道路卵形回旋線任意點(diǎn)坐標(biāo)及方位角計(jì)算方法

1、道路卵形回旋線任意點(diǎn)坐標(biāo)及方位角計(jì)算方法葉松林(中南工業(yè)大學(xué)410083【摘要】本文提出了卵形曲線中緩和曲線段上點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算方案,推導(dǎo)了其計(jì)算過程及公式,并附實(shí)例。對(duì)始于高等級(jí)道路的平面卵形曲線的測(cè)設(shè)有重要的指導(dǎo)作用。高等級(jí)公路,特別是高速公路的平面線形設(shè)計(jì)形式很多,但歸根結(jié)底,它們都由直線、圓和緩和曲線(我國公路路線設(shè)計(jì)規(guī)范中規(guī)定回旋線或稱菲涅爾螺旋線為緩和曲線線形等公路平面線形要素組合而成。各種平面線形設(shè)計(jì)形式,如基本形、卵形、S 形、C 形等等,對(duì)高速公路更加適應(yīng)汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)的行車軌跡,消除曲率突變,增進(jìn)線形美觀及行車舒適感、安全感都有極其重要的意義,但同時(shí),也使曲線計(jì)算及野外測(cè)設(shè)更為復(fù)雜

2、。本文針對(duì)在高速公路設(shè)計(jì)實(shí)際中出現(xiàn)的卵形曲線,推導(dǎo)了緩和曲線段點(diǎn)位坐標(biāo)計(jì)算方法及公式,為現(xiàn)場(chǎng)測(cè)設(shè)人員提供了有效的計(jì)算方案和測(cè)設(shè)指導(dǎo)。一、回旋線的基本特征及坐標(biāo)計(jì)算回旋線上,任意一點(diǎn)的曲率半徑與該點(diǎn)至曲線起點(diǎn)的曲線長l 之積為一常數(shù)(圖1即l =A 2(1或A =l式中,A 2為回旋曲線常數(shù),表征回旋曲線曲率變化緩急程度的量,稱A 為回旋曲線參數(shù)。1.回旋曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算由圖1(曲線右旋,取回旋線的起始點(diǎn)ZH 處的切線方向?yàn)閤 軸,法線方向?yàn)閥 軸,任意一點(diǎn)的切線方向方位角為緩和曲線角。在緩和曲線上對(duì)任意一點(diǎn)P 取微分d l =d d x =d l co s d y =d l sin 考慮

3、式(1對(duì)或l 在區(qū)間0,或0,l 上積分后有下列關(guān)系式成立:l 2=2A 2(2x =A2(1-210+4216-69360+(3y =23A (1-214+4440-625200+(4或者x =l -l3402+l534564-(5y =l26-l 43363+l6422405- (6圖1對(duì)于公路平面線形的基本形,其緩和曲線始于直線終于圓曲線,故緩和曲線的曲率半徑變化于R (圓曲半徑。設(shè)緩和曲線段長度為l s ,則l =R l s =R l s lx =l -l 540R 2l 2s (7y =l 36R l s -l 7336R 3l 3s(82.回旋線的幾何要素見圖1,回旋線的幾何要素計(jì)

4、算公式如下:任意點(diǎn)P 處的曲率半徑(由式(1和式(2=A 2l =l2=A2(9P 點(diǎn)的回旋曲線長l =A2=2=A 2(10P 點(diǎn)的緩和曲線角(切線方位角,由(9式=12=l 22A 2=A 222=190(°(1162測(cè)繪通報(bào)1999年第3期上面導(dǎo)出了當(dāng)參數(shù)分別為和l 時(shí)的右旋緩和曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)和幾何要素公式。顯然,緩和曲線左旋時(shí)(圖2,與右旋相比,x 坐標(biāo)公式一致,而y 、反號(hào)。若令sign =±1,緩和曲線右旋時(shí)取sign =1,左旋時(shí)取sign =-1,則坐標(biāo)和方位角等符號(hào)量可統(tǒng)一表示為:x = xy =sign y=sign (12圖23.回旋曲線的基本特征

