自考微分方程試題a

1、常微分方程模擬試題一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1一階微分方程的通解的圖像是 2 維空間上的一族曲線 2二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解為方程的基本解組充分必要條件是 線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行列式不等于零） 3方程的基本解組是 4一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是 開(kāi) 區(qū)間5方程的常數(shù)解是二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 6方程滿足初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是（D ）（A）上半平面 （B）xoy平面 （C）下半平面 （D）除y軸外的全平面 7. 方程（ C ）奇解（A）有一個(gè) （B）有兩個(gè) （C）無(wú) （D）有無(wú)數(shù)個(gè) 8連續(xù)可微是保證方程解存在且唯一的（ B ）條件 （

2、A）必要 （B）充分 （C）充分必要 （D）必要非充分 9二階線性非齊次微分方程的所有解（ C ） （A）構(gòu)成一個(gè)2維線性空間 （B）構(gòu)成一個(gè)3維線性空間 （C）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間 （D）構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間 10方程過(guò)點(diǎn)(0, 0)有（ A）(A) 無(wú)數(shù)個(gè)解(B) 只有一個(gè)解 (C) 只有兩個(gè)解(D) 只有三個(gè)解三、計(jì)算題（每小題分，本題共30分） 求下列方程的通解或通積分： 11. 12. 13. 14 15四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分） 16求方程的通解 17求下列方程組的通解五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的一切解，均有19在方程中

3、，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)第二套一、填空題（每小題3分，本題共15分） 1方程所有常數(shù)解是或 2方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是平面 3線性齊次微分方程組的解組為基本解組的 充分必要 條件是它們的朗斯基行列式 4方程的任一非零解 不能 與軸相交 5階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為 n 個(gè)二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分） 6方程（ B ）奇解（A）有無(wú)數(shù)個(gè) （B）無(wú) （C）有一個(gè) （D）有兩個(gè) 7. 方程過(guò)點(diǎn)（ A ）（A）只有一個(gè)解 （B）有無(wú)數(shù)個(gè)解 （C）只有兩個(gè)解 （D）無(wú)解 8有界是方程初值解唯一的（ C

4、）條件 （A）必要 （B）必要非充分 （C）充分 （D）充分必要 9方程的任一非零解在平面上（ A ）與軸相切 （A）不可以 （B）只有在點(diǎn)處可以 （C）只有在原點(diǎn)處可以 （D）只有在點(diǎn)處可以 10階線性非齊次微分方程的所有解（ D ） （A）構(gòu)成一個(gè)線性空間 （B）構(gòu)成一個(gè)維線性空間 （C）構(gòu)成一個(gè)維線性空間 （D）不能構(gòu)成一個(gè)線性空間三、計(jì)算題（每小題分，本題共30分） 求下列方程的通解或通積分： 11. 12. 13. 14 15四、計(jì)算題（每小題10分，本題共20分） 16求方程的通解 17求下列方程組的通解五、證明題（每小題10分，本題共20分） 18設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，求證

5、：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在 19設(shè)和是二階線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解，求證：它們不能有共同的零點(diǎn)常微分方程期終考試試卷(1)一、 填空題（30%）1、方程有只含的積分因子的充要條件是（ ）。有只含的積分因子的充要條件是_。、_稱(chēng)為黎卡提方程，它有積分因子_。、_稱(chēng)為伯努利方程，它有積分因子_。、若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是_。、形如_的方程稱(chēng)為歐拉方程。、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系是_。、當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共軛虛根是，則當(dāng)其實(shí)部為_(kāi)時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為_(kāi)。二、計(jì)算題（）1、若試求方程組的解并求expAt、求方程經(jīng)過(guò)（0，0）的

