第四章圓與方程(優(yōu)化設(shè)計(jì)1)

1、第四章 圓與方程本章教材分析上一章,學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與方程,知道在直角坐標(biāo)系中,直線可以用方程表示,通過方程,可以研究直線間的位置關(guān)系、直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、點(diǎn)到直線的距離等問題,對(duì)數(shù)形結(jié)合的思想方法有了初步體驗(yàn).本章將在上章學(xué)習(xí)了直線與方程的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)在平面直角坐標(biāo)系中建立圓的代數(shù)方程,運(yùn)用代數(shù)方法研究點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,了解空間直角坐標(biāo)系,以便為今后的坐標(biāo)法研究空間的幾何對(duì)象奠定基礎(chǔ),這些知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓錐曲線方程、導(dǎo)數(shù)和微積分的基礎(chǔ),在這個(gè)過程中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力.通過方程,研究直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一,

2、坐標(biāo)法不僅是研究幾何問題的重要方法,而且是一種廣泛應(yīng)用于其他領(lǐng)域的重要數(shù)學(xué)方法,通過坐標(biāo)系把點(diǎn)和坐標(biāo)、曲線和方程聯(lián)系起來,實(shí)現(xiàn)了形和數(shù)的統(tǒng)一,因此在教學(xué)過程中,要始終貫穿坐標(biāo)法這一重要思想,不怕反復(fù).用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí),先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點(diǎn)、直線、圓;然后對(duì)坐標(biāo)和方程進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算;最后把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何結(jié)論.這就是坐標(biāo)法解決幾何問題的三步曲.坐標(biāo)法還可以與平面幾何中的綜合方法、向量方法建立聯(lián)系,同時(shí)可以推廣到空間,解決立體幾何問題.本章教學(xué)時(shí)間約需9課時(shí),具體分配如下(僅供參考):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1課時(shí)圓的一般方程1課時(shí)直線與圓的位置關(guān)系2課時(shí)圓與圓的位置關(guān)系2課時(shí)

3、空間直角坐標(biāo)系1課時(shí)空間兩點(diǎn)間的距離公式1課時(shí)本章復(fù)習(xí)1課時(shí)4.1 圓的方程 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過圓的有關(guān)知識(shí),本節(jié)內(nèi)容是在初中所學(xué)知識(shí)及前幾節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步運(yùn)用解析法研究圓的方程,它與其他圖形的位置關(guān)系及其應(yīng)用.同時(shí),由于圓也是特殊的圓錐曲線,因此,學(xué)習(xí)了圓的方程,就為后面學(xué)習(xí)其他圓錐曲線的方程奠定了基礎(chǔ).也就是說,本節(jié)內(nèi)容在教材體系中起到承上啟下的作用,具有重要的地位,在許多實(shí)際問題中也有著廣泛的應(yīng)用.由于“圓的方程”一節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)性和應(yīng)用的廣泛性,對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程要求層次是“掌握”,為了激發(fā)學(xué)生的主體意識(shí),教學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)和學(xué)會(huì)創(chuàng)造,同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),本節(jié)

4、內(nèi)容可采用“引導(dǎo)探究”型教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),所謂“引導(dǎo)探究”是教師把教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)為若干問題,從而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究的課堂教學(xué)模式,教師在教學(xué)過程中,主要著眼于“引”,啟發(fā)學(xué)生“探”,把“引”和“探”有機(jī)的結(jié)合起來.教師的每項(xiàng)教學(xué)措施,都是給學(xué)生創(chuàng)造一種思維情境,一種動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口并主動(dòng)參與的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì),激發(fā)學(xué)生的求知欲,促使學(xué)生解決問題.三維目標(biāo)1.使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,能根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出圓的圓心、半徑,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生能用解析法研究幾何問題的能力,滲透數(shù)形結(jié)合思想,注意培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力.2.會(huì)用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通過圓的

5、標(biāo)準(zhǔn)方程解決實(shí)際問題的學(xué)習(xí),形成代數(shù)方法處理幾何問題的能力,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣,培養(yǎng)學(xué)生分析、概括的思維能力.3.理解掌握?qǐng)A的切線的求法.包括已知切點(diǎn)求切線,從圓外一點(diǎn)引切線,已知切線斜率求切線等.把握運(yùn)動(dòng)變化原則,培養(yǎng)學(xué)生樹立相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證唯物主義觀點(diǎn),欣賞和體驗(yàn)圓的對(duì)稱性,感受數(shù)學(xué)美.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程特點(diǎn)的明確.教學(xué)難點(diǎn):會(huì)根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.課前準(zhǔn)備：(用淀粉在一張白紙上畫上海和山)說明:在白紙上要表演的是一個(gè)小魔術(shù),名稱是日出,所以還缺少一個(gè)太陽(yáng),請(qǐng)學(xué)生幫助

