等邊三角形內(nèi)的旋轉(zhuǎn)

1、中考專題玩轉(zhuǎn)等邊三角形類型一：抓住等邊三角形的邊進(jìn)行旋轉(zhuǎn)1如圖，ABC為等邊三角形，D是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若將ABD經(jīng)過一次逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后到ACP的位置，則旋轉(zhuǎn)中心是_，旋轉(zhuǎn)角等于_，ADP是_三角形2如圖，設(shè)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5，則APB的度數(shù)是_3已知：等邊三角形ABC（1）如圖1，P為等邊ABC外一點(diǎn)，且BPC=120試猜想線段BP、PC、AP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；（2）如圖2，P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，且APD=120求證：PA+PD+PCBD跟蹤練習(xí)：1. 如圖1，已知DAC=90，ABC是等邊三角形，點(diǎn)P為射線AD上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A不重合），連結(jié)

2、CP，將線段CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段CQ，連結(jié)QB并延長交直線AD于點(diǎn)E.（1）如圖1，猜想QEP= ；（2）如圖2，3，若當(dāng)DAC是銳角或鈍角時(shí)，其它條件不變，猜想QEP的度數(shù)，選取一種情況加以證明；（3）如圖3，若DAC=135，ACP=15，且AC=4，求BQ的長2、（海淀期末）在ABC中，AB=AC，BAC=，點(diǎn)P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且連接PB，試探究PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系圖1 圖2（1）當(dāng)=60時(shí)，將ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到，連接，如圖1所示由可以證得是等邊三角形，再由可得APC的大小為 度，進(jìn)而得到是直角三角形，這樣可以得到PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系為 ；（2

3、）如圖2，當(dāng)=120時(shí)，請參考（1）中的方法，探究PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；（3）PA，PB，PC滿足的等量關(guān)系為 3（13年中考）在ABC中，AB=AC，BAC=（），將線段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段BD。（1）如圖1，直接寫出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如圖2，BCE=150，ABE=60，判斷ABE的形狀并加以證明；（3）在（2）的條件下，連結(jié)DE，若DEC=45，求的值。專題二、抓住其它等線段構(gòu)造旋轉(zhuǎn)類型全等三角形例題：、已知：等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在直線BC上，以點(diǎn)M為旋轉(zhuǎn)中心，將線段MD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60至

4、，連接.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，線段與MF的數(shù)量關(guān)系是_；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在BC邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？如果成立，請利用圖2證明，如果不成立，請說明理由；圖3（3）當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形，直接判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立？不必給出證明或說明理由.圖1圖2 跟蹤練習(xí)：（石景山期末）已知是等邊三角形，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，點(diǎn)是射線上的一個(gè)動點(diǎn)，作等邊，使與在邊同側(cè)，連接.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，直接寫出線段與線段的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)，不重合）時(shí)，在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立

5、，請說明理由；（3）連接，直線與直線相交于點(diǎn)，若的面積是面積的9倍，請直接寫出線段的長. 圖1 圖2 備用圖答：（1）. 1分 （2）補(bǔ)全圖形，如圖1所示. 2分結(jié)論成立. 證明：連接，如圖2.圖1是等邊三角形， .，分別是邊，的中點(diǎn)，. . 又是等邊三角形，. 圖2. . 4分. 5分 （3）的長為1或2. 7分專題三、等邊三角形內(nèi)的其它類型例題：（16年中考）在等邊ABC中：（1）如圖1，P，Q是BC邊上的兩點(diǎn)，AP=AQ，BAP=20，求AQB的度數(shù)；（2）點(diǎn)P，Q是BC邊上的兩個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，且AP=AQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，連接AM，PM依題意

6、將圖2補(bǔ)全；小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：在點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，始終有PA=PM，小茹把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：要證明PA=PM，只需證APM是等邊三角形；想法2：在BA上取一點(diǎn)N，使得BN=BP，要證明PA=PM，只需證ANPPCM；想法3：將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到線段BK，要證PA=PM，只需證PA=CK，PM=CK請你參考上面的想法，幫助小茹證明PA=PM（一種方法即可）【答案】（1）40；（2）作圖見解析；證明見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到APQ=AQP，由鄰補(bǔ)角的定義得到APB=AQC，根據(jù)三角形外角

7、的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)要求作出圖形，如圖2；BAP=CAQ，點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M，AQ=AM，QAC=MAC，MAC=BAP，BAP+PAC=MAC+CAP=60，PAM=60，AP=AQ，AP=AM，APM是等邊三角形，AP=PM考點(diǎn)：三角形綜合題跟蹤練習(xí)：（懷柔期末）在等邊ABC中，E為BC邊上一點(diǎn)，G為BC延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作AEM=60，交ACG的平分線于點(diǎn)M.(1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的中點(diǎn)位置時(shí),通過測量AE，EM的長度，猜想AE與EM滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；(2) 如圖（2），小晏通過觀察、實(shí)驗(yàn)，提出猜想：當(dāng)點(diǎn)E在BC邊的任意位置時(shí)，始終有AE=EM.小晏把這

8、個(gè)猜想與同學(xué)進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：在BA上取一點(diǎn)H使AH=CE，連接EH，要證AE=EM， 只需證AHEECM.想法2：找點(diǎn)A關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)F，連接AF，CF，EF.（易證BCF+BCA+ACM=180，所以M，C，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線上）要證AE=EM，只需證MEF為等腰三角形.想法3：將線段BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到線段BF，連接CF，EF，要證AE=EM，只需證四邊形MCFE為平行四邊形.請你參考上面的想法，幫助小晏證明AE=EM.（一種方法即可）(1)相等；1分(2)想法一：ABC是等邊三角形，AB=BC, B=60. 2分AH=CE,BH=BE.BHE=60.AC/HE.1=2. 3分在AOE和COM中,ACM=AEM=60,AOE=MOE,1=3.2=3. 5分BHE=60,AHE=120.ECM=120.AHE=ECM. 6分AH=CE,AHEECM（AAS）.AE=EM. 7分（或根據(jù)一線三等角證ABEECO,得BAE=CEM,再證AHE=ECM,得AHEECM（ASA）想法二：在AOE和COM中, ACM=AEM=60,AOE=COM,EAC=EMC. 3分又對稱ACEFCE,EAC=EFC, AE=EF. 5分EMC=EFC.EF=EM.AE=EM. 7分想法三：將線段BE繞點(diǎn)B順