6、第三次近似解6.求的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性.三、證明題（）、階齊線性方程一定存在個(gè)線性無(wú)關(guān)解。常微分方程期終試卷(2) 一、填空題 30%1、 形如_的方程，稱(chēng)為變量分離方程，這里.分別為x.y的連續(xù)函數(shù)。2、 形如_的方程，稱(chēng)為伯努利方程，這里的連續(xù)函數(shù).n3、 如果存在常數(shù)_對(duì)于所有函數(shù)稱(chēng)為在R上關(guān)于滿足利普希茲條件。4、 形如_-的方程，稱(chēng)為歐拉方程，這里5、 設(shè)的某一解，則它的任一解_-。一、 計(jì)算題40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隱式解。 4、 求方程二、 證明題30%1.試驗(yàn)證=是方程組x=x,x=，在任何不包含原點(diǎn)的區(qū)間a上的基解矩陣。2.設(shè)

7、為方程x=Ax（A為nn常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即（0）=E），證明: (t)=(t- t)其中t為某一值. 常微分方程期終試卷(3) 一 . 解下列方程(10%*8=80%)1. 1.    2xylnydx+dy=02. =6-x3. =24. x=+y5. 5.    tgydx-ctydy=06. 6.    y-x(+)dx-xdy=07一質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度為零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為）的力作用在它上面，此外質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為）。試

8、求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。8. 已知f(x)=1,x0,試求函數(shù)f(x)的一般表達(dá)式。二 證明題(10%*2=20%)9. 試證：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M、N試同齊次函數(shù)，且xM+yN0,則是該方程的一個(gè)積分因子。10. 證明：如果已知黎卡提方程的一個(gè)特解，則可用初等方法求得它的通解。常微分方程期終試卷（4）一、填空題1、（ ）稱(chēng)為變量分離方程,它有積分因子( )。、當(dāng)（）時(shí)，方程稱(chēng)為恰當(dāng)方程，或稱(chēng)全微分方程。、函數(shù)稱(chēng)為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果（）。、對(duì)畢卡逼近序列，。、解線性方程的常用方法有（）。、若為齊線性方程的個(gè)線性無(wú)關(guān)解，則這一齊線性方程的所有解可表為（）。

9、、方程組（）。、若和都是的基解矩陣，則和具有關(guān)系：（）。、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部（）時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為（）。、當(dāng)方程組的特征方程有兩個(gè)相異的特征根時(shí)，則當(dāng)（）時(shí)，零解是漸近穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為（）。當(dāng)（）時(shí)，零解是不穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為（）。、若是的基解矩陣，則滿足的解（）。二、計(jì)算題求下列方程的通解。、。、。、求方程通過(guò)的第三次近似解。求解下列常系數(shù)線性方程。、。、。試求下列線性方程組的奇點(diǎn)，并通過(guò)變換將奇點(diǎn)變?yōu)樵c(diǎn)，進(jìn)一步判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性：、。三、證明題。、 、設(shè)為方程（為常數(shù)矩陣）的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣（即，證明其中為某一值。常微分方程期終考試試卷（

10、5）一 填空題 （30分）1稱(chēng)為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 _ 。 2函數(shù)稱(chēng)為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 _ 。3 若為畢卡逼近序列的極限，則有_ 。4方程定義在矩形域上，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）的解的存在區(qū)間是 _ 。 5函數(shù)組的伏朗斯基行列式為 _ 。6若為齊線性方程的一個(gè)基本解組，為非齊線性方程的一個(gè)特解，則非齊線性方程的所有解可表為 _ 。7若是的基解矩陣，則向量函數(shù)= _是的滿足初始條件的解；向量函數(shù)= _ 是的滿足初始條件的解。8若矩陣具有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，它們對(duì)應(yīng)的特征值分別為，那么矩陣= _ 是常系數(shù)線性方程組的一個(gè)基解矩陣。9滿足 _

11、的點(diǎn)，稱(chēng)為駐定方程組。二   計(jì)算題 （60分）10求方程的通解。11求方程的通解。12求初值問(wèn)題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計(jì)。13求方程的通解。14試求方程組的解15試求線性方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性。 三證明題 （10分） 16如果是滿足初始條件的解，那么常微分方程期終考試試卷(6)三 填空題 （共30分，9小題，10個(gè)空格，每格3分）。1、 當(dāng)_時(shí)，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0稱(chēng)為恰當(dāng)方程，或稱(chēng)全微分方程。2、_稱(chēng)為齊次方程。3、求=f(x,y)滿足的解等價(jià)于求積分方程_的連續(xù)解。 4、若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)