6、在白紙上畫出太陽(yáng).要求其他學(xué)生在自己的腦海里也構(gòu)畫出自己的太陽(yáng).課堂估計(jì)：一種是非尺規(guī)作圖(指出數(shù)學(xué)作圖的嚴(yán)謹(jǐn)性)；一種作出后有同學(xué)覺得不夠美(點(diǎn)評(píng):其實(shí)每個(gè)人心中都有一個(gè)自己的太陽(yáng),每個(gè)人都有自己的審美觀點(diǎn)).然后上升到數(shù)學(xué)層次：不同的圓心和半徑對(duì)應(yīng)著不同的圓,進(jìn)而對(duì)應(yīng)著不同的圓的方程.從用圓規(guī)作圖復(fù)習(xí)初中所學(xué)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡.那么在給定圓心和半徑的基礎(chǔ)上,結(jié)合我們前面所學(xué)的直線方程的求解,應(yīng)該如何建立圓的方程？教師板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.思路2.同學(xué)們,我們知道直線可以用一個(gè)方程表示,那么,圓可以用一個(gè)方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內(nèi)容,教師

7、板書本節(jié)課題:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.推進(jìn)新課新知探究提出問題已知兩點(diǎn)A(2,-5),B(6,9),如何求它們之間的距離?若已知C(3,-8),D(x,y),又如何求它們之間的距離?具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱為圓？圖1中哪個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)？動(dòng)點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反映了圓的什么特點(diǎn)？圖1我們知道,在平面直角坐標(biāo)系中,確定一條直線的條件是兩點(diǎn)或一點(diǎn)和傾斜角,那么,決定圓的條件是什么?如果已知圓心坐標(biāo)為C(a,b),圓的半徑為r,我們?nèi)绾螌懗鰣A的方程?圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí),圓的方程是什么？討論結(jié)果：根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式,得|AB|=,|CD|=.平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)

8、的軌跡稱為圓,定點(diǎn)是圓心,定長(zhǎng)是半徑(教師在黑板上畫一個(gè)圓).圓心C是定點(diǎn),圓周上的點(diǎn)M是動(dòng)點(diǎn),它們到圓心距離等于定長(zhǎng)|MC|=r,圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小.確定圓的條件是圓心和半徑,只要圓心和半徑確定了,那么圓的位置和大小就確定了.確定圓的基本條件是圓心和半徑,設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為C(a,b),半徑為r(其中a、b、r都是常數(shù),r0).設(shè)M(x,y)為這個(gè)圓上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)M滿足的條件是(引導(dǎo)學(xué)生自己列出)P=M|MA|=r,由兩點(diǎn)間的距離公式讓學(xué)生寫出點(diǎn)M適合的條件=r.將上式兩邊平方得(x-a)2+(y-b)2=r2.化簡(jiǎn)可得(x-a)2+(y-b)2=r2.若點(diǎn)M(x,y)在圓

9、上,由上述討論可知,點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程,反之若點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程,這就說明點(diǎn)M與圓心C的距離為r,即點(diǎn)M在圓心為C的圓上.方程就是圓心為C(a,b),半徑長(zhǎng)為r的圓的方程,我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這是二元二次方程,展開后沒有xy項(xiàng),括號(hào)內(nèi)變數(shù)x,y的系數(shù)都是1.點(diǎn)(a,b)、r分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑.當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0,0)時(shí),方程為x2+y2=r2.提出問題根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程說明確定圓的方程的條件是什么?確定圓的方程的方法和步驟是什么?坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與圓有什么位置關(guān)系?如何判斷?討論結(jié)果：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2=r2中,有三個(gè)參數(shù)a、b、r,只要求出a、b、r且r0,這時(shí)圓

10、的方程就被確定,因此確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需三個(gè)獨(dú)立條件,其中圓心是圓的定位條件,半徑是圓的定形條件.確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法,即列出關(guān)于a、b、r的方程組,求a、b、r或直接求出圓心(a,b)和半徑r,一般步驟為：1根據(jù)題意,設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2=r2；2根據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、r的方程組；3解方程組,求出a、b、r的值,并把它們代入所設(shè)的方程中去,就得到所求圓的方程.點(diǎn)M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系的判斷方法：當(dāng)點(diǎn)M(x0,y0)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.當(dāng)點(diǎn)M(x

11、0,y0)不在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)不滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2.用點(diǎn)到圓心的距離和半徑的大小來說明應(yīng)為:1點(diǎn)到圓心的距離大于半徑,點(diǎn)在圓外(x0-a)2+(y0-b)2r2,點(diǎn)在圓外;2點(diǎn)到圓心的距離等于半徑,點(diǎn)在圓上(x0-a)2+(y0-b)2=r2,點(diǎn)在圓上;3點(diǎn)到圓心的距離小于半徑,點(diǎn)在圓內(nèi)(x0-a)2+(y0-b)2r2,點(diǎn)在圓內(nèi).應(yīng)用示例思路1例1 寫出下列各圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)圓心在原點(diǎn),半徑是3；圓心在點(diǎn)C(3,4),半徑是;(3)經(jīng)過點(diǎn)P(5,1),圓心在點(diǎn)C(8,-3)；(4)圓心在點(diǎn)C(1,3),并且和直線3x-4y-7=0相

12、切.解:(1)由于圓心在原點(diǎn),半徑是3,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-0)2+(y-0)2=32,即x2+y2=9.(2)由于圓心在點(diǎn)C(3,4),半徑是5,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-3)2+(y-4)2=(5)2,即(x-3)2+(y-4)2=5.(3)方法一:圓的半徑r=|CP|=5,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.方法二:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=r2,因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)P(5,1),所以(5-8)2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-8)2+(y+3)2=25.這里方法一是直接法,方法二是間接法,它需要確定有關(guān)參數(shù)來確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