5、1.幾何特性。回旋曲線隨著曲線長度的增加,曲率按線性函數(shù)增加。起點(diǎn)處l =0,曲率l =0,終點(diǎn)處l =l s ,曲率l p =常數(shù)。2.相似性?；匦€的形狀只有一種,回旋曲線參數(shù)A 即為放大系數(shù)。二、卵形曲線形式及其緩和曲線段坐標(biāo)計(jì)算按直線緩和曲線(A 1圓曲線(R 1緩和曲線圓曲線(R 2緩和曲線(A 2直線的順序組合構(gòu)成的平面線形形式(R 1R 2,稱為卵形曲線(圖3。卵形曲線中,顯然圓曲線緩和曲線圓曲線段的緩和曲線坐標(biāo)計(jì)算是新的課題,它成為整個(gè)卵形曲線計(jì)算的瓶頸。解決了這個(gè)問題,其他平面線形形式的曲線坐標(biāo)計(jì)算也就迎刃而解了。圖3解決問題的關(guān)鍵在于對(duì)兩圓曲線之間的緩和曲線的正確認(rèn)識(shí):(

6、1兩不等圓曲線之間的緩和曲線仍是回旋線;(2該回旋線是沒有起點(diǎn)(=0的回旋線段。于是,解決問題的方案是:第一,仍須確定哪端為回旋曲線的起點(diǎn)(=0端;第二,假定緩和曲線起點(diǎn)而套用平面曲線基本形計(jì)算回旋曲線任意一點(diǎn)坐標(biāo)及其方位角;第三,坐標(biāo)變換為大地(或施工區(qū)坐標(biāo)形式,而這正是高效測(cè)設(shè)曲線的現(xiàn)代發(fā)展所需要的坐標(biāo)形式。我們知道,回旋曲線起點(diǎn)處曲率半徑=,隨著離曲線起點(diǎn)的曲線長度增加,。因此,卵形曲線兩圓之間回旋線的起點(diǎn)必在相接圓半徑較大的圓曲線那一端。由此再確定回旋線的右或左旋形式以確定獨(dú)立坐標(biāo)公式(sign 的值的使用。根據(jù)回旋線上特征點(diǎn)的已知大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo),可計(jì)算出坐標(biāo)變換參數(shù),從而得到回旋

7、線上任意一點(diǎn)的大地坐標(biāo)及其切向、法向方位角。以圖3為例,因?yàn)镽 1>R 2,可見回旋線的起點(diǎn)在R 1圓曲線的那一端,顯然,該回旋線右旋。設(shè)回旋曲線起點(diǎn)為O ,起點(diǎn)處切線方向?yàn)閤 軸,法線方向?yàn)閥 軸,建立獨(dú)立坐標(biāo)系。O 2YH 弧長:l 1=A 2R 1O 2H Y 弧長:l s =l 1+l 0=A 2R 2這里,l 0=l YH 2H Y 為緩和曲線段長度。緩和曲線上任意點(diǎn)P 至起點(diǎn)O 的弧長為l =l 1+l 這里,l 為P 至圓緩點(diǎn)YH 的弧長。將l 1,l s ,l 分別替代l 代入式(7、式(8得到圓緩點(diǎn)YH 、緩圓點(diǎn)H Y 、任意點(diǎn)P 獨(dú)立坐標(biāo)系坐標(biāo)x YH ,y YH ,

