用Excel計算相關(guān)系數(shù)和進行回歸分析

1、第一節(jié)  回歸和相關(guān)的概念  前幾章的方法都只涉及一種變量，主要是比較它的各組值之間的差異。但生物學(xué)所涉及的問題是多種多樣的，對許多問題的研究需要考慮不只一個變量，例如生物的生長發(fā)育速度就與溫度，營養(yǎng)，濕度 等許多因素有關(guān)，我們常常需要研究類似的多個變量之間的關(guān)系。這種關(guān)系可分為兩大類，即相關(guān)關(guān)系與回歸關(guān)系。 相關(guān)關(guān)系 ：兩變量 X ， Y 均為隨機變量，任一變量的每一可能值都有另一變量的一個確定分布與之對應(yīng)。 回歸關(guān)系 ： X 是非隨機變量或隨機變量， Y 是隨機變量，對 X 的每一確定值 x i 都有 Y 的一個確定分布與之對應(yīng)。 從上述定義可看出相關(guān)關(guān)系中的兩個變量地

2、位是對稱的，可以認為它們互為因果；而回歸關(guān)系中則不是這樣，我們常稱回歸關(guān)系中的 X 是自變量，而 Y 是因變量。即把 X 視為原因，而把 Y 視為結(jié)果。 這兩種關(guān)系盡管有意義上的不同，分析所用的數(shù)學(xué)概念與推導(dǎo)過程也有所不同，但如果我們使用共同的標準即使 y 的殘差平方和最?。ㄗ钚《朔?，詳見下述），則不管是回歸關(guān)系還是相關(guān)關(guān)系都可以得到相同的參數(shù)估計式。因此本章將集中討論數(shù)學(xué)處理較簡單的回歸關(guān)系，且 X 限定為非隨機變量。從這些討論中所得到的參數(shù)估計式也可用于 X 為隨機變量的情況，但我們不再討論 X 為隨機變量時的證明與推導(dǎo)。 另外，回歸分析和相關(guān)分析的目的也有所不同?；貧w分析研究的重點是建

3、立 X 與 Y 之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式，這種關(guān)系式常常用于預(yù)測，即知道一個新的 X 取值，然后預(yù)測在此情況下的 Y 的取值；而相關(guān)分析的重點則放在研究 X 與 Y 兩個隨機變量之間的共同變化規(guī)律，例如當 X 增大時 Y 如何變化，以及這種共變關(guān)系的強弱。由于這種研究目的的不同，有時也會引起標準和方法上的不同，我們將在相關(guān)分析一節(jié)中作進一步介紹。 從兩個變量間相關(guān)（或回歸）的程度來看，可分為以下三種情況： （ 1 ） 完全相關(guān) 。此時一個變量的值確定后，另一個變量的值就可通過某種公式求出來；即一個變量的值可由另一個變量所完全決定。這種情況在生物學(xué)研究中是不太多見的。 （ 2 ） 不相關(guān) 。變量之間完全

4、沒有任何關(guān)系。此時知道一個變量的值不能提供有關(guān)另一個變量的任何信息。 （ 3 ） 統(tǒng)計相關(guān) （不完全相關(guān)）。介于上述兩種情況之間。也就是說，知道一個變量的值通過某種公式就可以提供關(guān)于另一個變量一些信息，通常情況下是提供有關(guān)另一個變量的均值的信息。此時知道一個變量的取值并不能完全決定另一個變量的取值，但可或多或少地決定它的分布。這是科研中最常遇到的情況。本章討論主要針對這種情況進行。為簡化數(shù)學(xué)推導(dǎo)，本章中如無特別說明，一律假設(shè) X 為非隨機變量，即 X 只是一般數(shù)字，并不包含有隨機誤差。但所得結(jié)果可以推廣到 X 為隨機變量的情況。 兩個變數(shù)資料的散點圖 將兩個變數(shù)的 n 對觀察值 ( x 1 ,

5、 y 1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 、 、 ( x n , y n ) 分別以坐標點 的形式標記于同一直角坐標平面上得到的圖，稱為散點圖 (scatter diagram) 。 第二節(jié)  直線回歸  前邊已經(jīng)說過，回歸關(guān)系就是對每一個 X的取值x i ，都有Y的一個分布與之對應(yīng)。在這種情況下，怎么建立X與Y的關(guān)系呢？一個比較直觀的想法就是建立X與Y的分布的參數(shù)間的關(guān)系，首先是與Y的均值的關(guān)系。這就是條件均值的概念，記為： 。它的意思是在X=x 1 的條件下，求Y的均值。更一般地，我們用 代表X取一切值時，Y的均值所構(gòu)成的集合。所謂一元線性回歸，就是假定X與 之間的