13、,兩種方法都可,要視問題的方便而定.(4)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=r2,由圓心到直線的距離等于圓的半徑,所以r=.因此所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-3)2=.點(diǎn)評(píng)：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)熟練地寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2 寫出圓心為A(2,-3),半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程,并判斷點(diǎn)M1(5,-7),M2(-,-1)是否在這個(gè)圓上.解:圓心為A(2,-3),半徑長(zhǎng)等于5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把點(diǎn)M1(5,-7),M2(-,-1)分別代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,則M1的坐標(biāo)滿足方程,M1在圓上.M2的坐標(biāo)不滿足方程,M2不在圓上.點(diǎn)

14、評(píng):本題要求首先根據(jù)坐標(biāo)與半徑大小寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后給一個(gè)點(diǎn),判斷該點(diǎn)與圓的關(guān)系,這里體現(xiàn)了坐標(biāo)法的思想,根據(jù)圓的坐標(biāo)及半徑寫方程從幾何到代數(shù)；根據(jù)坐標(biāo)滿足方程來看在不在圓上從代數(shù)到幾何.例3ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圓的方程.活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2入手,要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,可用待定系數(shù)法確定a、b、r三個(gè)參數(shù).另外可利用直線AB與AC的交點(diǎn)確定圓心,從而得半徑,圓的方程可求,師生總結(jié)、歸納、提煉方法.解法一:設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)锳(5,1),B(7,-3

15、),C(2,-8)都在圓上,它們的坐標(biāo)都滿足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是解此方程組得所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.解法二:線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(6,-1),斜率為-2,所以線段AB的垂直平分線的方程為y+1=(x-6).同理線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3.5,-3.5),斜率為3,所以線段AC的垂直平分線的方程為y+3.5=3(x-3.5).解由組成的方程組得x=2,y=-3,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑r=5,所以ABC的外接圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.點(diǎn)評(píng):ABC外接圓的圓心是ABC的外心,它是ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn),它到三頂

16、點(diǎn)的距離相等,就是圓的半徑,利用這些幾何知識(shí),可豐富解題思路.思路2例1 圖2是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造時(shí)每隔4 m需用一個(gè)支柱支撐,求支柱A2P2的長(zhǎng)度(精確到0.01 m).圖2解:建立坐標(biāo)系如圖,圓心在y軸上,由題意得P(0,4),B(10,0).設(shè)圓的方程為x2+(y-b)2=r2,因?yàn)辄c(diǎn)P(0,4)和B(10,0)在圓上,所以解得所以這個(gè)圓的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.設(shè)點(diǎn)P2(-2,y0),由題意y00,代入圓方程得(-2)2+(y0+10.5)2=14.52,解得y0=-10.514.36-10.5=3.86(

17、m).答：支柱A2P2的長(zhǎng)度約為3.86 m.例2 求與圓x2+y2-2x=0外切,且與直線x+y=0相切于點(diǎn)(3,-)的圓的方程.活動(dòng):學(xué)生審題,注意題目的特點(diǎn),教師引導(dǎo)學(xué)生利用本節(jié)知識(shí)和初中學(xué)過的幾何知識(shí)解題.首先利用配方法,把已知圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用兩圓外切及直線與圓相切建立方程組,求出參數(shù),得到所求的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2.圓x2+y2-2x=0的圓心為(1,0),半徑為1.因?yàn)閮蓤A外切,所以圓心距等于兩圓半徑之和,即=r+1,由圓與直線x+y=0相切于點(diǎn)(3,-),得解得a=4,b=0,r=2或a=0,b=-4,r=6.故所求圓的方程為

18、(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.點(diǎn)評(píng):一般情況下,如果已知圓心(或易于求出)或圓心到某一直線的距離(或易于求出),可用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程來求解,用待定系數(shù)法,求出圓心坐標(biāo)和半徑.變式訓(xùn)練一圓過原點(diǎn)O和點(diǎn)P(1,3),圓心在直線y=x+2上,求此圓的方程.解法一：因?yàn)閳A心在直線y=x+2上,所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,a+2).則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2.因?yàn)辄c(diǎn)O(0,0)和P(1,3)在圓上,所以解得所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.解法二：由題意：圓的弦OP的斜率為3,中點(diǎn)坐標(biāo)為(,),所以弦OP的垂直平分線方程為y-=-(x-),即x+3y-5=0.