8、x H Y ,y H Y ,x P ,y P (注意,計(jì)算時(shí)式中R =R 2。設(shè)獨(dú)立坐標(biāo)系xOy 原點(diǎn)O 的大地坐標(biāo)為(X 0,Y 0,x 軸的大地方位角為0,由YH 、H Y 點(diǎn)的大地坐標(biāo)和獨(dú)立坐標(biāo)可分別反算直線YH 2H Y 的坐標(biāo)方位角1,2,則0=1-2(13于是,獨(dú)立坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)P (x ,y 的大地坐標(biāo)X ,Y 為X =X 0+x co s 0-y sin 0(14Y =Y 0+x sin 0+y co s 0(15這里,X 0,Y 0可由點(diǎn)YH 或H Y 已知坐標(biāo)數(shù)據(jù)(大地、獨(dú)立用上兩式求得。P 點(diǎn)切線大地方位角=0+sign (16法線大地方位角721999年第3期測(cè)繪通報(bào)

9、三、算例廣東某高速公路一段卵形曲線設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)的特征點(diǎn)大地坐標(biāo)見表1,緩和曲線參數(shù)A =300,緩和曲線長度l 0=157.50m ,兩相接圓曲半徑見圖4。求緩和曲線內(nèi)兩里程樁號(hào)點(diǎn)的大地坐標(biāo)及法向方位角。表1部分設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)點(diǎn)號(hào)里程樁號(hào)X mY m其他數(shù)據(jù)交點(diǎn)( 圖4簡(jiǎn)要計(jì)算如下:因R 2>R 1,可見回旋線起點(diǎn)在R 2端且左旋(sign =-1,建立獨(dú)立坐標(biāo)系如圖4。則l 1=A 2R 2=30ml s =l 1+l 0=A 2 R 1=187.50m由此代入式(7、式(8并注意到R =R 1=480得H Y ,YH 點(diǎn)獨(dú)立坐標(biāo)為x H Y =30y H Y =-0.05x YH =186.7

10、85y YH =-12.174由直線H Y 2YH 的大地方位角1和獨(dú)立方位角2得獨(dú)立坐標(biāo)軸x 的大地方位角=1-2=138°5105則X 0=4094.145Y 0=3901.605于是緩和曲線上點(diǎn)K 0+420處、K 0+380處坐標(biāo)與方位角數(shù)據(jù)可得K 0+420:(l =l 1+484.93-420=94.93x =94.906y =-1.584=2°5206X =4023.723Y =3965.247=45°5859K 0+380:(l =l 1+484.93-380=134.93x =134.792y =-4.546=5°4743X =3995

11、.637Y =3993.723=43°0322四、結(jié)束語卵形曲線中兩圓曲之間的緩和曲線段是螺旋回旋線不含起點(diǎn)的一部分。其上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算仍可套用平面線形基本形中的緩和曲線點(diǎn)的坐標(biāo)公式。本文給出的卵形曲線中緩和曲線段任一點(diǎn)的坐標(biāo)特別是大地坐標(biāo)及其法向方位角的解算方案及公式,既解決了測(cè)設(shè)數(shù)據(jù)的數(shù)值計(jì)算問題,又適應(yīng)了野外測(cè)設(shè)使用大地坐標(biāo)設(shè)站靈活性強(qiáng)、效率高、節(jié)省外業(yè)工作量的現(xiàn)代發(fā)展趨勢(shì)。使用可編程的便攜機(jī)非常方便快捷。參考文獻(xiàn)(上接第25頁管理,能進(jìn)行圖表的自動(dòng)生成。(4適用于復(fù)雜形狀、復(fù)雜環(huán)境的鋼結(jié)構(gòu)安裝測(cè)量。四、結(jié)束語鋼結(jié)構(gòu)施工中,很重要的一點(diǎn)就是要將鋼柱的頂部和底部高精度地放樣在設(shè)計(jì)的點(diǎn)位上,而且要求迅速、可靠,不影響施工進(jìn)度。經(jīng)典的經(jīng)緯儀加鋼尺測(cè)量法是目前鋼結(jié)構(gòu)測(cè)量校正所采用的普遍方法,其原理簡(jiǎn)單、直觀,容易被大多數(shù)人所接受,但細(xì)部放線工作較多,工作量較大,對(duì)現(xiàn)場(chǎng)的通視條件要求較高,不僅耗費(fèi)大量的人力、物力,而且效率較低。在高