統(tǒng)計(jì)熱力學(xué) 復(fù)習(xí)題及答案

1、第三章 統(tǒng)計(jì)熱力學(xué) 復(fù)習(xí)題及答案1混合晶體是由晶格點(diǎn)陣中隨機(jī)放置NC個(gè)C分子和D分子組成的。（1） 證明分子能夠占據(jù)格點(diǎn)的花樣為 ，若，利用斯特林公式證明（2） 若2，利用上式計(jì)算得=16，但實(shí)際上只能排出6種花樣，究竟何者正確？為什么？解：（1）證明：取的全排列，則總共排列的花樣數(shù)為種，現(xiàn)個(gè)相同的C和個(gè)相同的D。故花樣數(shù)為 當(dāng)時(shí)取自然對(duì)數(shù)：（2）實(shí)際排出6種花樣是正確的，因?yàn)镾tirling是一個(gè)近似公式適用于N很大時(shí)才誤差較小。而在N為4時(shí)，用 來計(jì)算就會(huì)產(chǎn)生較大誤差。2（1）設(shè)有三個(gè)穿綠色、兩個(gè)穿灰色和一個(gè)穿藍(lán)色制服得軍人一起列隊(duì)，試問有多少種對(duì)型？現(xiàn)設(shè)穿綠色制服得可有三種肩章并任取其中

2、一種佩帶，穿灰色制服的可有兩種肩章，而穿藍(lán)色的可有兩種肩章，試 列出求算隊(duì)型數(shù)目的公式。（2）試證明含有N個(gè)粒子的定位體系，某種分布- 的微觀狀態(tài)數(shù)為（gI為相應(yīng)的簡并度）.答：（1）取6個(gè)不同的全排列，應(yīng)有6！種花樣，但其中3種完全相同互換位置不能導(dǎo)致新花樣另兩種完全相同（同樣這2種相同物種的全排列為2！種）故排列花樣數(shù)為：種，另一種只有一種這3種的全排列為3！種，取6個(gè)不同的全排列總共有6！種花樣，而穿綠色制服3個(gè)人有3種肩章，任取一種佩帶，相當(dāng)于有簡并度為5（）。就有33種花樣。穿灰色的有兩種肩章相當(dāng)于簡并度為2，就有22種而穿藍(lán)色的有4種肩章相當(dāng)于簡并度為就有41種，但其中有3個(gè)穿綠色

3、制服的戴相同肩章，總共有3！種花樣，2個(gè)穿灰色的戴相同肩章有2！種 （2）在N個(gè)不同粒子中取出N1個(gè)粒子放在中，其放法為種。在能級(jí)上有g(shù)1個(gè)不同狀態(tài)，故在上總共有種放法，同理在從（N-N1）中取出N2個(gè)粒子放在上的放法為種放法。所以這種分布的微觀狀態(tài)數(shù)：3在公園的猴舍中陳列著三個(gè)金絲猴和兩種長臂猿，金絲猴有紅、綠兩種帽子，仍戴一種，而長臂猿可在黃、灰和黑中選戴一種，試問陳列時(shí)間可出現(xiàn)幾種不同的情況，并列出求算公式。解：設(shè)N1=3，N2=2，而g1=2，g2=3則種，因?yàn)槊恳环N動(dòng)物必須戴：三個(gè)金絲猴：（紅、紅、紅）（綠、綠、綠）（紅、紅、綠）（綠、綠、紅）共4種。兩種長臂猿：（黑、黑）（灰、灰）

4、（黃、黃）（黑、灰）（黃、灰）（黑、黃）。共6種。總共為種。4已知對(duì)非定位體系試證明式（3.24），（3.25）和（3.26）。解：對(duì)定位體系：（第二題的結(jié)果） 對(duì)非定位體系： 摘取最大項(xiàng)原理：（定位體系） 對(duì)非定位體系： 微分：用拉格朗日乘因子法，求得：（書中189頁） ，即 ， ， ， ， ，與定位體系的玻茲曼分布公式相同非非5試證明玻茲曼分布的微觀狀態(tài)數(shù)公式為式中，證：利用定位體系任意分配方式公式：（玻茲曼統(tǒng)計(jì)是指經(jīng)典統(tǒng)計(jì)認(rèn)為粒子是可區(qū)別的，即定位體系）取自然對(duì)數(shù)：對(duì)最概然分布： 6設(shè)有一圓柱形鐵皮筒，體積為鐵皮面積為，試用拉格朗日乘因子法當(dāng)鐵皮面積為最小時(shí)，圓柱半徑（R）和高（L）之間

5、的關(guān)系？并算出至少要消耗多少面積的鐵皮？不討論（可自己求解）解： 極值時(shí)： （圓柱半徑R與高之間的關(guān)系） 設(shè)：， （1） （2） （3）由（2） （4）（4）代入（1）， 由 7試用配分函數(shù)表示出單原子理想氣體的吉布斯自由能G和焓H。答：理想氣體為非定位體系：對(duì)單元子分子，只有電子核和平動(dòng)配分函數(shù)。 ， ， （！為常數(shù)。與體積無關(guān)） ， ， 吉布斯亥姆霍茲公式8CO2氣體可作為理想氣體，并設(shè)其各個(gè)自由度都服從經(jīng)典的能量均分原理，已知試用計(jì)算方法判斷CO2是否為線性分子。解：由 （第一章中討論到理想氣體）. . 設(shè)：若CO2為線性分子，補(bǔ)：平動(dòng)有3個(gè)自由度。根據(jù)其總自由度為3n。振動(dòng)自由度應(yīng)為。

6、 由于一個(gè)振動(dòng)的能量中的表達(dá)式中包括2個(gè)平方項(xiàng)（83頁 小字部分），振動(dòng)的動(dòng)能和振動(dòng)的位能，每個(gè)平方項(xiàng)都提供的能量（若為1mol。則為）若一個(gè)分子有七個(gè)平動(dòng)自由度，r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。S個(gè)振動(dòng)自由度。則：總能量， 。 若CO2為線性分子.與原來題中給的條件求出的一致。故假設(shè)正確，CO2是直線型分子。9四種分子的有關(guān)參數(shù)如下：分子Mtr/kv/kH2287.55976HBr8112.23682N2282.893353Cl2710.35801問在同溫同壓下，那種氣體的摩爾平動(dòng)熵最大？那種氣體的摩爾轉(zhuǎn)動(dòng)熵最大？那種氣體的轉(zhuǎn)動(dòng)基本頻率最?。拷猓合葘懗銎絼?dòng)熵，轉(zhuǎn)動(dòng)熵及振動(dòng)特征溫度的表達(dá)式：（沙克爾特魯?shù)鹿?/p>

7、）（物質(zhì)量為1mol. ）由公式可見，粒子的質(zhì)量m越大，平動(dòng)熵則越大，所以HBr的摩爾熵最大。 非非(雙原子分子：)非m說明轉(zhuǎn)動(dòng)特征溫度越小，非m越大，所以Q2的非m最大。 所以振動(dòng)特征溫度越小，越小，所以CO2的振動(dòng)基本頻率最小。10請(qǐng)定性說明下列各種氣體，為什么在不同溫度下的Cv，m值不等，找出其中的變化規(guī)律。 298.158002000He12.4812.4812.48N220.8123.1227.68Cl225.5328.8929.99CO228.8143.1152.02解：因?yàn)樵诔叵拢ū碇?98.15），不考慮振動(dòng)和電子配分函數(shù)，在較高溫度（表中800K）下，振動(dòng)配分函數(shù)有貢獻(xiàn)。但電子配分函數(shù)的貢獻(xiàn)為零。在更高溫度