19、因?yàn)閳A心在直線y=x+2上,且圓心在弦OP的垂直平分線上,所以由解得,即圓心坐標(biāo)為C(-,).又因?yàn)閳A的半徑r=|OC|=,所以所求的圓的方程為(x+)2+(y-)2=.點(diǎn)評(píng):(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有a、b、r三個(gè)量,要求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即要求a、b、r三個(gè)量,有時(shí)可用待定系數(shù)法.(2)要重視平面幾何中的有關(guān)知識(shí)在解題中的運(yùn)用.例3 求下列圓的方程:(1)圓心在直線y=-2x上且與直線y=1-x相切于點(diǎn)(2,-1).(2)圓心在點(diǎn)(2,-1),且截直線y=x-1所得弦長(zhǎng)為22.解:(1)設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-2a),由題意知圓與直線y=1-x相切于點(diǎn)(2,-1),所以,解得a=1.所以所求圓心坐標(biāo)為(

20、1,-2),半徑r=.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=2.(2)設(shè)圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=r2(r0),由題意知圓心到直線y=x-1的距離為d=.又直線y=x-1被圓截得弦長(zhǎng)為2,所以由弦長(zhǎng)公式得r2-d2=2,即r=2.所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=4.點(diǎn)評(píng):本題的兩個(gè)題目所給條件均與圓心和半徑有關(guān),故都利用了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解,此外平面幾何的性質(zhì)的應(yīng)用,使得解法簡(jiǎn)便了許多,所以類似問題一定要注意圓的相關(guān)幾何性質(zhì)的應(yīng)用,從確定圓的圓心和半徑入手來解決.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2.拓展提升1.求圓心在直線y=2x上且與兩直線3x+4y-7=0和

21、3x+4y+3=0都相切的圓的方程.活動(dòng):學(xué)生思考交流,教師提示引導(dǎo),求圓的方程,無非就是確定圓的圓心和半徑,師生共同探討解題方法.解:首先兩平行線的距離d=2,所以半徑為r=1.方法一：設(shè)與兩直線3x+4y-7=0和3x+4y+3=0的距離相等的直線方程為3x+4y+k=0,由平行線間的距離公式d=,得,即k=-2,所以直線方程為3x+4y-2=0.解3x+4y-2=0與y=2x組成的方程組得,因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑為r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.方法二：解方程組因此圓心坐標(biāo)為(,).又半徑r=1,所以所求圓的方程為(x-)2+(y-)2=1.點(diǎn)評(píng):要充分考慮各

22、幾何元素間的位置關(guān)系,把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來處理.課堂小結(jié)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法.根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.利用圓的平面幾何的知識(shí)構(gòu)建方程.直徑端點(diǎn)是A(x1,y1)、B(x2,y2)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.作業(yè)1.復(fù)習(xí)初中有關(guān)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系有關(guān)內(nèi)容.2.預(yù)習(xí)有關(guān)圓的切線方程的求法.3.課本習(xí)題4.1 A組第2、3題.設(shè)計(jì)感想圓是學(xué)生比較熟悉的曲線,求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程既是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)也是難點(diǎn),為此我布設(shè)了由淺入深的學(xué)習(xí)環(huán)境,先讓學(xué)生熟悉圓心、半徑與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之間的關(guān)系,逐步理解三個(gè)參數(shù)

23、的重要性,自然形成待定系數(shù)法的解題思路,在突出重點(diǎn)的同時(shí)突破了難點(diǎn).利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由淺入深的解決問題,并通過圓的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用,增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).另外,為了培養(yǎng)學(xué)生的理性思維,在例題中,設(shè)計(jì)了由特殊到一般的學(xué)習(xí)思路,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.在問題的設(shè)計(jì)中,我用一題多解的探究,縱向挖掘知識(shí)深度,橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神,并且使學(xué)生的有效思維量加大,隨時(shí)對(duì)所學(xué)知識(shí)和方法產(chǎn)生有意注意,能力與知識(shí)的形成相伴而行,這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn),更使難點(diǎn)的突破水到渠成.本節(jié)課的設(shè)計(jì)通過適當(dāng)?shù)膭?chuàng)設(shè)情境,調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.本節(jié)課以問題為紐帶,以探究活動(dòng)為載體,使學(xué)生在問題的指引

24、下、教師的指導(dǎo)下把探究活動(dòng)層層展開、步步深入,充分體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想.把學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程,在解決問題的同時(shí)鍛煉了思維,提高了能力、培養(yǎng)了興趣、增強(qiáng)了信心,高效地完成本節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù).課后反思 圓的一般方程整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析教材通過將二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后化為(x+)2+(y+)2=后只需討論D2+E2-4F0、D2+E2-4F=0、D2+E2-4F0.與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程比較可知D2+E2-4F0時(shí),表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一

25、個(gè)點(diǎn)(-,-);當(dāng)D2+E2-4F0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.從而得出圓的一般方程的特點(diǎn)：(1)x2和y2的系數(shù)相同,不等于0；(2)沒有xy這樣的二次項(xiàng)；(3)D2+E2-4F0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax2BxyCy2DxEyF=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時(shí)滿足才是充要條件.同圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2=r2含有三個(gè)待定系數(shù)a、b、r一樣,圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中也含有三個(gè)待定系數(shù)D、E、F,因此必須具備三個(gè)獨(dú)立條件才能確定一個(gè)圓.同樣可以用待定系數(shù)法求得圓的一般方程.在實(shí)際問題中,究竟使用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程還是使用圓的一般