12、，且關(guān)于y滿足利普希茲條件，則方程的解 y=作為的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是_。5、若為n階齊線性方程的n個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是_。6、方程組的_稱(chēng)之為的一個(gè)基本解組。7、若是常系數(shù)線性方程組的基解矩陣，則expAt =_。8、滿足_的點(diǎn)（），稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)。9、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部_時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為_(kāi)。二、計(jì)算題（共6小題，每題10分）。1、求解方程：=2、 2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過(guò)點(diǎn)（0，0）的一切解4、求解常系數(shù)線性方程：5、試求方程組的一個(gè)

13、基解矩陣，并計(jì)算6、試討論方程組 （1）的奇點(diǎn)類(lèi)型，其中a,b,c為常數(shù)，且ac0。三、證明題（共一題，滿分10分）。試證：如果滿足初始條件的解，那么 常微分方程期終試卷(7)一、選擇題1階線性齊次微分方程基本解組中解的個(gè)數(shù)恰好是（ ）個(gè)（A） （B）-1 （C）+1 （D）+22李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的（ ）條件（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非充分3. 方程過(guò)點(diǎn)共有（ ）個(gè)解（A）一 （B）無(wú)數(shù) （C）兩 （D）三4方程（ ）奇解（A）有一個(gè) （B）有兩個(gè) （C）無(wú) （D）有無(wú)數(shù)個(gè)5方程的奇解是（ ）（A） （B） （C） （D）二、計(jì)算題1.x=+

14、y2.tgydx-ctydy=03. 4. 5.三、求下列方程的通解或通積分1.2. 3. 四證明1.設(shè)，是方程的解，且滿足=0，這里在上連續(xù)，試證明：存在常數(shù)C使得=C2在方程中，已知，在上連續(xù)求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切常微分方程期終試卷(8)一、 填空（每空3分）1、 稱(chēng)為一階線性方程，它有積分因子，其通解為。2、函數(shù)稱(chēng)為在矩形域上關(guān)于滿足利普希茲條件，如果 。3、若為階齊線性方程的個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是。4、形如 的方程稱(chēng)為歐拉方程。5、若和都是的基解矩陣，則和具有的關(guān)系：。6、若向量函數(shù)在域上 ，則方程組的解存在且惟一。7、當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)

15、，則當(dāng)其實(shí)部，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為。 二、      求下列方程的解1、 （6分）2、 （8分）3、 （8分）4、 （8分）5、 （6分）6、 （8分）7、 （8分）三、   求方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型和穩(wěn)定性（8分）常微分方程期終試卷(9)一、填空題（每小題5分，本題共30分）1方程的任一解的最大存在區(qū)間必定是2方程的基本解組是3向量函數(shù)組在區(qū)間I上線性相關(guān)的_條件是在區(qū)間I上它們的朗斯基行列式4李普希茲條件是保證一階微分方程初值問(wèn)題解惟一的條件5階線性齊次微分方程的所有解構(gòu)成一個(gè)維線性空間6向量函數(shù)組在其定義區(qū)間上線

16、性相關(guān)的條件是它們的朗斯基行列式，二、計(jì)算題（每小題8分，本題共40分）求下列方程的通解7. 8. 910求方程的通解11求下列方程組的通解三、證明題（每小題15分，本題共30分）12設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)13設(shè)在區(qū)間上連續(xù)試證明方程的所有解的存在區(qū)間必為常微分方程期終試卷(10)一、 填空（30分）1、稱(chēng)為齊次方程，稱(chēng)為黎卡提方程。2、如果在上連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茲條件，則方程存在唯一的解，定義于區(qū)間上，連續(xù)且滿足初始條件，其中，。3、若1，2，是齊線性方程的個(gè)解，為其伏朗斯基行列式，則滿足一階線性方程。4、對(duì)逼卡逼近序列，。5、若和都是的基解矩陣，則和

