圓柱齒輪跨齒數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)

1、圓柱齒輪的跨齒數(shù)計(jì)算公式的周萬峰1標(biāo)準(zhǔn)齒輪跨齒數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)k，然后才能計(jì)算跨 k個(gè)齒的公大家都知道，凡計(jì)公法線長(zhǎng)度，則必須先計(jì)算跨齒數(shù) 法線長(zhǎng)度。標(biāo)準(zhǔn)齒輪的跨齒數(shù)計(jì)算公式為：kz ：18000.5（直齒）（1）z .：jnkn-18000.5（斜齒）（1）式中z為齒數(shù)，z為假想齒數(shù)，zin仝丄（inJ之值可從手冊(cè)上查出，亦可算出）in vanin van:-為壓力角，n為斜齒輪的法面壓力角。教材、手冊(cè)上都是給出該公式，并不說明它的由來。那么公式（1）是怎么來的呢？它怎么還有個(gè)0.5呢？據(jù)筆者了解，使用公式（1）的人一般都不管公式的由來，只是拿來使 用而已。今天筆者根據(jù)自己的理解試將公式推導(dǎo)

2、出來。顯然公式（1）不是筆者推導(dǎo)出來的,書上早就有這個(gè)公式了。但始終未見哪本書上有原原本本地推導(dǎo)該公式的內(nèi)容。至于公式（1）原來是怎么推導(dǎo)的筆者不得而知。筆者現(xiàn)將公式推導(dǎo)如下：眾所周知，不論標(biāo)準(zhǔn)齒輪還是變位齒輪其公法線的測(cè)量點(diǎn)（量具卡腳與齒廓的切點(diǎn)） 都應(yīng)在齒高的中點(diǎn)部位。而標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒高的中點(diǎn)就是分度圓，故標(biāo)準(zhǔn)齒輪公法線的測(cè)量點(diǎn) 應(yīng)在分度圓上。這樣標(biāo)準(zhǔn)齒輪的公法線測(cè)量點(diǎn)就應(yīng)以分度圓為準(zhǔn)進(jìn)行推導(dǎo)。請(qǐng)看圖1公法線測(cè)量圖：AB是跨3個(gè)齒測(cè)量的公法線長(zhǎng)度。AA1和AA是齒輪的周節(jié)（分度圓上，相1#圖1公法線長(zhǎng)度測(cè)量2鄰兩齒同側(cè)齒廓對(duì)應(yīng)點(diǎn)的弧長(zhǎng)）a2b是分度圓上齒厚；而標(biāo)準(zhǔn)齒輪分度圓齒厚是周節(jié)的一半，即

3、0.5個(gè)周節(jié)。因此，當(dāng)跨 3個(gè)齒測(cè)量時(shí)，2：.對(duì)應(yīng)著兩個(gè)周節(jié)和一個(gè)分度圓齒厚，即一個(gè)周節(jié)對(duì)應(yīng)的中心角的度數(shù)）z當(dāng)跨4個(gè)齒測(cè)量時(shí)，2：.對(duì)應(yīng)著3個(gè)周節(jié)和一個(gè)分度圓齒厚，360o t2:對(duì)應(yīng)著（3-0.5）個(gè)周節(jié)。所以，跨 3個(gè)齒測(cè)量時(shí)，2（3-0.5）。（ 360. z是即2 .對(duì)應(yīng)著（4-0.5）個(gè)周節(jié)；所以2：36004個(gè)周節(jié)和一個(gè)分度圓齒厚，即3600對(duì)應(yīng)著（5-0.5）個(gè)周節(jié)；所以2（5-0.5）。依z次類推，當(dāng)跨k個(gè)齒測(cè)量時(shí)，360 02 一對(duì)應(yīng)著（k- 0.5）個(gè)周節(jié)，即2=（k-0.5）。整理z（4-0.5）。當(dāng)跨5個(gè)齒測(cè)量時(shí),2_二對(duì)應(yīng)著此式即為公式（1）。但需說明的是：對(duì)于 a

4、 =20°的直齒輪而言，它的公法線測(cè)量點(diǎn)沒有一 個(gè)是能在分度圓上的，都是在分度圓附近。為什么呢？因?yàn)榭琮X數(shù)k的計(jì)算值不可能是整數(shù)（見公式），而測(cè)量公法線長(zhǎng)度時(shí)又必須是整數(shù)，所以才如此。而斜齒輪通過調(diào)整螺旋角是3可以使公法線長(zhǎng)度的測(cè)量點(diǎn)正好在分度圓上的2、變位齒輪的跨齒數(shù)計(jì)算公式的推導(dǎo)變位齒輪的跨齒數(shù)計(jì)算公式今天可以說是形式多樣，五花八門；如將教材、手冊(cè)、科技書以及發(fā)表在刊物上的這些公式匯集起來，找出10個(gè)公式是費(fèi)不了什么事的。這些公式（包括教材、手冊(cè)在內(nèi)）經(jīng)驗(yàn)證有的是合理的，有的是不合理的；有的是不盡合理的，有 的是情況不良的。有的雖然情況較好，但計(jì)算很麻煩。筆者在此推薦一個(gè)情況較好

5、而又比 較簡(jiǎn)單的公式：（直齒）(2)(2),ZZCOSa小k 0 arccos0.5180°z 2xzZ COSG n“ _k 0 arccos- 0.5(斜齒)1800z 2xn圖2這個(gè)公式是怎么來的？教材、手冊(cè)都是給出公式，并不說明它的由來。今天筆者將它 推導(dǎo)一遍（顯然公式不是我第一個(gè)推導(dǎo)出來的），請(qǐng)讀者指正。前面說過，不論齒輪變位與否，公法線的測(cè)量點(diǎn)都應(yīng)在齒高的中點(diǎn)部位。標(biāo)準(zhǔn)齒輪齒高的中點(diǎn)部位就是分度圓，故推 導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)齒輪的跨齒數(shù)計(jì)算公式應(yīng)以分度圓為準(zhǔn)。而變位齒輪的分度圓已不在齒高的中點(diǎn)部 位了，那么推導(dǎo)變位齒輪的跨齒數(shù)計(jì)算公式就不能以分度圓為準(zhǔn)了，而是直徑為“ d 2xm圓”位

6、于齒高的中點(diǎn)部位，所以就應(yīng)以它為準(zhǔn)了。請(qǐng)看圖 2：當(dāng)為正變位時(shí)，公法線的測(cè)量 點(diǎn)應(yīng)在B 點(diǎn),即在“ d 2xm圓”上。那么只要算出 B點(diǎn)的壓力角，然后代入公式（1）， 用代替：，公式就推導(dǎo)出來了。請(qǐng)看圖2 : ON是基圓半徑，OB'd：2 xm，cosa ' = db 2/。因?yàn)?db = mzcosa， d = m乙將 mzcos。代替 db，將OB/（dg+xm）mz代替d，代入上式，整理后則= arccos（zcos：）,z *2x）1，將該式代入（1）式（用 0（"代替0（），整理后即為公式（2）。說明:上面的文章于2014年1月31日已上傳到“百度文庫”，截止到2014年5