考研數(shù)學精選例題VIP

1、今天來看看第二題吧。題目本身不算難題，不過由于涉及的內(nèi)容對考研的幫助特別大，又是典型中的典型，所以選出來說。希望今天通過這道題目，能夠讓大家掌握如何思考這類題目！這道題目的條件很明顯，閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間上可導，第一反應(yīng)應(yīng)該就是中值定理了中值定理有三個，那么該用哪個呢？回一下就可以發(fā)現(xiàn)，三個中值定理都只會出現(xiàn)一個參數(shù)，但是題目中卻出現(xiàn)了兩個參數(shù)，。那么怎么辦？這個時候就應(yīng)該知道僅僅一個中值定理是解決不了此題的，所以考慮使用兩個中值定理來做！那么，到底該使用哪兩個中值定理呢？一般來說，中值定理的混用有3種，兩個拉格朗日，一個拉格朗日一個柯西，兩個柯西。具體問題就要具體分析了。所以對這道題目，我們

2、有必要對式子進行變形，從中發(fā)現(xiàn)線索！不知道大家看出來我變形的目標沒有-就是將同一個參數(shù)集中在一堆，然后f放在分子，具體函數(shù)（在這道題中就是cosx與sinx）放在分母。從這種形式，我們很容易看出來，這應(yīng)該是柯西中值定理的應(yīng)用左邊f(xié)()/sin就可以看做柯西中值定理的右邊部分，這樣一來，我們只需要把分子分母的原函數(shù)找出來，然后用柯西中值定理處理就可以出現(xiàn)我們結(jié)論中的東西了。同理，右邊的f()/cos也可以再用一個柯西中值定理處理。注意，這里左邊就應(yīng)該取端點值a,b，因為表達式里面還含有a,b。至于那個tan（(a+b)/2)可以暫時不管，先分別用柯西中值定理處理后然后再看看是否能夠出現(xiàn)那個式子，

3、如果出現(xiàn)不了的話才考慮其他的，能夠出現(xiàn)，命題基本上可以說是得證了！于是下面就是解答過程看來，只要將用兩個柯西中值定理想出來了，后面的就是水道渠成了。那個tan（(a+b)/2)也是自然而然就出現(xiàn)了。最后總結(jié)一下這道題。從這道題我們能夠?qū)W到哪些東西？首先，通過條件的分析，知道很可能使用中值定理，這是整體把握此題，讓自己有個大致的方向。然后就是對題目的分析了。處理一個變量的中值定理的證明題，一般都是利用分析法，也就是通過條件倒推，最后看出需要構(gòu)造什么樣的輔助函數(shù)。而處理兩個變量及以上也是分析法，不過往往是對結(jié)構(gòu)的分析了。一般步驟就是先將同一個變量放在一起，然后看看那個中值定理的形式和此相同，即可決

4、定使用那個中值定理了。也就是說，這種多變量的中值定理證明題的突破口就在變量上面，做適當變形，分析出條件的使用。至于那些常數(shù)（比如這道題里面的tan（(a+b)/2)）完全可以不管，因為往往你將變量的來源分析清楚了，做一下處理，就可以得到這些常數(shù)了！為了幫大家熟悉一下這類題型，我又找了幾道題，大家自己練習下，如果哪道題不會的，跟帖提出來。我可以幫你分析下思路。三道題的難度是遞增的，希望大家多多思考！題目3是一道積分不等式的證明，是李永樂或者陳文燈書上都可以找到的題目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是證明題中常用的，所以我把這道題弄出來進行剖析，將自己的思路展現(xiàn)給大家看看。拿到這道題目，大家可能

5、都有點傻眼了。怎么表達式這么復雜？！而且絕對值，積分號，求導號讓人眼花繚亂，感覺根本不知道從何下手。我們不妨先從三個獨立的表達式分析起走。第一個表達式首先要明白這個式子說的是什么東西。讀懂表達式，是你做證明題的根本！不難看出，這個式子說的就是|f(x)|的在區(qū)間a,b的最大值。寫的這么高深，弄得大家心里發(fā)慌，其實根本就是一只紙老虎嘛！我們并不關(guān)心最大值在哪一點取得，所以我們可以把取得最大值的這一點設(shè)為，則這個式子可以化成|f()|.你看，這樣一簡化，是不是顯得更加簡潔和舒服，讓自己的信心也增加了不少。第二個表達式這個式子對積分熟悉一點的看見了就應(yīng)該有一種很強烈的反應(yīng)，就是積分中值定理！所以這個

6、式子我們也可以簡化一下成|f()|.這樣一來，不但大大簡化了表達式，而且成功的與第一個表達式聯(lián)系了起來！這樣對題目的認知也就在簡化中一點一點的清晰化了！第三個表達式這個表達式相對于前面兩個來說要復雜一些，因為它沒有很好的化簡方式。所以我們只有暫且不管這個表達式，把它作為一個常量，擺在那里，考慮去處理表達式1,2，使得能夠得到表達式3！為此，我們將表達式1和表達式2放在一起，于是移項，得到下面不等式，也就是我們需要證明的！注意到左邊兩個式子|f()| -|f()|，看見這個，然后考慮到這是一道不等式的題目，并且，都是未知的一個數(shù)，我們應(yīng)該立即聯(lián)想到放縮，用什么放縮？絕對值不等式！|x|-|y|=

