勾股定理證明方法的應(yīng)用教案

1、課題：勾股定理證明方法的應(yīng)用教師：鄭燕時(shí)間：2007年5月9日（星期三）第6節(jié)班級(jí)：初二（7）班（數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)班）教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握勾股定理的幾種常見證明方法（趙爽弦圖法、劉徽青朱出入法、歐幾里得面積法等），理解證明思路；運(yùn)用趙爽弦圖法、歐幾里得面積法、劉徽青朱出入法解決一些問題；體驗(yàn)知識(shí)的遷移和方法的運(yùn)用過程，從而提高分析、類比的能力，提高解決問題的能力；感受勾股定理中折射出的數(shù)學(xué)文化，體驗(yàn)數(shù)學(xué)美.教學(xué)重點(diǎn)：勾股定理證明方法的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：歐幾里得面積法的理解和應(yīng)用，劉輝青朱出入法的理解和應(yīng)用教學(xué)過程：一、 鞏固知識(shí)、引出問題：復(fù)習(xí)勾股定理的幾種常見的證明方法（演示自制的flash課件） 1 趙

2、爽弦圖法（構(gòu)造以斜邊c為邊長的正方形）：2 劉徽青朱出入法（面積割補(bǔ)）：3 歐幾里得面積法（三角形全等、平行線間的等積變形）： 世界上各個(gè)古代文明中幾乎都能找到勾股定理的影子，到了近代勾股定理的證明方法更有數(shù)百種之多，成為數(shù)學(xué)大花園中的一朵奇葩，而勾股定理的各種證明方法中也蘊(yùn)含著美妙的數(shù)學(xué)思想方法，值得我們好好學(xué)習(xí)體會(huì).二、 運(yùn)用方法，挑戰(zhàn)中考試題：例1（趙爽弦圖法的應(yīng)用）（2003年煙臺(tái)）四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)于2002年8月在北京市召開. 大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖a. 它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若大正方形的面積為13，每個(gè)直角三角形兩直角邊的和是5，求：（1）中間

3、小正方形的面積；（2）現(xiàn)有一張長為6.5cm，寬為2cm的紙片，如圖b，請(qǐng)你將它分割成6塊，再拼成一個(gè)正方形.此題比較簡單，由學(xué)生獨(dú)立思考完成，師生小結(jié)趙爽弦圖法對(duì)解題的作用，體驗(yàn)運(yùn)用趙爽弦圖法的過程.例2（歐幾里得面積法的應(yīng)用）(2005年北京市海淀區(qū)中考題）已知，分別以、為邊向形外作等邊三角形、等邊三角形、等邊三角形ADBECF如圖，當(dāng)中只有時(shí)，請(qǐng)你證明與的和等于與的和此題為05海淀中考最后一題，難度較大，方法不唯一，歐幾里得證明勾股定理時(shí)所使用的面積法為解決此題提供了很巧妙的證明思路，但題目的外形與勾股定理有較大的出入，需要學(xué)生經(jīng)過辨別、分析才能夠認(rèn)識(shí)到. 另外，使用方法時(shí)，平行線間的等

4、積變形是一個(gè)難點(diǎn)，為突破這一難點(diǎn)，一方面：借助自制的flash和幾何畫板課件可以幫助學(xué)生直觀的、清晰的認(rèn)識(shí)基本圖形，了解基本方法；另一方面，要分析清楚，已知中“”為“平行線”、“等積變形”提供了條件，是解題的關(guān)鍵. 簡單證明：連接AE、BF，得， 由ABEC 同理： 此題先讓學(xué)生充分的獨(dú)立思考、相互討論，最后師生共同完成，并反思?xì)W幾里得面積法對(duì)解決此題的作用. 此題的其他證明方法，由學(xué)生課下思考.三、 運(yùn)用方法，動(dòng)手操作：勾股定理的各種證明方法，除了為我們解決一些中考題提供了思路，還給我們提供了很有趣的拼圖游戲.例3（劉徽青朱出入法的應(yīng)用）把兩個(gè)小正方形，剪切幾刀，重新組合成一個(gè)大正方形，這不