17、具有關(guān)系。6、方程有只含的積分因子的充要條件是。有只含的積分因子的充要條件是。7、方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)的解在存在區(qū)間是。二、  計(jì)算（60分）1、 求解方程。解：所給微分方程可寫(xiě)成即有 上式兩邊同除以，得 由此可得方程的通解為 即 2、 求解方程解：所給方程是關(guān)于可解的，兩邊對(duì)求導(dǎo)，有（1） 當(dāng)時(shí)，由所給微分方程得；（2） 當(dāng)時(shí)，得。因此，所給微分方程的通解為， （為參數(shù)）而是奇解。3、 求解方程解：特征方程，故有基本解組，對(duì)于方程，因?yàn)椴皇翘卣鞲视行稳绲奶亟?，將其代入，得，解之得，?duì)于方程，因?yàn)椴皇翘卣鞲?，故有形如的特解，將其代入，得，所以原方程的通解?、 試求方程組的一個(gè)基解矩陣，并

18、計(jì)算，其中解：，均為單根，設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則由，得,取，同理可得對(duì)應(yīng)的特征向量為，則，均為方程組的解，令，又，所以即為所求基解矩陣。5、 求解方程組的奇點(diǎn)，并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性。解：令，得，即奇點(diǎn)為（2，-3）令，代入原方程組得，因?yàn)?，又由，解得，為兩個(gè)相異的實(shí)根，所以奇點(diǎn)為不穩(wěn)定鞍點(diǎn)，零解不穩(wěn)定。6、 求方程經(jīng)過(guò)（0，0）的第二次近似解。解：，。一、 證明（10分）假設(shè)不是矩陣的特征值，試證非齊線性方程組有一解形如其中，是常數(shù)向量。證：設(shè)方程有形如的解，則是可以確定出來(lái)的。事實(shí)上，將代入方程得，因?yàn)椋裕?（1）又不是矩陣的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解常微分方

19、程期終試卷(11) 一 填空1 稱(chēng)為一階線性方程，它有積分因子 ，其通解為 。2 稱(chēng)為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解 y(x),則經(jīng)過(guò)變換 ，可化為伯努利方程。3若（x）為畢卡逼近序列的極限，則有（x）。4若（i=1,2,n）是齊線形方程的n 個(gè)解，w(t)為其伏朗斯基行列式，則w(t)滿足一階線性方程 。5若（i=1,2,n）是齊線形方程的一個(gè)基本解組，x(t)為非齊線形方程的一個(gè)特解，則非齊線形方程的所有解可表為 。6如果A(t)是n×n矩陣，f(t)是n維列向量，則它們?cè)?atb上滿足 時(shí)，方程組x= A(t) x+ f(t)滿足初始條件x（t）=的解在atb上存在唯一。

20、7若（t）和（t）都是x= A(t) x的 基解矩陣，則（t）與（t）具有關(guān)系：。8若（t）是常系數(shù)線性方程組的 基解矩陣,則該方程滿足初始條件的解=_9.滿足 _的點(diǎn)（），稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)。10當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部_ 時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為 _ 。二計(jì)算題（60分）123求方程經(jīng)過(guò)（0，0）的第三次近似解45若試求方程組的解并求expAt6.求的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類(lèi)型及穩(wěn)定性.三.證明題(10分)設(shè)及連續(xù),試證方程dy-f(x,y)dx=0為線性方程的充要條件是它有僅依賴(lài)與x的積分因子.常微分方程期終測(cè)試卷(12) 一、填空題（30%） 1若y=y1(x)，

