西南交大峨眉校區(qū)數學建模第一次預選答案

1、西南交通大學峨眉校區(qū)2012年全國大學生數學建模競賽第一次預選賽 學號：20106995 專業(yè)：工機2班 姓名：吳一凡 （1）質點系的轉動慣量（本題10分）已知在平面上的個質點，其質量分別為，請你確定一個點，使得質點系關于此點的轉動慣量為最小。轉動慣量為最小，此時有，即取質心位置。得到（2）火箭發(fā)射問題（本題10分）當火箭從地面發(fā)射后，它的質量以40千克/秒的速度減少，當火箭離地球中心6378公里時，這時火箭的速度是100公里/秒，火箭的質量為3189千克,問這時的地球對火箭的引力減少的速率是多少（已知地球的質量千克，引力常數牛米2/千克2）？由，除以時間t，推出：代入數據，求得結果為。低碳經

2、濟的評價與科學預測摘要本文由實際出發(fā)，在所給數據中進行合理性的篩選，將表中數據通過評價系數來劃分等次，通過加權系數進行處理，得到評價指數，具有良好的公平性。問題一通過比較可以得知，在綜合評價中北京>重慶>四川>上海。在分析各省低碳經濟的發(fā)展變化中，北京的各項指標突出，低碳經濟發(fā)展很好。上海正在大力推行低碳經濟，它的評價指數在不斷上升中。重慶與四川相對穩(wěn)定，總體上沒有太大波動。問題二要預測2012年4個省的人均排放量，通過數據量小的特點，利用改進后的二次移動平均法建立預測模型，利用EXCEL軟件求解。結果為：北京6.633；上海13.710；重慶5.702；四川4.105。通過

3、擬合的方法驗證模型是正確的。問題三要滿足目標，在查閱資料后找出與題中對應的我國十二五節(jié)能減排目標：1) 單位GDP二氧化碳排放降低17% 2)森林覆蓋率提高到21.66%由此通過預測模型求解2015年以上兩項的數值，加以比較，利用EXCEL軟件求解。北京在四省市中節(jié)能減排最為明顯，上海、重慶、四川不能達到單位GDP二氧化碳排放量減排目標，四川也沒有達到森林覆蓋率的既定目標。并就這些問題給出了相關建議。本文最大的特色是利用評價系數系統地得到評價指數，具有良好的公平性。通過基于線性規(guī)劃的二次移動平均法來預測數據，簡單容易，比較準確。同時利用數值擬合與線性規(guī)劃的方法進行驗證。EXCEL軟件對商務辦公

4、來說非常方便,既解決了傳統手工進行統計預測的繁雜，又避免了未漢化SAS軟件給普通用戶帶來的困難。對于日常研究，調研分析都有實際的參考意義。關鍵詞：評價系數、移動平均法、數值擬合、excel一、問題提出2009年聯合國丹麥哥本哈根氣候大會以來，“應對氣候變化”成為全世界關注的最熱門的話題?！暗吞肌钡幕竞x是較低地排放以二氧化碳為代表的溫室氣體。低碳經濟，以減少溫室氣體排放為特征。發(fā)展低碳經濟，必須在聯合國氣候變化框架公約的基礎上，它需要國家的支持，需要每一個企業(yè)單位，每一個人的努力，涉及到低碳文化、低碳立法、低碳政策、低碳金融、低碳貿易、低碳企業(yè)治理、低碳城市構建等方方面面，需要自然科學、技術

5、科學、人文、社會、管理科學之間的融合與協調作戰(zhàn)。附錄給出了20052009年北京、上海、重慶、四川4個省的相關數據，請你研究下面三個問題：（1）根據所給數據建立數學模型對4個省的低碳經濟競爭力進行綜合評價，給出每個省在各年的低碳經濟競爭力的排序結果，分析各省低碳經濟的發(fā)展變化狀況。（2）根據所給數據建立數學模型預測2012年4個省的人均排放量。（3）溫家寶總理在哥本哈根氣候大會上莊嚴宣布，到2020年我國單位國內生產總值CO2排放在2005年基礎上下降40%45%的長期目標。為實現這一目標，國家“十二五規(guī)劃”也明確提出了階段的約束性指標。請你查閱有關資料，提出你自己認為切實可行的完成這一目標的

6、建議和意見。二、基本假設1、假設各省相關數據具有獨立性，互不影響，各個指標也不相互影響。2、假設各省相關數據具有良好的穩(wěn)定性，沒有特殊政策和突發(fā)情況的影響。三、符號說明符號意義單位備注表格中提供的各項數據N次移動平均值四、問題分析本題是評價并預測的題目。數據少，波動性小。問題一首先進行數據分類，將所有數據處理成評價系數的形式。因為數據之間數量級的差距，故利用加權系數加以調整，得到合理的綜合評價指數。問題二則需要分析數據，根據散點圖的趨勢來采用合適方法進行預測，并利用數值擬合下的線性規(guī)劃模型來相互印證預測的準確性。問題三要查找資料，根據上問中得到的預測模型來預測各項指標，并分析是否完成預期目標，