6、關(guān)系是線性關(guān)系，而且滿足： （ 9.1 ） 此時進行回歸分析的目標就是給出參數(shù) 和的估計值。 例 9.1 對大白鼠從出生第6天起，每三天稱一次體重，直到第18天。數(shù)據(jù)見表5.1。試計算日齡X與體重Y之間的回歸方程。 表 9.1 大白鼠6-18日齡的體重 序號 1 2 3 4 5 日齡 x i 6 9 12 15 18 體重 y i 11 16.5 22 26 29 首先，我們可以把數(shù)對（ x i , y i ）標在 X-Y 坐標系中，這種圖稱為散點圖。它的優(yōu)點是可以使我們對 X 、 Y 之間的關(guān)系有一個直觀的、整體上的印象，如它們是否有某種規(guī)律性，是接近一條直線還是一條曲線，等等。我們還可以畫

7、很多條接近這些點的直線或曲線，但這些線中的哪一條可以最好地代表 X, Y 之間的關(guān)系，就不是憑直觀印象可以做出判斷的了。例如對例 9.1 ，我們可畫出如下的散點圖： 圖 9.1 大白鼠日齡 體重關(guān)系圖 圖中的點看來是呈直線關(guān)系，但那條直線是否最好地反映了這種關(guān)系呢？或者換一種說法：該如何找到最好地反映這種關(guān)系的直線呢？這就是我們以下要討論的問題。 一元正態(tài)線性回歸統(tǒng)計模型 線性回歸意味著條件平均數(shù)與 X 之間的關(guān)系是線性函數(shù)： （ 9.1 ） 對于每個 Y 的觀察值 y i 來說，由于條件均值由 (9.1) 式?jīng)Q定，觀察值就應(yīng)該是在條件均值的基礎(chǔ)上再加上一個隨機誤差，即： （ 9.2 ） 其中

8、 。正態(tài)線性回歸中 “ 正態(tài) ” 的意思是隨機誤差服從正態(tài)分布。 (9.2) 式就是一元正態(tài)線性回歸的統(tǒng)計模型。 9.2.2 參數(shù) 和的估計 統(tǒng)計模型中的和是總體參數(shù)，一般是不知道的。由于只能得到有限的觀察數(shù)據(jù)，我們無法算出準確的與的值，只能求出它們的估計值 a和b，并得到y(tǒng) i 的估計值為： （9.3） 那么，什么樣的 a和b是和最好的估計呢？換句話說，選取什么樣的a和b可以最好地反映X和Y之間的關(guān)系呢？一個合理的想法是使殘差 最小。為了避免使正負e i 互相抵消，同時又便于數(shù)學(xué)處理，我們定義使殘差平方和 達到最小的直線為回歸線，即令： ，且 得： 整理后，得 （9.4） 上式稱為正規(guī)方程。

9、解此方程，得： 這種方法稱為最小二乘法，它也適用于曲線回歸，只要將線性模型（ 9.3）式換為非線性模型即可。但要注意非線性模型的正規(guī)方程一般比較復(fù)雜，有些情況下甚至沒有解析解。另一方面，不管X與Y間的真實關(guān)系是什么樣的，使用線性模型的最小二乘法的解總是存在的。因此正確選擇模型很重要，而且用最小二乘法得出的結(jié)果一般應(yīng)經(jīng)過檢驗。 記 ，稱為X的校正平方和； ，稱為Y的總校正平方和； ，稱為校正交叉乘積和， 則： （9.5） 在實際計算時，可采用以下公式： 現(xiàn)在回到例 9.1 。 例 9.1 對大白鼠從出生第6天起，每三天稱一次體重，直到第18天。數(shù)據(jù)見表9.1。試計算日齡X與體重Y之間的回歸方程。

10、 表 9.1 大白鼠6-18日齡的體重 序號 1 2 3 4 5 日齡 x i 6 9 12 15 18 體重 y i 11 16.5 22 26 29 解：把數(shù)據(jù)代入上述公式 , 得： 即：所求的回歸方程為： y = 2.6996 + 1.5167 x 帶有統(tǒng)計功能的計算器常常也可以做一元線性回歸，對于這樣的計算器，只需把數(shù)據(jù)依次輸入，然后按一下鍵就可得到上述結(jié)果。 9.2.3 直線回歸的假設(shè)測驗 在介紹最小二乘法時我們曾提到，不管實際上 X 與 Y 之間有沒有線性關(guān)系，用這種方法總是可以得到解的。因此我們必須有一種方法可以檢驗得到的結(jié)果是不是反映了 X 和 Y 之間的真實關(guān)系。為此，我們需