7、|x-y|，然后邏輯方向（也就是不等式的方向）也是正確的，所以放心大膽的做吧！如此一來，我們便可以一口氣做下去了。于是得到下面的解答！|最后需要再多說兩句的就是放縮的后期有一步非常經(jīng)典注意到?jīng)]有，第一步的那個等號是這道題里面最難也是最精華的部分。反用牛頓-萊布尼茨公式。成功將積分和導數(shù)聯(lián)系在了一起，破解了這個看似超級復雜的證明題！后面的就是定積分的基本性質(zhì)雖然這個式子平時看起來覺得再熟悉簡單不過了，可是真正使用的時候還是不簡單的。最后對這個題目打一個小結(jié)，這道題到底讓我們學到了哪些知識和思想方法。知識1：積分中值定理，在某些時候可以簡化表達式知識2：絕對值不等式以及定積分里面的絕對值不等式知識

8、3：牛頓-萊布尼茨公式的逆用考察的知識不難，關(guān)鍵如何將這些知識串聯(lián)起來，這是需要不斷訓練的，當然，通過平時練習多總結(jié)多思考，就是提高的最快路徑了！思想方法1：對證明的式子需要有個宏觀把握，能簡化的要簡化，這樣便于你看清楚整個題目間的關(guān)系。思想方法2：不等式證明中間肯定有放縮，這個時候需要找出一定放縮的方法，而且更重要的是判斷放縮的方向是否正確，如果正確才可繼續(xù)往下做。思想方法3：對公式的逆用。有些時候我們做題做多了，往往對有些公式只會順著用，反過來如何用未曾或者很少想過。其實，像這種難度較大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通過這道題目，我們也學習到了牛頓萊布尼茨公式逆用的威力?？梢月?lián)系積

9、分與導數(shù)！總而言之，這道題目難度不小，不過也不是天馬行空的，仔細琢磨，會發(fā)現(xiàn)里面有很多思想是值得學習借鑒的！最后選了一道題目，供大家練習這道題看上去就比較容易入手。因為題目有兩個問題，一般來說，第一問是為第二問做鋪墊的，往往第二問可以用到第一問的結(jié)論，就算用不到，第一問也會給第二問帶來很明確的方向。還是條件入手，分析條件，從正向邊界，平面區(qū)域，不難得出此題是二重積分和曲線積分的轉(zhuǎn)換問題，應(yīng)該使用格林公式來做。于是分別對第一問左右兩邊用格林公式，轉(zhuǎn)換成二重積分。對比二重積分的被積表達式，發(fā)現(xiàn)其實并不完全一樣。所以這個時候我們又得考慮一下，是不是哪個條件沒有用上。仔細觀察下給的條件，發(fā)現(xiàn)積分區(qū)域沒

10、用上，這個區(qū)域有個特點，就是很對稱，不過不關(guān)于x軸也不關(guān)于y軸對稱，而是關(guān)于y=x對稱。于是OK了。利用這種對稱性，成功的證明兩個二重積分是相等的了！下面接著做第二問。第二問是一個不等式問題，如果沒有第一問的鋪墊，也算是比較難的了，不過有了第一問，那么就相對簡單些了。先做一些處理這一步也算是得力于第一問了。就是利用y=x對稱的這個性質(zhì)！這樣一來，我們將多變量轉(zhuǎn)換成了單變量，這也是做題的一種策略！可是即使做到這一步，我們也無法直接得出結(jié)論，并且esinx這種函數(shù)是無法積分（準確說無法找出初等原函數(shù)），加上題目本身也不是讓你準確積出來，而是證明不等式，所以聯(lián)想到放縮！于是下一步考察ex+e（-x）

11、這個函數(shù)的性質(zhì)為了能夠積分容易，泰勒公式是一個不錯的選擇，它將各種函數(shù)都弄成了冪函數(shù)的形式，而冪函數(shù)正是很容易積分的形式。于是，將ex+e（-x）在x=0點展開。一放縮，本題就得出答案了，具體過程如下。最后總結(jié)一下這道題目題目分析過程不算特別難，主要就是格林公式的應(yīng)用和二重積分的對稱性，以及最后的泰勒公式展開。但是有兩個地方值得挖掘（1） 題目可以一般化！方法與上面一模一樣，這里不贅述。不過需要注意的是，第二問就無法證明大于等于5/22,只能證明大于等于22（2） 對于本題的第二問，我們可以從解答中看出，還可以繼續(xù)不斷的進行更強的放縮得到的結(jié)果也更加強！這一種方法給我們的啟示就是：對于那種無法