7、并給出相關建議。五、模型的建立與求解5.1 問題一模型建立與求解5.1.1 問題一的分析將表中數據通過評價系數來劃分等次，評價系數與評價指數的關系是：評價系數取值范圍默認在（1-100）之間，取整數。不在范圍內的利用加權系數酌情處理。表格中數據分析：表1人均二氧化碳排放，最小2.1，最大12.0993表2森林覆蓋率，最小3.17%，最大34.81%表3人均城市綠地面積，最小12.61，最大68.70表4單位建成區(qū)面積能耗，最小46016，最大108122表5單位GDP二氧化碳排放，最小1.1394，最大2.2722經過數據處理，使得系數處于一個適當范圍內。類別表1表2表3表4表5評價系數212

8、33412684610811.322.7本次是要評價各省低碳經濟競爭力，故表1，表4，表5所代表的指標應盡可能低，表2、表3代表的指標應該盡可能高。5.1.2 問題一模型的建立建立評價指數模型：式中，為綜合評價指數；是每組指標的評價指數；是每組指標給定的加權系數；n代表其年份。5.1.3 問題一模型的求解利用Excel軟件計算，可以得到評價指數Q。當a=1時，可以得到以下排名：地區(qū)20052006200720082009北京-12-10-17-136上海-104-114-118-122-67重慶-66-64-62-64-58四川-48-75-79-80-78年份低碳經濟競爭力排名2005北京&

9、gt;四川>重慶>上海2006北京>重慶>四川>上海2007北京>重慶>四川>上海2008北京>重慶>四川>上海2009北京>重慶>上海>四川綜合評價北京>重慶>四川>上海5.1.4 問題一結果的分析及驗證根據所得到的評價指數我們得知四省市的指數排名為北京>重慶>四川>上海。實際分析，可以通過對數據的分析得到該指數與實際情況呈正相關，故實際得到的排名為北京>重慶>四川>上海是合理的。當a取不同值時，雖然個別結果有差異，但總體上結果是一樣的，a=1是最簡情況。

10、各省低碳經濟的發(fā)展變化狀況：北京的各項指標突出，低碳經濟發(fā)展很好。上海正在大力推行低碳經濟，它的評價指數在不斷上升中。重慶與四川相對穩(wěn)定，總體上沒有太大波動。5.2 問題二模型建立與求解5.2.1 問題二的分析通過散點圖觀察，發(fā)現觀測值都趨于穩(wěn)定?？梢圆捎枚我苿悠骄A測。通過與平滑指數法和數值擬合進行互補比較，就可以說明預測的準確性。5.2.2 問題二模型的建立（1） 一次移動平均法的預測模型：式中，是一次移動平均值；是實際值之和，為取值的個數。其中n的取值很重要，當n值較大時，靈敏度較差，有顯著的“滯后現象”；當n值較小時，可以靈敏地反映時間數列的變化；但n值過小，又達不到消除不規(guī)則變動

11、的目的。一般來說，可以采用不同n，對時間數列進行試驗，從中選擇最優(yōu)n。本題為了達到最大利用程度，選擇n=3。式中，是移動平均值；是實際值。（2） 一次平滑指數法的預測模型：式中，為t年的實際值；為t年的預測值；是平滑系數，取值為。首項的預測值可以取前三項的平均值。（3）基于擬合的線性規(guī)劃模型：通過Excel中的趨勢線來找到函數關系式，建立線性規(guī)劃模型：式中，為預測值，a，b是擬合得到的系數，x是自變量，根據表格而定。5.2.3 問題二模型的求解利用excel加載宏中的“數據分析”，首先以北京為例，可以得到以下結果：預測值7.42517.49137.233067誤差21.66%移動平均法實際值7

12、.2980 6.9773 7.8136 7.4844 7.1759 預測值7.2980 7.1056 7.5303 7.5027 7.3067 誤差20%指數平滑法5.2.4 問題二結果的分析觀察圖表發(fā)現誤差在20%以上，一次移動平均法與平滑指數法在數據量小的情況下所得預測值不準確。5.2.5 問題二模型的改進由一次移動平均法進行二次移動平均，使數據得到進一步修勻，使其呈現線性趨勢。在二次移動平均值的基礎上，可以建立線性模型： 式中，是預測超前期數。通過查表（多項式模型參數估算公式）可知： 5.2.6 問題二改進模型的求解采用最近年份的數據進行預測，代入預測模型中，各項移動平均值見附錄。 經整

13、理后，可以得到最后的式子：類別北京上海重慶四川2012年6.63271113.710175.7022784.1046445.2.7 問題二改進模型的比較分析通過數值擬合的方式來比較改進模型的科學性，同時對數據進行了一定處理。上海：y = 0.2752x + 10.885 北京：y = -0.0514x + 7.4524重慶：y = 0.4214x + 2.2803 四川：y = 0.2893x + 1.7938經過數值擬合后，將擬合所預測值同預測模型得到的預測值進行比較。類別北京上海重慶四川二次移動平均法6.63271113.710175.7022784.104644數值擬合7.041213.

