矩陣的同時相似上三角化問題

1、矩陣的同時相似上三角化問題張永偉（）數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)班指導(dǎo)教師：王也洲、何軍華 【摘要】本文討論了階矩陣同時相似上三角化的充分條件，必要條件以及充要條件。 【關(guān)鍵詞】相似上三角化；特征向量；Sylvester不等式一引言文【1】告訴我們：兩個可交換的階矩陣在復(fù)數(shù)域中一定有相同的特征向量，進(jìn)一步若能相似對角化，那么一定能同時相似對角化。但是對于一般的階矩陣不一定能相似對角化。我們又知道，任意方陣都可以和Jordan矩陣相似，也就是說，任意階矩陣都能相似上三角化。為此，我們有必要討論階矩陣同時相似上三角化的問題。二正文定義2.1：對于階矩陣，用表示矩陣的秩。性質(zhì)2.1：若能同時相似上三角化，那么有公共

2、的特征向量。證明：因為可同時相似上三角化，所以存在可逆矩陣，使得且。設(shè)，則，。所以有公共的特征向量。因此能同時相似上三角化的必要條件是有相同的特征向量。性質(zhì)2.2：若能同時相似上三角化，那么為冪零矩陣。證明：由性質(zhì)2.1的證明可知,。又因為，所以，即為冪零矩陣。性質(zhì)2.3：設(shè)為2階矩陣，那么(1)若為冪零矩陣，則；(2)當(dāng)且僅當(dāng)有公共的特征向量。證明：因為或時，結(jié)論顯然成立，所以不妨假定，當(dāng)為冪零矩陣時，易知的特征值一定為，于是存在可逆矩陣使得，所以。又因為，當(dāng)時，有，從而方程有非零解，顯然是的公共特征向量；當(dāng)時，根據(jù)Sylvester不等式，知 。若，顯然有公共特征向量；若 ，則，此時必有，

3、于是存在可逆矩陣使得或，其中。設(shè)，則當(dāng)時，所以或，顯然，此時有公共特征向量；同理當(dāng)時，也有公共特征向量。以上我們證明了二階矩陣有公共特征向量是的必要條件，接下來我們證明這個條件也是充分的。不妨設(shè)是的公共特征向量，將擴(kuò)充為二維空間的一組基，令,顯然為上三角矩陣。當(dāng)有公共特征向量時，則有非零解，所以。下面討論更為一般的情形。性質(zhì)2.4：假定為階矩陣且，若，則有公共特征向量。證明：因為，由Sylvester不等式得到。若，則有公共特征向量；若，則有，于是，又因為,所以，此時與矛盾。性質(zhì)2.5：滿足條件的任意階矩陣可以同時上三角化。證明：由條件知矩陣具有公共特征向量，不妨設(shè)是的公共特征向量，將其擴(kuò)充為

4、維空間的一組基；當(dāng)時，由性質(zhì)2.4知，可以同時上三角化；假設(shè)當(dāng)時結(jié)論也成立，現(xiàn)在考慮時的情況。不妨設(shè)是的公共特征向量，同樣將之?dāng)U充為維空間的一組基，令，則有，。于是，因為，所以，由數(shù)學(xué)歸納法知可以同時上三角化。推論2.1：假定，那么當(dāng)時，有公共特征向量。性質(zhì)2.6：如果存在使得成立，則可以同時上三角化。證明：因為,與前面證明類似，可以得出結(jié)論。推論2.2：若存在滿足條件,則可同時相似上三角化。推論2.3：若存在使得成立，則可同時相似上三角化。三總結(jié)本文主要討論了兩個矩陣能同時相似上三角化的充分條件、必要條件、以及充要條件。通過分析證明過程，我們還做出了進(jìn)一步的推廣。這對將來解決類似問題帶來很大的方便。參考文獻(xiàn)【1】黃廷祝，