11、要研究 b 與 a 的期望與方差。注意 原式 = 各 y i 互相獨立，且D(y i )= 2 ；各x i 為常數(shù)； 為估計 2 ，令： ，稱為殘差或剩余。則殘差平方和為： 由于 （ 交叉項期望為 0 ） 且 D(S xy ) = S xx s 2 , E(S xy ) = b S xx , （已證） 用 MS e （剩余均方）代替 s 2 ，可得 b 與 a 的樣本方差： 由于 MS e 的自由度為 n-2 ，因此上述兩方差的自由度也均為 n-2 。有了 a 和 b 的方差與均值，我們就可構(gòu)造統(tǒng)計量對它們進行檢驗： H 0 : b = 0 H A : b 0 （雙側(cè)檢驗） 或： H A :

12、b > 0 （或 b < 0 ） （單側(cè)檢驗） 統(tǒng)計量： （ 9.6 ） 當 H 0 成立時， t b t(n-2) ，可查相應(yīng)分位數(shù)表進行檢驗。 H 0 : a = 0 H A : a 0 （雙側(cè)檢驗） 或： H A : a > 0 （或 a < 0 ） （單側(cè)檢驗） 統(tǒng)計量： （ 9.7 ） 當 H 0 成立時， t a t(n-2) ，可查相應(yīng)分位數(shù)表進行檢驗。 在對一個回歸方程的統(tǒng)計檢驗中，我們更關(guān)心的是 b 是否為 0 ，而不是 a 是否為 0 。這是因為若 b = 0 ，則線性模型變?yōu)?Y = a + e ，與 X 無關(guān)；這意味著 X 與 Y 間根本沒有線性

13、關(guān)系。反之， a 是否為 0 并不影響 X 與 Y 的線性關(guān)系。因此我們常常只對 b 作統(tǒng)計檢驗。 例 9.2 對例 9.1 中的 b 作檢驗： H 0 : b =0 解： 查表， t 0.995 (3) = 5.841 < t ， 差異極顯著，應(yīng)拒絕 H 0 ，即 b 1 0 ，或 X 與 Y 有著極顯著的線性關(guān)系。 9.2.4直線回歸的方差分析對回歸方程的統(tǒng)計檢驗除可用上述 t 檢驗外，還有一些其他方法。這里我們再介紹一種方差分析的方法，它的基本思想仍是對平方和的分解。 1  無重復(fù)的情況。 y 的總校正平方和可進行如下的分解： 即： Syy = SSe + SSR y 的

14、總校正平方和殘差平方和回歸平方和 自由度： n-1n-21 這樣就把 y 的總校正平方和分解成了殘差平方和與回歸平方和。前已證明， MS e 可作為總體方差 s 2 的估計量，而 MS R 可作為回歸效果好壞的評價。如果 MS R 僅由隨機誤差造成的話，說明回歸失敗， X 和 Y 沒有線性關(guān)系；否則它應(yīng)顯著偏大。因此可用統(tǒng)計量 （ 9.8 ） 對 H 0 : b = 0 進行檢驗。若 F < F a (1, n-2) ，則接受 H 0 ，否則拒絕。 現(xiàn)在我們來證明這里的 F 檢驗與前述的 t 檢驗是一致的： 前已證明： SS e = S yy ? b × S xy , SS R

15、 = S yy ? SS e = b × S xy , 例 9.4 對例 9.1 作方差分析 解：由以前計算結(jié)果： S yy = 210.2 ， df = 4; SS e = 3.1704, df = 3, SS R = 210.2 ?3.1704 = 207.03, df = 1 查表得 F 0.95 (1, 3) = 10.13, F 0.99 (1, 3) = 34.12 F > F 0.99 (1, 3) ，拒絕 H 0 ，差異極顯著。即應(yīng)認為回歸方程有效。 2.有重復(fù)的情況： 設(shè)在每一個 x i 取值上對 Y 作了 m 次觀察，結(jié)果記為 y i1 , y i2 , y

