其為（得到的兩個(gè)常微分方程形式比較標(biāo)準(zhǔn)） 得到兩個(gè)常微分方程第三步：代入邊界條件得到： ，由于是t>0得值，是一個(gè)范圍內(nèi)不固定的值，所以 常微分方程含，未知，需要對(duì)進(jìn)行討論， 特征（固有）值問題：含有待定常數(shù)常微分方程子一定條件下的求解問題。特征（固有）函數(shù)：和特征值相對(duì)應(yīng)的非零解第四步：確定特征值并得到它的特征函數(shù)分情況討論：1）<0時(shí), 特征方程為,特征根為：得通解為（A、B為待定系數(shù)）把定解條件 代入通解得到A+B=0于是A=B=0即=0則=0，零解無意義即<0時(shí)，定解問題無解。2）=0時(shí), 有A=B=0即=0則=0，零解無意義3）>0時(shí),

4、 令（為非零實(shí)數(shù)）特征方程為,特征根為虛數(shù)：i通解為（A、B為待定系數(shù)）把定解條件，代入通解得到A =0，即得到在B0的情況下，有=0，即（n=1,2,3，注意n0，若n=0，則=0，而為非零實(shí)數(shù)）現(xiàn)在就完成了用分離變量法求解X（x）的部分，得到特征值為，所對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)為：下面求解關(guān)于t的常微分方程，將代入，這種情況的通解與的>0的情況相同。即 （ n=1,2,3，）至此，所以定解問題的n個(gè)特解（這n個(gè)特解均滿足邊界條件）為：= （ n=1,2,3，）根據(jù)疊加原理，特解的疊加仍是方程的解，所以得到通解=（ n=1,2,3，）其中為待定系數(shù)（利用初始條件求解）第五步: 利用本征函數(shù)的正交

5、歸一性確定待定系數(shù)正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)，、是傅里葉系數(shù)。利用三角函數(shù)的正交性（mn）得到：于是得到：同理，回顧整個(gè)求解過程，可作出分離變量法流程圖2. 解的性質(zhì)=-方程的特解（前面是關(guān)于t的函數(shù)，后面是關(guān)于x的函數(shù)）=其中：，當(dāng)時(shí)，=-弦上確定的一點(diǎn)以頻率做振動(dòng)（弦上某點(diǎn)的振動(dòng)方程）。當(dāng)時(shí)，=-某一時(shí)刻，特解為正弦函數(shù)的形式，所有點(diǎn)的位置，波動(dòng)方程（駐波的方程），每個(gè)特解代表一個(gè)駐波，因此分離變量法又稱為駐波法。標(biāo)準(zhǔn)的駐波方程：的（駐波）波長(zhǎng)為（n=1,2,3，）頻率：波速：3. 分離變量法概要：（1）作分離變量假設(shè)，代入方程和邊界條件中得到固有值問題（2）確定固有函數(shù)和固有值（3）寫出定解問題

6、的特解（4）將特解疊加無，給出通解（5）用初始條件確定通解系數(shù)（傅立葉展開 ）4. 回顧整體思路：初始條件 定解問題 邊界條件將假設(shè)代入方程，此偏微分方程得到兩個(gè)常微分方程 。將邊界條件代入，得到、，求解已知定解條件的常微分方程的特征值為，特征方程，求解的特征函數(shù)，所以=。根據(jù)疊加原理，特解的疊加是方程的通解，所以得到：=，將初始條件代入，求解待定系數(shù)（傅立葉展開）。分離變量法的適用條件：任何二階線性（齊次）偏微分方程例一：設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速度為零，初位移為，求弦做微小橫振動(dòng)時(shí)的位移。解：設(shè)，代入得到： 得到本征值問題：，經(jīng)討論時(shí)，有非零解，n=1,2,3，得到特征值： 得到特征方程：于是：，其解為=將初始條件運(yùn)用分部積分法求解 =，故=0.所以=例二：解：設(shè)，代入得到： 得到本征值問題：，經(jīng)討論，（A、B為待定系數(shù)）把定解條件 代入通解得到A+B=0于是A=B=0即=0=0時(shí), ，有，A=B=0即=0時(shí)， 所以 n=1,2,3，寫出特征值和特征函數(shù)，變?yōu)椋?所以=由初始條件確定Cn、Dn。，Dn=0=附錄1：二階常系數(shù)微分方程：特征方程：根的三種情況得到常系數(shù)微分方程的通解：附錄2：線性方程滿足疊加原理。線性齊次方程（