矩陣補充習(xí)題含答案

1、第二章 矩陣補充習(xí)題1已知對于n階方陣A，存在自由數(shù)k，使得，試證明矩陣EA可逆，并寫出其逆矩陣的表達式（E為n階單位陣）【詳解】 由代數(shù)公式以及A與E可交換，有，而故有可知EA可逆，且有2設(shè)A為n階非奇異矩陣，為n維列向量，b為常數(shù)記分塊矩陣，其中是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣(1) 計算并化簡PQ；(2) 證明：矩陣Q可逆的充分必要條件是【分析】 本題的關(guān)鍵是對于含的計算或證明題，首先應(yīng)聯(lián)想到關(guān)系式另外，在進行矩陣乘法運算中要注意哪些是矩陣，哪些是向量，哪些是數(shù)，左乘還是右乘【詳解】 （1）因，故 =（2）由（1）可得 ，而，故 由此可知，的充分必要條件為，即矩陣Q可逆的充分必要條件

2、是【評注】 本題綜合考查了矩陣乘法運算、矩陣乘積行列式的性質(zhì)以及伴隨矩陣的性質(zhì)要特別注意重要公式：，且A可逆時，有3設(shè)A和B均為矩陣，則必有 (A) (B) AB=BA. (C) . (D) . 【 】【詳解】 矩陣的乘法運算不滿足交換律，因此一般,但，而行列式是數(shù)，可交換，于是有，可見應(yīng)選(C). 對于(A), (D)，主要考查行列式和矩陣的運算性質(zhì)，均可通過反例說明不成立。4設(shè)，而為正整數(shù)，則 .【分析】 本題若分別計算出及，再代入求其值，則將問題弄復(fù)雜化了。一般而言，對于一個填空題，可先試算,找出規(guī)律后，在進行計算。【詳解】 因為 ，故有 5設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中

3、A的逆矩陣為B，則a= .【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進行計算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A<0 ,故a=-1. 6已知X=AX+B, 其中 ， ，求矩陣X.【詳解】由X=AX+B,，有 (E-A)X=B, 于是. 而 =，故 =7 設(shè) , , , ,其中A可逆，則等于(A) . (B) .(C) . (D) . 【詳解】 因為是單位矩陣交換第一、四列后所得的初等矩陣，而是交換第二、三列后所得的初等矩陣，于是有 ， 從而 .故正確選項為(C). 【評注】 設(shè)E為n階單位矩陣，分別是將E交換第兩行、第行乘以非零的

4、k倍、將第行的k倍加到第行上去所得到的初等矩陣，則有 ， 對于列變換的情形有類似的結(jié)果。8 設(shè)階矩陣與等價, 則必有(A) 當(dāng)時, . (B) 當(dāng)時, .(C) 當(dāng)時, . (D) 當(dāng)時, . 【分析】 對A通過一系列初等變換后得矩陣B,則A,B等價. 因此矩陣與等價的充要條件是: 或存在可逆矩陣P,Q使得PAQ=B.【詳解】因為當(dāng)時, , 又 與等價, 故, 即, 故選(D). 9. 設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）. （）. 【 】【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（）. 10. 設(shè)矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩

5、陣. 若為三個相等的正數(shù)，則為(A) . (B) 3. (C) . (D) . 【分析】 題設(shè)與A的伴隨矩陣有關(guān)，一般聯(lián)想到用行列展開定理和相應(yīng)公式：.【詳解】 由及，有，其中為的代數(shù)余子式，且或 而，于是，且 故正確選項為(A).【評注】 涉及伴隨矩陣的問題是?？碱}型，只需注意到兩個重要思路：一是用行列展開定理，另一是用公式：11 設(shè)A是矩陣，C是n階可逆矩陣，矩陣A的秩為r，矩陣B=AC的秩為，則(A) (B) (C) (D) r與的關(guān)系由C而定 【 】【分析】 利用左乘或右乘可逆矩陣不改變被乘矩陣的秩即得結(jié)果【詳解】 由B=AC知兩邊同時右乘，得，于是，從而有12設(shè)矩陣 且秩(A)=3，則k= .【分析】 由A的秩為3知，A的行列式一定為零，從而可解出參數(shù)k. 不過應(yīng)當(dāng)注意的是若由得到的參數(shù)不唯一，則應(yīng)將參數(shù)代回去進行檢驗，以便確定哪一個為正確答案，因為使得只是必要條件而非充分條件?！驹斀狻?由題設(shè)秩(A)=3，知必有 解得k=1或k=-3. 顯然k=1時，秩r(A)=1不符合題意，因此一定有k=-3.【評注】 在做此類填空題時，排除k=1后可立即得k