正余弦定理講義

1、培優(yōu)教育一對(duì)一輔導(dǎo)講義科目：數(shù) 年級(jí)：高一 姓名： 教師： 時(shí)間：課題正弦定理、余弦定理授課時(shí)間：備課時(shí)間：教學(xué)目標(biāo)1、 掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題2、 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題3、 會(huì)運(yùn)用三角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明與解決有關(guān)實(shí)際問題，會(huì)運(yùn)用三角方法、袋鼠方法和解析方法求三角函數(shù)的最值，會(huì)由已知三件函數(shù)值求角重點(diǎn)、難點(diǎn)1、三角函數(shù)值域及最值的求法2、三角函數(shù)與向量、函數(shù)、不等式的綜合問題及生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題考點(diǎn)及考試要求高考對(duì)正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角轉(zhuǎn)化。三角形形狀的判斷、三角

2、形內(nèi)角的三角函數(shù)求值及三角恒等式的證明、立體幾何中的空間角及解析幾何中有關(guān)角等問題。今后的命題中仍會(huì)以正余弦定理為框架，以三角形為主要依托，來綜合考查三角形知識(shí)，題型一般是選擇題和填空題，也有可能是中檔難度的解答題，關(guān)注利用正余弦定理解決實(shí)際問題 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用在高考中地位顯著，可以綜合考查對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的掌握情況。分析近幾年高考，主要有以下幾種類型： 1、可轉(zhuǎn)化為的形式，然后研究性質(zhì) 2、可轉(zhuǎn)化為的形式，然后借助于二次函數(shù)求閉區(qū)間上的最值 3、與向量、三角形知識(shí)結(jié)合的綜合題 4、用三角函數(shù)知識(shí)解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題教學(xué)內(nèi)容探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對(duì)角的正弦的關(guān)系嗎？

3、直角三角形中的正弦定理： sinA = sinB = sinC=1 即c=.探究二：能否推廣到斜三角形？ （先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，有,則. 同理，（思考如何作高？），從而.探究三：你能用其他方法證明嗎？1.證明一：（等積法）在任意斜ABC當(dāng)中SABC=. 兩邊同除以即得：=.2證明二：（外接圓法）如圖所示，AD，同理 =2R，2R.3證明三：（向量法）過A作單位向量垂直于，由+=邊同乘以單位向量 得.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即=2R理解定理1公式的變形：2.正弦定理的基本作用為：已知

4、三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形.3.利用正弦定理解三角形使,經(jīng)常用到:三、 教學(xué)例題：例1 已知在.分析已知條件 討論如何利用邊角關(guān)系 示范格式 小結(jié)：已知兩角一邊解：例2 解： 例3在課后作業(yè)1在ABC中，,則k為( )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2 在中，已知角，則角A的值是( )A. B. C. D.或3、在ABC中, 4、在中，若，則A= 。5、在中，已知，解三角形。 探究一在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進(jìn)一步求

5、出B；則 ，從而1當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必須才能有且只有一解；否則無解。2當(dāng)A為銳角時(shí)，如果，那么只有一解；3.如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。評(píng)述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角且時(shí)，有兩解；其它情況時(shí)則只有一解或無解。探究二 你能畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎？三例題講解例1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1) a20，b28，A120°.無解(2)a28，b20，A45°；一解(3)c54，b39，C115°；一解(4) b11，a20，B30

6、76;；兩解 隨堂練習(xí)1（1）在ABC中，已知，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，則符合題意的b的值有_個(gè)。（3）在ABC中，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3）例2.在中,已知判斷的形狀隨堂練習(xí)21.ABC中， ，則ABC為（ A ） A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰三角形2. 已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 答案： ABC是等腰或直角三角形1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況2.在中，a=15,b=10,A=60°，則= A B C D 3.已知a,b,c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A,

7、B,C所對(duì)的邊，若a=1,b=, A+C=2B,則sinC= .5.設(shè)銳角ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，a2bsinA(1)求B的大??；(2)求cosAsinC的取值范圍同步分層能力測(cè)試題（一）一填空題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1在ABC中， 若a=,b=,A=300,則邊c= 。2. 在ABC中，已知A=45，B=60，c =1，則a= .3. 在ABC中， 已知a=5,b=12,c=13.最大內(nèi)角為 度。4. 在ABC中，已知b=4,c=8,B=30.則a= 。5. a,b,c是ABC的三邊，且B=1200,則a2+ac+c2-b2的值為 .6在ABC中，若a