5、就是勾股定理的證明，不需借助任何文字與符號(hào)，更能拼出那么多美麗的圖案，讓我們來比比看，看誰剪拼得又快又漂亮？ 請(qǐng)敘述出你的輔助線（剪開線），并簡要說明拼圖的方法和成立的理由.此題是一個(gè)發(fā)散性的題目，源于學(xué)生利用課余時(shí)間搜集到的勾股定理有關(guān)材料，在動(dòng)手實(shí)踐中，思考全等和對(duì)應(yīng)的關(guān)系，利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱等幾何變換，運(yùn)用幾何語言（輔助線的作圖）敘述剪、拼過程，提高識(shí)圖能力、分析能力、表達(dá)能力. 學(xué)生可以在活動(dòng)中，發(fā)揮自身的想象力與創(chuàng)造性，嘗試更多合理的拼圖方案，并且觀察和思考其中的規(guī)律，體驗(yàn)做數(shù)學(xué)的快樂和成就感，感受數(shù)學(xué)的美.四、 小結(jié)作業(yè)學(xué)生小結(jié)作業(yè)：1（2006北京市中考題）請(qǐng)閱讀下列材料：問

6、題：現(xiàn)有5個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖1，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為依題意，割補(bǔ)前后圖形的面積相等，有，解得由此可知新正方形的邊長等于兩個(gè)正方形組成的矩形對(duì)角線的長于是，畫出如圖2所示的分割線，拼出如圖3所示的新正方形圖1圖2 圖3 請(qǐng)你參考小東同學(xué)的做法，解決如下問題：現(xiàn)有10個(gè)邊長為1的正方形，排列形式如圖4，請(qǐng)把它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形要求：在圖4中畫出分割線，并在圖5的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個(gè)小正方形的邊長均為1）中用實(shí)線畫出拼接成的新正方形說

7、明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程圖4 圖5 2 在作業(yè)本上完成例2、例3課后自評(píng)：勾股定理是數(shù)學(xué)史上極富色彩的一筆，涉及內(nèi)容極為廣泛，特別適合學(xué)生利用課余時(shí)間綜合性的學(xué)習(xí). 因此，我在五一長假期間布置了搜集勾股定理證明方法的作業(yè). 學(xué)生搜集材料的熱情和豐富程度是我始料不及的，超過了我們備課組幾位老師搜集的材料總和. 那么多的證明方法，學(xué)生有的能看懂、有的看不懂、更多的似懂非懂，但特別好奇、感興趣，作為教師，課時(shí)有限制、考試有要求、學(xué)生情感有需求、知識(shí)有局限，如何處理？我整理了近兩年全國各地中考試題，發(fā)現(xiàn)，勾股定理的證明方法常常出現(xiàn)在試題中. 有的很明顯，如課上例1和作業(yè)第1題，熟悉趙爽弦圖的

8、學(xué)生必然能輕松應(yīng)對(duì)；有的則很隱蔽，如課上例2，題目難度很大，表面看上去與勾股定理毫無瓜葛，但若能運(yùn)用上歐幾里得證明勾股定理的方法，困難迎刃而解. 我曾經(jīng)和一個(gè)老師一起做這道題，由于我讀過原本很快就解決了問題，而那位老師尋求其他方法花費(fèi)了很長的時(shí)間. 這是讓我決定選擇這一課題一個(gè)直接的原因. 例3源自學(xué)生搜集到的材料，但在近些年的中考中，這類發(fā)散型、操作型、設(shè)計(jì)型題目的影子也常常出現(xiàn). 綜上，為了滿足學(xué)生的好奇心、豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容、落實(shí)學(xué)生對(duì)勾股定理一些常用方法的理解、緊密結(jié)合中考動(dòng)態(tài)，我設(shè)計(jì)了這節(jié)課.精選的三道例題運(yùn)用了三種不同的證明勾股定理的方法，例1較易、例2較難、例3開放，前面的復(fù)習(xí)為三道例題提供鋪墊，突出知識(shí)的遷移和方法的運(yùn)用. 自制的flash和幾何畫板課件，對(duì)突破教學(xué)難點(diǎn)（歐幾里得面積法的理解和運(yùn)用）、提高教學(xué)密度起到了重要的支持作用，三種方法的應(yīng)用都有板書，起到了教學(xué)效果.從教學(xué)的實(shí)際效果和課后作業(yè)看來，教學(xué)目標(biāo)