21、y=y2(x)是一階線性非齊次方程的兩個(gè)不同解，則用這兩個(gè)解可把其通解表示為 2方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 3連續(xù)是保證方程初值唯一的條件一條積分曲線. 4. 線性齊次微分方程組的一個(gè)基本解組的個(gè)數(shù)不能多于個(gè)，其中， 5二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解,成為其基本解組的充要條件是 6方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件的區(qū)域是 7方程的所有常數(shù)解是 8方程所有常數(shù)解是 9線性齊次微分方程組的解組為基本解組的條件是它們的朗斯基行列式 10階線性齊次微分方程線性無(wú)關(guān)解的個(gè)數(shù)最多為個(gè)二、計(jì)算題（40%） 求下列方程的通解或通積分： 1. 2 3 4 5 三、證明題（30%）1試證明：對(duì)任意及滿足條

22、件的，方程的滿足條件的解在上存在 2設(shè)在上連續(xù)，且，求證：方程的任意解均有3設(shè)方程中，在上連續(xù)可微，且，求證：該方程的任一滿足初值條件的解必在區(qū)間上存在常微分方程期終試卷(13) 一、填空題（30分）1、 方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0有只含x的積分因子的充要條件是（ ），有只含y的積分因子的充要條件是 （ ）。2、 求=f(x,y)滿足的解等價(jià)于求積分方程（y=y+）。3、 方程定義在矩形域R:-2上，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，0）的即位存在區(qū)間是（）。4、 若X(t)(I=1,2,n)是齊線性方程的 n個(gè)解，W(t)為伏朗斯基行列式，則W(t)滿足一階線性方程（(t)+a(t)W(t)=0

23、）。5、 若X(t), X(t) ,X(t)為n階齊線性方程的n 個(gè)解，則它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是（WX(t), X(t) ,X(t)0）。6、 在用皮卡逐步逼近法求方程組=A（t）X+f(x),X(t)=的近似解時(shí)，則）。7、 當(dāng)方程的特征根為兩個(gè)共扼虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部（為零）時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對(duì)應(yīng)的奇點(diǎn)稱(chēng)為（穩(wěn)定中心）。8、 滿足（X(x,y)=0,Y(x,y)=0）的點(diǎn)（x）, 稱(chēng)為方程組的奇點(diǎn)。9、 若都是=A(t)X的基解矩陣，則 具有關(guān)系：（）。10、 形如（x+ax+的方程稱(chēng)為歐拉方程。二、計(jì)算題求下列方程的通解（）、（xy+解：因?yàn)橛忠驗(yàn)樗苑匠逃蟹e分因子：u(x)= 方程兩邊

24、同乘以得：也即方程的解為、解：令，則即從而又故原方程的通解為t為參數(shù)、求方程經(jīng)過(guò)（，）的第三次近似解解：、求的通解解：齊線性方程的特征方程為故齊線性方程的一個(gè)基本解組為，因?yàn)椴皇翘卣鞣匠痰奶卣鞲栽接行稳绲奶亟鈱⒋朐匠?，比較t的同次冪系數(shù)得：故有解之得：，所以原方程的解為：、試求：的基解矩陣解：記A=,又得，均為單根設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為，則由得取同理可得對(duì)應(yīng)的特征向量為：則均為方程組的解令又所以即為所求。、試求的奇點(diǎn)類(lèi)型及穩(wěn)定性解：令，則：因?yàn)?，又由得解之得為兩相異?shí)根，且均為負(fù)故奇點(diǎn)為穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的零解是漸近穩(wěn)定的。7. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，從速度等于零的時(shí)刻起，有一個(gè)和時(shí)間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點(diǎn)又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。試求此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系。解：由物理知識(shí)得：根據(jù)題意：故：即：(*)式為一階非齊線性方程，根據(jù)其求解公式有又當(dāng)t=0時(shí)，V=0，故c=因此，此質(zhì)點(diǎn)的速度與時(shí)間的關(guān)系為：高等數(shù)學(xué)測(cè)試題（十）微分方程部分（答案）一、 選擇題（每小題4分，共20分）1、若 是方程 的兩個(gè)特解，要使 也是解，則 與 應(yīng)滿足的關(guān)系