8、=50，b=25, A=45°則B= .7.在ABC中，有等式：asinA=bsinB；asinB=bsinA；acosB=bcosA；. 其中恒成立的等式序號(hào)為_.8在中，分別為三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊,設(shè)向量，若向量，則角C 的大小為 。二解答題(本大題共4小題，共54分)9.在ABC中，a=3，c=3，A=300，則角C及b.10.在中， 已知： acosB=bcosA ,試判斷形狀;求證：。（1） 在銳角三角形中，邊a、b是方程x22x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin(A+B)=0，求角C的度數(shù)，邊c的長(zhǎng)度.12. 在ABC中，已知角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別為a、b、c，

9、且 C=2Acos A=(1)求cosC和cosB的值；(2)當(dāng)時(shí)，求a、b、c的值 余弦定理a2b2c22bc·cosA，b2c2a22ca·cosB，c2a2b22ab·cosC.(4)余弦定理的變式cosA； cosB； cosC.正余弦定理考點(diǎn)考點(diǎn)一：利用正、余弦定理解三角形在ABC中，(1)若b，c1，B45°，求a及C的值；(2)若A60°，a7，b5，求邊c.知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析1已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，可有兩解、一解、無解三種情況，應(yīng)根據(jù)已知條件判斷解的情況，主要是根據(jù)圖形或由“大邊對(duì)大角”作出判斷2應(yīng)熟練掌握

10、余弦定理及其推論解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷3三角形中常見的結(jié)論(1)ABC.(2)在三角形中大邊對(duì)大角，反之亦然(3)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊針對(duì)性練習(xí)在ABC中，已知a7，b3，c5，求最大角和sinC.考點(diǎn)二：利用正、余弦定理判斷三角形形狀典型例題ABC中，已知acosAbcosB，則ABC為()A等腰三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷時(shí)，主要有如下兩種方法：1利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相

11、應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；2利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論針對(duì)性練習(xí)：已知ABC中，sinC，試判斷ABC的形狀考點(diǎn)三：三角形面積公式的應(yīng)用典型例題已知ABC中，cosA，a，b，c分別是角A、B、C的對(duì)邊求tan2A； (2)若sin(B)，c2，求ABC的面積知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析1三角形面積公式的選取取決于三角形中的哪個(gè)角可求，或三角形的哪個(gè)角的正弦值可求2在解決三角形問題中，面積公式SabsinCbcsinAacsinB最常用，因?yàn)楣街屑扔羞呉灿薪?，容易和正?/p>

12、定理、余弦定理聯(lián)系起來針對(duì)性練習(xí)：在ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對(duì)邊，且滿足(2ac)cosBbcosC.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面積考點(diǎn)四：正、余弦定理的綜合應(yīng)用典型例題：在ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對(duì)的分別為a、b、c，且cos2A，sinB.(1)求AB的值；(2)若ab1，求a、b、c的值知識(shí)概括、方法總結(jié)與易錯(cuò)點(diǎn)分析(1)正弦定理和余弦定理并不是孤立的，解題時(shí)要根據(jù)具體題目合理運(yùn)用，有時(shí)還需要交替使用(2)條件中出現(xiàn)平方關(guān)系多考慮余弦定理，出現(xiàn)一次式，一般要考慮正弦定理針對(duì)性練習(xí)：1、在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

13、滿足cos，·3.(1)求ABC的面積； (2)若bc6，求a的值2、設(shè)ABC是銳角三角形，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)，并且 sin2Asin(B)sin(B)sin2B.1） 求角A的值；2） (2)若·12，a2，求b，c(其中b<c)鞏固作業(yè)1(2010·北京高考)在ABC中，若b1，c，C，則a_.2(2010·廣東高考)已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊若a1，b，AC2B，則sinC_.3(2010·江蘇高考)在銳角ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若6cosC，則的值是_4在ABC

14、中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，已知：b2，c4，cosA.(1)求邊a的值；(2)求cos(AB)的值5(2010·遼寧高考)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.(1)求A的大??；(2)若sinBsinC1，試判斷ABC的形狀6(2010·浙江高考)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2C.(1)求sinC的值；(2)當(dāng)a2,2sinAsinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)7、某人在山頂觀察A、B兩個(gè)目標(biāo)，測(cè)得A在南偏西60°距山底1000米處，B在南偏東60°距山底800米處，求A、B之間的距離8、(2010·寶雞質(zhì)檢一)如右圖，為了計(jì)算渭河岸邊兩景點(diǎn)B與C的距離，由于地形的限制，需要在岸上選取A和D兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)，現(xiàn)測(cè)得ADCD，AD100 m，AB140 m，BDA60°，BCD135°，求兩景點(diǎn)B與C之間的距離(假設(shè)A，B，C，D在同一平面內(nèi)