14、08665.65154.1082相似率94.20%95.45%99.11%99.91%由于兩種預測模型和線性擬合均有誤差，數據量小，會存在一定誤差。而相似率在94%以上說明預測值可信度很高。5.3.1 問題三的分析（1）氣候大會目標：2020年比2005年單位GDP二氧化碳排放下降40%45%。首先由散點圖可知，總體趨勢是向下的，有一定的線性關系，需要進行預測。（2）“十二五”規(guī)劃中節(jié)能減排目標：查找相關資料后得知題中數據有兩個指標在十二五規(guī)劃內。只需要預測2015年前單位GDP二氧化碳排放量是否降低16%；森林覆蓋率是否提高到21.66%，同時預測值要基于2009年進行比較。5.3.2 問題

15、三模型的建立與求解利用二次移動平均法基礎上得到的線性預測模型：（1）氣候大會目標：類別北京上海重慶四川2005年1.53971.81472.25292.33512020年-1.7253 -0.3890 1.6288 1.3383 下降程度27.70%42.69%因為考慮到實際情況，北京、上海的單位GDP排放量應該維持在一個較小的正值上。（2） “十二五”規(guī)劃中節(jié)能減排目標：利用二次移動平均法基礎上得到的線性預測模型： 單位GDP二氧化碳排放量（單位：噸/萬元）類別北京上海重慶四川2009年1.13941.6312.09962.1972015年0.3400781.0874891.9944441.

16、951322下降程度70.15%33.32%5.01%11.18%森林覆蓋率（單位：%）類別北京上海重慶四川2009年31.729.4134.8534.312015年41.0177814.9566746.0537.90111上升程度29.31%58.94%32.14%10.47%5.3.3 問題三結果的分析及驗證對于預測數據我們可以知道，北京在四省市中節(jié)能減排最為明顯，上海、重慶、四川不能達到單位GDP二氧化碳排放量減排目標。四川在森林覆蓋率上不能達到預期要求。為此上海、重慶、四川要加快推動節(jié)能減排政策，同時四川應該大力實行有關植樹的各項政策，確保各省市在十二五結束前完成既定目標。該預測模型在

17、問題二中得到驗證，可以認為模型預測出的數據是可靠的。六、模型的評價與推廣6.1 模型的評價基于二次移動平均法的線性模型能夠較好地消除數據中的不穩(wěn)定波動，方法簡單易懂，N值應盡量取大，可以得到令人滿意的效果。在預測相對穩(wěn)定的數據時準確率高。而通過數值擬合來驗證該模型的科學性也得到了證明。然而該模型在預測實際情況時需要靈活調整。在波動幅度較大的數據時，可以多次取移動平均值來調整好數據的波動。，以上公式對線性預測效果明顯，但不適用于非線性預測。在實際應用于僅作為參考。6.2 模型的推廣基于二次移動平均法的線性預測可以廣泛地適用于預測具有穩(wěn)定趨勢的各種數據。在實際應用中可以作為一種參考。用Excel來

18、處理統計預測方法，簡便易行，快速準確，既解決了傳統手工進行統計預測的繁雜，又避免了未漢化SAS軟件給普通用戶帶來的困難。對于商務辦公，調研分析都有實際的參考意義。七、參考文獻1 姜啟源等, 數學模型（第三版），高等教育出版社，2003年8月2 沈恒范，概率論與數理統計教程（第五版），高等教育出版社，2011年6月3 隱含在Excel中的統計預測方法研究，孫艷玲，2002年1月八、附錄附錄1：問題一中評價系數地區(qū)2005年2006年2007年2008年2009年北京-12-10-17-136上海-104-114-118-122-67重慶-66-64-62-64-58四川-48-75-79-80-78附錄2：問題二中移動平均法數據地區(qū)2005年2006年2007年2008年2009年北京6.97737.81367.48447.17597.0389上海9.438611.503511.893512.057312.0993重慶2.79223.07053.35534.13974.3645四川2.12.3792.63142.92353.2741北京7.4251 7.4913 7.2331 上海10.9452 11.8181 12.0167 重慶3.0727 3.5218 3.953