26、方程更好呢？應(yīng)根據(jù)具體問題確定.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)是明確指出了圓心的坐標(biāo)和圓的半徑,因此,對(duì)于由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)和圓的半徑或需利用圓心坐標(biāo)列方程的問題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果已知條件和圓心坐標(biāo)、圓的半徑都無直接關(guān)系,通常采用圓的一般方程；有時(shí)兩種方程形式都可用時(shí)也常采用圓的一般方程的形式,這是因?yàn)樗杀苊饨馊畏匠探M.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確直觀地指出圓心坐標(biāo)和半徑的長(zhǎng).我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關(guān)性質(zhì)和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優(yōu)點(diǎn),在教學(xué)過程中,應(yīng)當(dāng)使學(xué)生

27、熟練地掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而求出圓心坐標(biāo)和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學(xué)生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.三維目標(biāo)1.在掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上,理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征,由圓的一般方程確定圓的圓心、半徑.掌握方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件,通過對(duì)方程x2y2DxEyF=0表示圓的條件的探究,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析、解決問題的能力.2.能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.能用待定系數(shù)法和軌跡法求圓的方程,同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合、化

28、歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的整體素質(zhì),激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新,勇于探索,培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實(shí)際能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的代數(shù)特征,一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化,根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)D、E、F.教學(xué)難點(diǎn):對(duì)圓的一般方程的認(rèn)識(shí)、掌握和運(yùn)用.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.學(xué)生練習(xí):將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標(biāo)

29、準(zhǔn)方程形式.能不能說方程x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內(nèi)容,教師板書課題:圓的一般方程.思路2.問題：求過三點(diǎn)A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性,那么這個(gè)問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個(gè)問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.推進(jìn)新課新知探究提出問題前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法?這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢?給出式子x2+y2+Dx+Ey+F=0,請(qǐng)你利用配方法化成不含x和y的一次項(xiàng)的式子

30、.把式子(xa)2(yb)2=r2與x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點(diǎn)?討論結(jié)果：以前學(xué)習(xí)過直線,我們首先學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式,最后學(xué)習(xí)一般式.大家知道,我們認(rèn)識(shí)一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、)展開整理而得到的.我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,把標(biāo)準(zhǔn)形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.把式子x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(x+)2+(y+)2=.(

31、xa)2(yb)2=r2中,r0時(shí)表示圓,r=0時(shí)表示點(diǎn)(a,b),r0時(shí)不表示任何圖形.因此式子(x+)2+(y+)2=.()當(dāng)D2+E2-4F0時(shí),表示以(-,-)為圓心,為半徑的圓；()當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí),方程只有實(shí)數(shù)解x=-,y=-,即只表示一個(gè)點(diǎn)(-,-);()當(dāng)D2+E2-4F0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)解,因而它不表示任何圖形.綜上所述,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當(dāng)D2+E2-4F0時(shí),它表示的曲線才是圓.因此x2+y2+Dx+Ey

32、+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F0.我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.圓的一般方程形式上的特點(diǎn):x2和y2的系數(shù)相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項(xiàng).圓的一般方程中有三個(gè)待定的系數(shù)D、E、F,因此只要求出這三個(gè)系數(shù),圓的方程就確定了.與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數(shù)特征明顯,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小,幾何特征較明顯.應(yīng)用示例思路1例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請(qǐng)求出圓的圓心及半徑.(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0;(2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.解:(1)由4x2+4

33、y2-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=,而D2+E2-4F=1+9-9=10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標(biāo)為(,-),半徑為；(2)由4x2+4y2-4x+12y+11=0,得D=-1,E=3,F=,D2+E2-4F=1+9-11=-10,所以方程4x2+4y2-4x+12y+11=0不表示圓的方程.點(diǎn)評(píng):對(duì)于形如Ax2+By2+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,再利用條件D2+E2-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓(xùn)練求下列圓的半徑和圓心坐標(biāo)：(1)x

34、2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.解:(1)把x2+y2-8x+6y=0配方,得(x4)2(y+3)2=52,所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5；(2)x2+y2+2by=0配方,得x2(y+b)2=b2,所以圓心坐標(biāo)為(0,-b),半徑為|b|.例2 求過三點(diǎn)O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).解:方法一：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有解得D=-8,E=6,F=0,故所求圓的方程為x2+y2-8x+6y=0,即(x4)2(y+3)2=52.所以圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.

35、方法二：先求出OM1的中點(diǎn)E(,),M1M2的中點(diǎn)F(,),再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-),AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-),聯(lián)立得得則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.方法三：設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為P(a,b),根據(jù)圓的性質(zhì)可得|OP|=|AP|=|BP|,即x2+y2=(x-1)2+(y-1)2=(x-4)2+(y-2)2,解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2=r2,因?yàn)镺(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程,可以得到關(guān)于a、b

36、、r的方程組,即解此方程組得所以所求圓的方程為(x4)2(y+3)2=52,圓心坐標(biāo)為(4,-3),半徑為5.點(diǎn)評(píng)：請(qǐng)同學(xué)們比較,關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,何時(shí)設(shè)圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無直接關(guān)系,往往設(shè)圓的一般方程.例3 已知點(diǎn)P(10,0),Q為圓x2+y2=16上一動(dòng)點(diǎn).當(dāng)Q在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程.活動(dòng):學(xué)生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時(shí)點(diǎn)撥提示,本題可利用平面幾何的知識(shí),見中點(diǎn)作中線,利用中線定長(zhǎng)可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來

