高等數(shù)學(xué)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1、，定義域?yàn)槠矫嫔夏骋粋€(gè)平面域幾何上為空間一張曲面。2、二元函數(shù)極限P186例1、討論函數(shù)極限是否存在。解：而 在(0,0)極限不存在. 3、連續(xù)P187第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)定義：處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作：即： 同理：存在，稱(chēng)可導(dǎo)。例1、解：例2、P188，例5，6設(shè) 解：2、高階偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)，則第三節(jié) 全微分如 可微全微分可導(dǎo)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)可微例3、設(shè) 則 例4、由方程 確定在點(diǎn)全微分第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理：P25z = f (u . v) u = u ( x . y.) v = v ( x . y ) z = f ( u , v

2、) = F ( x . y ) , 例5、設(shè)z = ( 1 + x2 + y2 )xy求解： 例5.15解，例7、 ，其中可微，則 例8、,可微，則例9、設(shè)，求證 證：令則 例10、設(shè)，其中二階可導(dǎo)，具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 求解： 例11、設(shè)，試將方程 變換成以 , 為自變量的方程，其中函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。解： 于是方程變?yōu)椋旱谖骞?jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式確定了 求(1)方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，注意，可求得 方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)，注意，可求得(2)利用公式 (3)兩邊微分用(2)，(3)需具體方程給出，容易例12、設(shè) 由方程，求解法一、在方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，注意解法二、設(shè)解法三、在方程兩邊微分 即 例13

3、、設(shè) 由方程確定，其中可微則例14、已知方程定義了，求解： （或方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意）在方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，在(1) 式兩邊對(duì)x求導(dǎo)法二： 例15、習(xí)題7設(shè)，其中，都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求解：在，兩邊對(duì)求導(dǎo)，設(shè) 例16、P200，例：5.20第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1、 空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)與法平面曲線(xiàn)L：（）（）曲線(xiàn)L在M0點(diǎn)處切線(xiàn)方程為：或例17、P204，例5.24，例5.25例5.25 法二在兩邊微分在點(diǎn)取切線(xiàn)方程例19、求曲線(xiàn)點(diǎn)處切線(xiàn)方程解：法一 代入得切線(xiàn)方程：2、空間曲面的切平面與法線(xiàn)曲面方程：則曲面在點(diǎn)處切平面方程：如曲面方程則切平面方程：法線(xiàn)方程：例20、曲面在（2，1，3）處的法線(xiàn)方程 例21、P203，例5.22例22、曲線(xiàn) 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(diǎn)處的指向外側(cè)單位法向量是例23、證明：曲面的切平面與坐標(biāo)軸所圍成的四面體體積為常數(shù)證：設(shè)切點(diǎn)為 曲面在M(x0，y0，z0)處切平面：即即四面體體積第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)：，可微 ,方向?qū)?shù)： 或：如則分析：設(shè)：則設(shè)：為函數(shù)在處梯