16、 im , 則線性統(tǒng)計模型變?yōu)椋?, i = 1, 2, n, j = 1, 2, m 估計值仍為： 現(xiàn)在 y的總校正平方和可分解為： S yy = SS R + SS LOF + SS pe 其中 SS LOF 稱為失擬平方和， SS pe 為純誤差平方和，它們的表達式和自由度分別為： 同學(xué)們可試證明上述分解中的三個交叉項均為 0 。 統(tǒng)計檢驗步驟為： I. 令 ，它服從 F(n-2, mn-n) （ 9.9 ） 若 F 檢驗差異顯著，則可能的原因有： （ 1 ）除 X 以外還有其他變量影響 Y 的取值，而統(tǒng)計時沒有加以考慮； （ 2 ）模型不當，即 X 與 Y 之間不是線性關(guān)系； 此時無必

17、要再進一步對 MS R 作檢驗，而應(yīng)想辦法找出原因，并把它消除后重作回歸。 若差異不顯著，則把 MS LOF 和 MS pe 合并，再對 MS R 作檢驗： II. ，它服從 F(1, mn-2) （ 9.10 ） 若差異顯著，說明回歸是成功的， X, Y 間確有線性關(guān)系；若差異仍不顯著，則回歸失敗，其可能的原因為： （ 1 ） X ， Y 無線性關(guān)系； （ 2 ）誤差過大，掩蓋了 X, Y 間的線性關(guān)系。 如有必要，可設(shè)法減小實驗誤差，或增加重復(fù)數(shù)重做實驗后再重新回歸。 9.2.5直線回歸的區(qū)間估計 1 和的區(qū)間估計 我們已經(jīng)證明 a 和 b 是 和 的點估計，并求出了它們的方差。因此給出置

18、信區(qū)間就很容易了： 的 95%置信區(qū)間為： （9.11） 同理 a 的 95% 置信區(qū)間為： (9.12) 這與以前假設(shè)檢驗中的置信區(qū)間求法完全一樣。若置信水平為 99% ，把分位數(shù)相應(yīng)換為 t 0.995 (n-2) 即可。 例 9.5 對例 9.1 中的 a 和 b 給出 95% 置信區(qū)間。 解：從前邊的計算可知： a = 2.6996, b = 1.5167, S xx = 90, MS e = 1.0568, n = 5, 查表，得 t 0.975 (3) = 3.182 a 的 95% 置信區(qū)間為： 2.6996 ± 4.3887, 即（ -1.6891, 7.0883 ）

19、 b 的 95% 置信區(qū)間為： 1.5167 ± 0.3448, 即（ 1.1719, 1.8615 ） 2. 對條件均值 m Y? X 的估計。 的點估計： 證明： 區(qū)間估計：首先需求出 的方差。 用 MS e 代替 s 2 ，可得 的 1 ? a 置信區(qū)間為： （ 9.13 ） 注意上述置信區(qū)間的寬度與 有關(guān)，當 時，其寬度最小，偏離 后，逐漸加大。 3. 對一次觀察值 y 0 的估計 y 0 的點估計： 證明： 區(qū)間估計： 一般情況下置信區(qū)間是以隨機變量的期望為中點，此時只要求方差就可以了，因為方差就是衡量隨機變量以數(shù)學(xué)期望為中心的離散程度的統(tǒng)計量。而現(xiàn)在是以條件均值 的估計值

20、，即另一個隨機變量 為中點，因此應(yīng)求這兩個隨機變量差值的方差。由于下一次觀察值 y 0 和以前所有的觀察值 y i 都是互相獨立的，而估計值 是從以前的觀察值 y i 計算出來的，因此 與 y 0 獨立，從而有： 由于 y 0 和 均為正態(tài)分布，它們的差也為正態(tài)分布。用 代替 后，為 t 分布，即： 在 x = x 0 處 y 0 的 1- a 置信區(qū)間為： (9.14) 顯然 y 0 的置信區(qū)間寬度也與 x 0 有關(guān)， 時最小，偏離 時增大。 y 0 的置信區(qū)間比 的大一點，這是因為 y 0 自己也有一個隨機誤差 e 。 例 9.6 江蘇武進縣測定 1959-1964 年間 3 月下旬至 4

21、 月中旬平均溫度累積值 x 和一代三化螟蛾盛發(fā)期 y 的關(guān)系如下表 ( 盛發(fā)期以 5 月 10 日為起算日 ) ：試作回歸分析。 表 9.2 平均溫度累積值與一代三化螟盛發(fā)期 年代 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 累積溫 x 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2 盛發(fā)期 y 12 16 9 2 7 3 13 9 1 解：由原始數(shù)據(jù)算得： S xx = 144.6356, S yy = 249.5556, S xy = 159.0444, b 1.0996, SS R = bS xy =