37、求.圖1解法一:如圖1,作MNOQ交x軸于N,則N為OP的中點(diǎn),即N(5,0).因?yàn)閨MN|=|OQ|=2(定長(zhǎng)).所以所求點(diǎn)M的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點(diǎn)評(píng):用直接法求軌跡方程的關(guān)鍵在于找出軌跡上的點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件,然后再將條件代數(shù)化.但在許多問題中,動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件較為隱蔽復(fù)雜,將它翻譯成代數(shù)語(yǔ)言時(shí)也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉(zhuǎn)移法就是一種很重要的方法.用轉(zhuǎn)移法求軌跡方程時(shí),首先分析軌跡上的動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)情況,探求它是由什么樣的點(diǎn)控制的.解法二:設(shè)M(x,y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)Q(x0,y0).因?yàn)镸是PQ的中點(diǎn),所以(*)又因?yàn)镼(x0,y0)在圓x2+y

38、2=16上,所以x02+y02=16.將(*)代入得(2x-10)2+(2y)2=16.故所求的軌跡方程為(x-5)2+y2=4.點(diǎn)評(píng):相關(guān)點(diǎn)法步驟:設(shè)被動(dòng)點(diǎn)M(x,y),主動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0).求出點(diǎn)M與點(diǎn)Q坐標(biāo)間的關(guān)系()從()中解出()將()代入主動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡(jiǎn)得被動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關(guān)點(diǎn)法,以后要注意運(yùn)用.變式訓(xùn)練 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0,y0).由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB的中點(diǎn),所以x=,

39、y=.于是有x0=2x-4,y0=2y-3.因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng),所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4,即(x0+1)2+y02=4.把代入,得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4,整理,得(x-)2+(y-)2=1.所以點(diǎn)M的軌跡是以(,)為圓心,半徑長(zhǎng)為1的圓.思路2例1 求圓心在直線l：x+y=0上,且過兩圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程.活動(dòng):學(xué)生審題,教師引導(dǎo),強(qiáng)調(diào)應(yīng)注意的問題,根據(jù)題目特點(diǎn)分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點(diǎn)可求,圓心在一直線上,所以應(yīng)先求交點(diǎn)再設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:解

40、兩圓方程組成的方程組得兩圓交點(diǎn)為(0,2),(-4,0).設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組解得a=-3,b=3,r=.故所求圓的方程為(x+3)2+(y-3)2=10.點(diǎn)評(píng)：由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問題,往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例2 已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(3,0)和(0,-1),則有,解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x2+y

41、2-4x+4y+3=0.解法二:利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.由題意該圓經(jīng)過P(1,0),Q(3,0),R(-1,0),設(shè)圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.因?yàn)閨PC|=|RC|,所以.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).而r=|PC|=,故所求圓的方程為(x-2)2+(y+2)2=5.例3 試求圓C:x2+y2-x+2y=0關(guān)于直線l:x-y+1=0對(duì)稱的曲線C的方程.活動(dòng)：學(xué)生先思考,然后解答,教師引導(dǎo)學(xué)生抓住本質(zhì)的東西,即圓的圓心坐標(biāo)變化、半徑不變,另外可利用相關(guān)點(diǎn)法來求.解法一:設(shè)P(x,y)為所求曲線C上任意一點(diǎn),P關(guān)于l的對(duì)

42、稱點(diǎn)為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.由題意可得解得(*)因?yàn)镻(x0,y0)在圓C上,所以x02+y02-x0+2y0=0.將(*)代入得(y-1)2+(x+1)2-(y-1)+2(x+1)=0,化簡(jiǎn)得x2+y2+4x-3y+5=0,即為C的方程.解法二:(特殊對(duì)稱)圓C關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C,即求(,-1)關(guān)于直線l:x-y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)C(-2,),因此所求圓C的方程為(x+2)2+(y-)2=.點(diǎn)評(píng)：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質(zhì)解題往往較簡(jiǎn)單.知能訓(xùn)練課本練習(xí)1、2、3.拓展提升問題：已知圓x2+y2-x-8y+m=0與直線x+

43、2y-6=0相交于P、Q兩點(diǎn),定點(diǎn)R(1,1),若PRQR,求實(shí)數(shù)m的值.解:設(shè)P(x1,y1)、Q(x2,y2),由消去y得5x2+4m-60=0.由題意,方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,所以60-4m0,m15.由韋達(dá)定理因?yàn)镻RQR,所以kPRkQR=-1.所以=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0,即x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.因?yàn)閥1=3-,y2=3,所以y1y2=(3-)(3)=9-(x1+x2)+=9+,y1+y2=6,代入得x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.所以m=10,適合m15.所以實(shí)數(shù)m的值為10.課堂小結(jié)1.任何

44、一個(gè)圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D2+E2-4F0時(shí),方程表示圓心為(-,-),半徑為r=的圓.2.求圓的方程,應(yīng)根據(jù)條件特點(diǎn)選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關(guān),則宜用標(biāo)準(zhǔn)方程；若條件主要是圓所經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo),則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標(biāo)和半徑,因此應(yīng)掌握利用配方法將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.作業(yè)習(xí)題4.1 A組1、6,B組1、2、3.設(shè)計(jì)感想這是一節(jié)介紹新知識(shí)的課,而且這節(jié)課還非常有利于展現(xiàn)知識(shí)的形成過程.因此,在設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí),力求“過程、結(jié)論并重；知識(shí)、能力、思