12、積出具體分的積分不等式，我們可以利用泰勒展開來做。適當放縮就可以得到答案！下面就這個方法，給一道習題此題左邊比較容易，右邊稍微有點難，可以嘗試一下！這道題給人的第一感覺就是條件的式子很復雜，不過要證明的結(jié)論卻很簡單。很容易注意到有下面這個關(guān)系存在于是為了朝最后的目標邁進，我們需要將結(jié)論的式子變形，構(gòu)造出我們挖掘出來的這個條件，于是利用恒等式：但是，使用了恒等式后，無論怎么變形，后面的那個括號里面的式子就是無法完全和已知條件聯(lián)系起來。這個時候，我們需要想想，是不是開始的時候，方向有錯誤。因為我們挖掘出來的條件是u+v+w=e，而結(jié)論中并沒有e出現(xiàn)，加上現(xiàn)在這樣做無法做下去了。所以我們此時需要換個

13、思路去做。再仔細觀察條件，給出了u,v,w的表達式，他們除了相加能夠得到常數(shù)e之外，各自之間是否有聯(lián)系呢？如果對導數(shù)熟悉敏感一點的人就會發(fā)現(xiàn)，他們之間有求導后相等的關(guān)系！這個時候你可能會很欣慰，因為又找出了一個隱含條件。那么，這個條件該怎么用呢？考慮到結(jié)論是證明一個表達式等于常數(shù)，我們不妨求導，一來是可以出現(xiàn)導數(shù)，而來如果導數(shù)等于0的話，那么就可以判斷表達式本身就是一個常數(shù)了。就這樣，大膽的向下做！解答過程回頭看看這個題目，到底給了我們多少啟示呢？首先，我們有時候需要自己去挖掘隱含條件，特別是條件給的很簡單的時候其次，隱含條件可能不止一個，所以盡可能挖，尤其是平時訓練，這樣有助于拓展視野。不過

14、考試的時候就根據(jù)實際情況找到相應(yīng)的即可。但是，有時候需要多個挖掘的隱含條件一起用才能奏效，這點注意下。然后，這道題也有很樸素的一個方法，就是導函數(shù)為0，原函數(shù)為常數(shù)C。最后，特別說明下，對級數(shù)求導后得到新級數(shù)如果能夠與已知級數(shù)發(fā)生關(guān)系，那么，這個關(guān)系往往能夠在解題中運用。下面就看一道練習題吧。題目8初看題目的結(jié)論，我們很容易反應(yīng)出一個思路-單調(diào)有界數(shù)列必有極限。因為除此之外，我們也沒有其他方法來處理。可是看看這個題目的條件，給的并不是遞推式，而是一個遞推不等式。這該如何處理。我們先不妨把這個題分解成兩步來做。第一步先證明其是有界的，題目已經(jīng)告訴這個數(shù)列是正值的，所以每一項都大于0！然后根據(jù)不等

15、式lnxn1-1/xn+11可以得出xne，所以這個數(shù)列也是有上界的。至此，有界這一部分也成功做出來了，這也是比較容易的一部分！下面來處理比較難的，單調(diào)性的處理！首先不得不說，這道題目給的遞推不等式，不能再使用遞推式的那種方法來證，但是思想方法不變！觀察下條件的結(jié)構(gòu)一個是對數(shù)函數(shù)lnx，另一個是反比例函數(shù)1/x，從解方程的角度來看，這算是一個超越方程了，一般是無法解出來具體值的。況且我們也沒必要求出具體值。我們不妨先將xn與xn+1的式子分別在不等號兩端。這個時候，我們希望能夠出現(xiàn)另一個不等式如果能實現(xiàn)這個目標的話，那么我們的單調(diào)性也就出來了。于是，我們考慮構(gòu)造輔助函數(shù)f(x)=lnx+1/x

16、-1然后研究其單調(diào)性以及極值。然后得到以下的解法！不得不說，這是一道很好的題目，不但打破了傳統(tǒng)的遞推式數(shù)列，也讓我們了解到了，如何將題目的條件分析更能清晰化思路?？偟恼f來，這道題僅僅考察了一個很簡單的知識點單調(diào)有界函數(shù)必有極限。可是考察的數(shù)學思想?yún)s很深入，題目難度不小，因為平常訓練相對較少，往往都是遞推式的求極限。簡單的知識點與純粹的數(shù)學思想，構(gòu)造成了這道美妙的題目！此外，如果大家對于一個不等式很熟悉的話，那么對做這道題也是很有幫助的！1-1/(x+1)ln(x+1)a，則b/a=t1！如果不用的話就會出問題的！然后看看練習吧這是一道關(guān)于多元函數(shù)的題目，剛拿到題目，也許感覺有點不知所措。因為條件給的很少，卻一下要求證明一個看似比較飄渺的結(jié)論。那么，我們應(yīng)該怎么去思考呢？首先，根據(jù)最后的問題“u僅僅是r的函數(shù)”，我們就需要想想，證明這類題目，常?？梢酝姆矫嫒ハ?。首先，如果我們能夠知道這個函數(shù)的具體表達式，然后將其變換成所需的形式，那么結(jié)論可以得到證明?？墒乾F(xiàn)在給的是一個抽象的函數(shù)，這條路肯定走不通。那么，我們得再想一想。U本來是關(guān)于x,y,z的三元函數(shù)，可是當滿足了條件以后，就可以變成關(guān)于（x2+y2+z2）1/2的一元函數(shù)了。而（x2+y2+z2）1/2是不是可以看成幾何