22、 174.8886 查表，得： F 0.95 (1, 7) = 5.591, F 0.99 (1, 7) = 12.25, F > F 0.99 (1, 7), 拒絕 H 0 ，差異極顯著。即 X ， Y 有極顯著線性關(guān)系。 為把上述回歸結(jié)果用于預(yù)報，可給出觀察值 y 0 的 95% 置信區(qū)間： 查表，得 t 0.975 (7) = 2.365, 把數(shù)據(jù)代入上式，得： 條件均值 的 95% 置信區(qū)間公式為： 代入數(shù)據(jù)，得： 把不同的 x 0 取值代入上述公式，可得置信區(qū)間的數(shù)據(jù)及圖形如下： 表 9.3 一代三化螟盛發(fā)期置信區(qū)間 x 0 y 0 的 95% 置信區(qū)間 y 0 的 95% 置

23、信區(qū)間 下限 上限 下限 上限 30 15.6 10.3 20.8 6.2 24.9 32 13.4 9.2 17.5 4.6 22.1 34 11.2 7.9 14.4 2.8 19.5 36 9.0 6.3 11.6 0.8 17.1 38 6.8 4.1 9.4 -1.4 14.9 40 4.6 1.4 7.8 -3.8 12.9 42 2.4 -1.7 6.4 -6.4 11.1 44 0.2 -5.0 5.3 -9.1 9.4 46 -2.0 -8.3 4.2 -12.0 7.9 圖 9.2 一代三化螟盛發(fā)期置信區(qū)間 回歸分析的目的常常是為了預(yù)報，也就是說下一次我們知道了 x 0 的

24、取值后，在觀察前就對 y 0 的取值作出估計。例如表 9.3 中的數(shù)據(jù)就是為了預(yù)報用的，下一年度如果我們知道了 3 月下旬至 4 月中旬的平均溫度累積值，就可以估計出一代三化螟蛾盛發(fā)期是 5 月的什么時候。要特別注意的一點是預(yù)報范圍只能是我們研究過的自變量變化范圍，例如在上例中，當積溫值是在 32 到 44 的范圍內(nèi)時，使用這一預(yù)報公式比較有把握， 30 和 46 使用已有點勉強，再大或小就不能用了。這是因為一般來說直線關(guān)系只是局部的近似，在更大的范圍內(nèi)，變量間常常呈現(xiàn)一種非線性的關(guān)系。因此若貿(mào)然把局部研究中發(fā)現(xiàn)的線性關(guān)系推廣到更大的范圍，常常是要犯嚴重錯誤的。同時從置信區(qū)間的寬度也可看出，即

25、使是在研究的范圍內(nèi)，也是越接近所研究區(qū)間的中點（ ）預(yù)報越準確。 第三節(jié)  直線相關(guān)  相關(guān)系數(shù) 設(shè)有一 X 、 Y 均為隨機變量的雙變數(shù)總體，具有 N 對 ( X ， Y ) 。若在標有這 N 個 ( X ， Y ) 坐標點的直角坐標上移動坐標軸，將 X 軸和 Y 軸分別平移 到 X 和 Y 上，則各點位置不變，而所取坐標變?yōu)?( X - X ， Y- Y ) 。 上述三圖充分說明的值可用來度量兩個變數(shù)直線相關(guān)程度和性質(zhì)。但是， X 和 Y 的變異程度、所取單位及 N 的大小都會影響為了具有可比性，需要將離均差轉(zhuǎn)化為標準化離均差，再以 N 除之，從而得到雙變數(shù)總體的相關(guān)系

26、數(shù)為： 從樣本的角度分析， y 的平方和 SS y 是由離回歸平方和及回歸平方和構(gòu)成的，后者是由 X 的不同而引起。顯然，若坐標點愈靠近回歸線， 則U 對SS y 的比率愈大，直線相關(guān)就愈密切，故樣本的相關(guān)系數(shù) r 為： 嚴格地說，只有當 X ， Y 均為隨機變量時才能定義相關(guān)系數(shù)。這樣一來，在本章的大多數(shù)情況下，由于我們假設(shè) X 為非隨機變量，相關(guān)系數(shù)根本就無法定義。但一方面不管 X 是不是隨機變量，根據(jù)式樣本相關(guān)系數(shù)總是可以計算的；另一方面后邊關(guān)于對樣本相關(guān)系數(shù)進行統(tǒng)計檢驗的推導(dǎo)中，也并沒有受到 X 必須為隨機變量的限制，因此在回歸分析中我們就借用了相關(guān)系數(shù)的名稱和公式，而不再去區(qū)分 X