45、想方法并重”.在展現(xiàn)知識(shí)的形成過程中,盡量避免學(xué)生被動(dòng)接受,引導(dǎo)學(xué)生探索,重視探索過程.一方面,把直線一般方程探求過程進(jìn)行回顧、類比,學(xué)生從中領(lǐng)會(huì)探求方法；另一方面,“把標(biāo)準(zhǔn)方程展開認(rèn)識(shí)一般方程”這一過程充分運(yùn)用了“通過特殊認(rèn)識(shí)一般”的科學(xué)思想方法.同時(shí),通過類比進(jìn)行條件的探求“D2+E24F”與“”(判別式)類比.在整個(gè)探求過程中充分利用了“舊知識(shí)”及“舊知識(shí)的形成過程”,并用它探求新知識(shí).這樣的過程,既是學(xué)生獲得新知識(shí)的過程,更是培養(yǎng)學(xué)生能力的過程.課后反思4.2 直線、圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析學(xué)生在初中的學(xué)習(xí)中已了解直線與圓的位置關(guān)系,并知道可以利用直線與圓的交點(diǎn)

46、的個(gè)數(shù)以及圓心與直線的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系,但是,在初中學(xué)習(xí)時(shí),利用圓心與直線的距離d與半徑r的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法卻以結(jié)論性的形式呈現(xiàn).在高一學(xué)習(xí)了解析幾何以后,要考慮的問題是如何掌握由直線和圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法.解決問題的方法主要是幾何法和代數(shù)法.其中幾何法應(yīng)該是在初中學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,結(jié)合高中所學(xué)的點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心與直線的距離d后,比較與半徑r的關(guān)系從而作出判斷.適可而止地引進(jìn)用聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化為二次方程判別根的“純代數(shù)判別法”,并與“幾何法”欣賞比較,以決優(yōu)劣,從而也深化了基本的“幾何法”.含參數(shù)的問題、簡(jiǎn)單的弦的問題、切線問題等綜

47、合問題作為進(jìn)一步的拓展提高或綜合應(yīng)用,也適度地引入課堂教學(xué)中,但以深化“判定直線與圓的位置關(guān)系”為目的,要控制難度.雖然學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何了,但把幾何問題代數(shù)化無論是思維習(xí)慣還是具體轉(zhuǎn)化方法,學(xué)生仍是似懂非懂,因此應(yīng)不斷強(qiáng)化,逐漸內(nèi)化為學(xué)生的習(xí)慣和基本素質(zhì).三維目標(biāo)1.理解直線與圓的位置關(guān)系,明確直線與圓的三種位置關(guān)系的判定方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.2.會(huì)用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系及會(huì)利用直線與圓的位置關(guān)系解決相關(guān)的問題，讓學(xué)生通過觀察圖形,明確數(shù)與形的統(tǒng)一性和聯(lián)系性.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系的幾何圖形及其判斷方法.教學(xué)難點(diǎn):用坐標(biāo)法判斷直線與圓的位置關(guān)系.課時(shí)

48、安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.平面解析幾何是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容,每年的高考試題中有選擇題、填空題和解答題,考查的知識(shí)點(diǎn)有直線方程和圓的方程的建立、直線與圓的位置關(guān)系等,本節(jié)主要學(xué)習(xí)直線與圓的關(guān)系.思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)(1)直線方程Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零).(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圓心為(a,b),半徑為r.(3)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F0)，圓心為(-,-),半徑為.推進(jìn)新課新知探究提出問題初中學(xué)過的平面幾何中,直線與圓的位置關(guān)系有幾類？在初中,我們?cè)鯓优袛嘀本€與圓的位置關(guān)系呢？如何用直線與圓的方程

49、判斷它們之間的位置關(guān)系呢？判斷直線與圓的位置關(guān)系有幾種方法？它們的特點(diǎn)是什么？討論結(jié)果：初中學(xué)過的平面幾何中,直線與圓的位置關(guān)系有直線與圓相離、直線與圓相切、直線與圓相交三種.直線與圓的三種位置關(guān)系的含義是:直線與圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圓心到直線的距離d與半徑r的關(guān)系圖形相交兩個(gè)dr相切只有一個(gè)d=r相離沒有dr方法一,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法：幾何方法步驟：1把直線方程化為一般式,求出圓心和半徑.2利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離.3作判斷：當(dāng)

50、dr時(shí),直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí),直線與圓相切;當(dāng)dr時(shí),直線與圓相交.代數(shù)方法步驟：1將直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組.2利用消元法,得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程.3求出其判別式的值.4比較與0的大小關(guān)系,若0,則直線與圓相離；若=0,則直線與圓相切;若0,則直線與圓相交.反之也成立.應(yīng)用示例思路1例1 已知直線l：3x+y-6=0和圓心為C的圓x2+y2-2y-4=0,判斷直線l與圓的位置關(guān)系.如果相交,求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo).活動(dòng):學(xué)生思考或交流,回顧判斷的方法與步驟,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時(shí)提示,對(duì)學(xué)生的思維作出評(píng)價(jià);方法一,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方