27、是否為隨機變量。這一點在使用中是很方便的。 根據(jù)以前的推導(dǎo)結(jié)果，有： 因此 , 。 當 時，從上式可看出 SS e = 0 ，即用 可以準確預(yù)測 y 值。此時若 X 不是隨機變量，則 Y 也不是隨機變量了。這種情況在生物學(xué)研究中是不多見的。 當 r = 0 時， SS e = S yy ，回歸一點作用也沒有，即用 X 的線性函數(shù)完全不能預(yù)測 Y 的變化。但這時 X 與 Y 間還可能存在著非線性的關(guān)系。 當 時，情況介于上述二者之間隔。 X 的線性函數(shù)對預(yù)測 Y 的變化有一定作用，但不能準確預(yù)測，這說明 Y 還受其他一些因素，包括隨機誤差的影響。 綜上所述， r 可以作為 X ， Y 間線性關(guān)系

28、強弱的一種指標。它的優(yōu)點是非常直觀，接近于 1 就是線性關(guān)系強，接近于 0 就是線性關(guān)系弱；而其他統(tǒng)計量都需要查表后才知檢驗結(jié)果。 由于 r 是線性關(guān)系強弱的指標，我們當然希望能用它來進行統(tǒng)計檢驗。在一般情況下 r 不是正態(tài)分布，直接檢驗有困難。但當總體相關(guān)系數(shù) = 0 時， r 的分布近似于正態(tài)分布，此時用 MSe 代替 ，就可以對 作 t 檢驗。這種檢驗與對回歸系數(shù) b 的檢驗： 是等價的。可證明如下： b 的 t 檢驗統(tǒng)計量為： t = b/S b 。 b=S xy /S xx , 代入 t 的表達式，得： 。 因此我們可用上述統(tǒng)計量對 作統(tǒng)計檢驗。 為使用方便，已根據(jù)上述公式編制專門的

29、相關(guān)系數(shù)檢驗表，可根據(jù)剩余自由度及自變量個數(shù)直接查出 r 的臨界值。 若必須對 0 的情況作統(tǒng)計檢驗，可采用反雙曲正切變換： 當 n 充分大時，可證明 Z 漸近正態(tài)分布 N , 其中 。利用統(tǒng)計量 Z 可對 等進行檢驗。但這一檢驗方法用得很少。 例 9.7 求出例 9.1 回歸系數(shù) r ，并作統(tǒng)計檢驗。 解：利用以前的計算結(jié)果，可得： 這里求得的 Z 值與例 9.2 中求得的 t 值是相同的，它們本來就是同一個統(tǒng)計量。 查表， t 0.995 (3) = 5.841 < t, 差異極顯著，即 X 與 Y 有極顯著的線性關(guān)系。 若直接查相關(guān)系數(shù)檢驗表，可得：剩余自由度為 3 ，獨立自變量為

30、 1 ， =0.05 的 r 臨界值為 0.878, =0.01 的臨界值為 0.959, 差異仍為極顯著。 相關(guān)系數(shù)與回歸系數(shù)間的關(guān)系 在 X 和 Y 均為隨機變量的情況下，我們通?？梢?X 為自變量， Y 為因變量建立方程，也可反過來，以 Y 為自變量， X 為因變量建立方程。此時它們的地位是對稱的。 取 X 為自變量， Y 為因變量，回歸系 b 為： 取 Y 為自變量， X 為因變量，回歸系數(shù) b' 為： 即：相關(guān)系數(shù)實際是兩個回歸系數(shù)的幾何平均值。這正反映了相關(guān)與回歸的不同：相關(guān)是雙向的關(guān)系，而回歸是單向的。 現(xiàn)在我們已介紹了三種對回歸方程作統(tǒng)計檢驗的方法：對回歸系數(shù) b 作 t 檢驗，方差方析，對相關(guān)系數(shù) r 作檢驗。對一元線性回歸來說，它們的基本公式其實是等價的，因此結(jié)果也是一致的。但它們也各有自己的優(yōu)缺點：對 b 的 t 檢驗可給出置信區(qū)間；方差分析在有重復(fù)的情況下可分解出純誤差平方和，從而可得到進一步的信息；相關(guān)系數(shù)則既直觀，又方便（有專門表格可查），因此使用廣泛。 最后要提請注意的一點是，不論采用什么檢驗方