51、程組有無實(shí)數(shù)解；方法二,可以依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.解法一:由直線l與圓的方程,得消去y,得x2-3x+2=0,因?yàn)?(-3)2-412=10,所以直線l與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).解法二：圓x2+y2-2y-4=0可化為x2+(y-1)2=5,其圓心C的坐標(biāo)為(0,1),半徑長(zhǎng)為,圓心C到直線l的距離d=.所以直線l與圓相交,有兩個(gè)公共點(diǎn).由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程,得y1=0;把x2=1代入方程,得y2=3.所以直線l與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn),它們的坐標(biāo)分別是(2,0)和(1,3).點(diǎn)評(píng):比較兩種解法,我們可以看出,幾何法判斷要

52、比代數(shù)法判斷快得多,但是若要求交點(diǎn),仍需聯(lián)立方程組求解.例2 已知圓的方程是x2+y2=2,直線y=x+b,當(dāng)b為何值時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn),只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn).活動(dòng):學(xué)生思考或交流,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路,必要時(shí)提示,對(duì)學(xué)生的思維作出評(píng)價(jià).我們知道,判斷直線l與圓的位置關(guān)系,就是看由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解,或依據(jù)圓心到直線的距離與半徑長(zhǎng)的關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系.反過來,當(dāng)已知圓與直線的位置關(guān)系時(shí),也可求字母的取值范圍,所求曲線公共點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí),方程組有兩組不同實(shí)數(shù)根、有兩組相同實(shí)根、無實(shí)根的問題.圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn)的問題,可

53、轉(zhuǎn)化為b為何值時(shí)圓心到直線的距離小于半徑、等于半徑、大于半徑的問題.解法一:若直線l：y=x+b和圓x2+y2=2有兩個(gè)公共點(diǎn)、只有一個(gè)公共點(diǎn)、沒有公共點(diǎn),則方程組有兩個(gè)不同解、有兩個(gè)相同解、沒有實(shí)數(shù)解,消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,所以=(2b)2-42(b2-2)=16-4b2.所以,當(dāng)=16-4b20,即-2b2時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)=16-4b2=0,即b=2時(shí),圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)=16-4b20,即b2或b-2時(shí),圓與直線沒有公共點(diǎn).解法二：圓x2+y2=2的圓心C的坐標(biāo)為(0,0),半徑長(zhǎng)為2,圓心C到直線l:y=x+b的距離d=.當(dāng)dr時(shí),即,即|b|2,

54、即b2或b-2時(shí),圓與直線沒有公共點(diǎn);當(dāng)d=r時(shí),即=,即|b|=2,即b=2時(shí),圓與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)dr時(shí),即,即|b|2,即-2b2時(shí),圓與直線有兩個(gè)公共點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：由于圓的特殊性,判斷圓與直線的位置關(guān)系,多采用圓心到直線的距離與半徑的大小進(jìn)行比較的方法,而以后我們將要學(xué)習(xí)的圓錐曲線與直線位置關(guān)系的判斷,則需要利用方程組解的個(gè)數(shù)來判斷.變式訓(xùn)練已知直線l過點(diǎn)P(4,0),且與圓O：x2+y2=8相交,求直線l的傾斜角的取值范圍.解法一：設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),即kx-y-4k=0,因?yàn)橹本€l與圓O相交,所以圓心O到直線l的距離小于半徑,即2,化簡(jiǎn)得k21,所以-1k1,即-1

55、tan1.當(dāng)0tan1時(shí),0；當(dāng)-1tan0時(shí),.所以的取值范圍是0,)(,).解法二：設(shè)直線l的方程為y=k(x-4),由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.因?yàn)橹本€l與圓O相交,所以=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)0,化簡(jiǎn)得k21.(以下同解法一)點(diǎn)評(píng):涉及直線與圓的位置關(guān)系的問題,?？蛇\(yùn)用以上兩種方法.本題若改為選擇題或填空題,也可利用圖形直接得到答案.思路2例1 已知圓的方程是x2+y2=r2,求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程.活動(dòng):學(xué)生思考討論,教師提示學(xué)生解題的思路,引導(dǎo)學(xué)生回顧直線方程的求法,既考慮通法又考慮圖形的幾何性質(zhì).此切線過點(diǎn)(x0,y0),要確定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系數(shù)法(或直接求解).直線與圓相切的幾何特征是圓心到切線的距離等于圓的半徑,切線與法線垂直.解法一:當(dāng)點(diǎn)M不在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)切線的斜率為k,半徑OM的斜率為k1,因?yàn)閳A的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑,所以k=-.因?yàn)閗1=所以k=-.所以經(jīng)過點(diǎn)M的切線方程是y-y0=-(x-x0).整理得x0x+y0y=x02+y02.又因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在圓上,所以x02+y02=r2.所以所求的切線方程是x0x+y0y=r2.當(dāng)點(diǎn)M在坐標(biāo)軸上時(shí),可以驗(yàn)證上面的方程同樣適用.解法二:設(shè)P(x,y)為所求切線上的任意一點(diǎn),當(dāng)P與M不重