軸對(duì)稱圖形及性質(zhì)及應(yīng)用

1、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)及應(yīng)用如果把一個(gè)圖形沿著某一條直線對(duì)折過來，在直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸，能夠重合的點(diǎn)互為對(duì)稱點(diǎn)軸對(duì)稱圖形具有以下的性質(zhì)：（1）軸對(duì)稱圖形的兩部分是全等的；（2）對(duì)稱軸是連結(jié)兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段的垂直平分線在幾何證題、解題時(shí)，如果是軸對(duì)稱圖形，則經(jīng)常要添設(shè)對(duì)稱軸以便充分利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)譬如，等腰三角形經(jīng)常添設(shè)頂角平分線；矩形和等腰梯形問題經(jīng)常添設(shè)對(duì)邊中點(diǎn)連線和兩底中點(diǎn)連線；正方形，菱形問題經(jīng)常添設(shè)對(duì)角線等等另外，如果遇到的圖形不是軸對(duì)稱圖形，則常選擇某直線為對(duì)稱軸，補(bǔ)添為軸對(duì)稱圖形，或?qū)⑤S一側(cè)的圖形通過翻折反射到另一側(cè)，以實(shí)現(xiàn)條件

2、的相對(duì)集中例1已知直線外有一定點(diǎn) ，試在上求兩點(diǎn)，使（定長(zhǎng)），且最短分析：當(dāng)把點(diǎn)沿方向平移至（如圖1），使，那么問題就轉(zhuǎn)化為在上求一點(diǎn)，使為最短作法：過作，使，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)交于B在上作，點(diǎn)，為所求之兩點(diǎn)證：在上另任取，連PA，則，又為平行四邊形， ，PAPB例2如圖2，ABC中，為A外角平分線上一點(diǎn)，求證：PBPCABAC分析：由于角平分線是角的對(duì)稱軸，作AC關(guān)于AP的軸對(duì)稱圖形AD，連結(jié)DP，CP，則DPCP，BDABAC這樣，把 ABAC，AC，PB，PC集中到BDP中，從而由PBPDBD，可得PBPCABAC證：（略）點(diǎn)評(píng)：通過變?yōu)檩S對(duì)稱圖形后，起到相對(duì)集中條件的作用，又有將折線

3、化直的作用（如ABAC化直為BD）例3等腰梯形的對(duì)角線互相垂直，且它的中位線等于，求此梯形的高解：如圖3設(shè)等腰梯形ADBC，ABDC，對(duì)角線AC與BD相交于O，且ACBD，中位線EFm.過AD，BC的中點(diǎn)M，N作直線，由等腰梯形ABCD關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱圖形，O點(diǎn)在MN上，且OAOD，OBOC，AMDM，BNCN又 ACBD，故AOD和BOC均為等腰直角三角形2OMAD，2ONBCADBC2EF2m，2OM2ON2mOMON，即梯形高M(jìn)N例4凸四邊形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的四條邊上求證：EFGH的周長(zhǎng)不小于證：如圖4，連結(jié)AA2，EE3正方形ABCD和正方形A1BCD

4、1關(guān)于BC對(duì)稱；EFGH和E1FG1H1關(guān)于BC對(duì)稱；A1BCD1和A2B1CD1關(guān)于 CD1對(duì)稱；E1FG1H1和 E2F1G1H2關(guān)于CD1對(duì)稱；A2B1CD1和A2B2C1D1關(guān)于A2D1對(duì)稱，E2F1G1H2和E3F2G2H2關(guān)于A2D1對(duì)稱，又例5如果一個(gè)四邊形關(guān)于它的兩組對(duì)邊中點(diǎn)的兩條連線成軸對(duì)稱，則此四邊形為矩形已知：如圖5四邊形ABCD中，M，F(xiàn)，N，E分別為各邊的中點(diǎn)，且MN，EF為它的對(duì)稱軸求證：ABCD是矩形分析：欲證ABCD是矩形，首先證明它是平行四邊形，再證明它有一個(gè)直角即可證：四邊形ABCD關(guān)于EF成軸對(duì)稱，DCEF，ABEF， ABDC同理ADBCABCD是平行四

5、邊形DCAB又，DEAF，ADEF為平行四邊形ADEF，而DEEF，DEAD，DABCD是矩形軸對(duì)稱應(yīng)用舉例山東徐傳軍生活中很多圖形的形狀都有一個(gè)共同的特性軸對(duì)稱在日常生活中利用軸對(duì)稱的性質(zhì)能解決很多問題，下面舉例說明一、確定方向例1如圖1，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形的彈子球臺(tái)面，有黑白兩球分別位于E、F兩點(diǎn)的位置，試問，怎樣撞擊黑球E，才能使黑球先碰撞臺(tái)邊DC，反彈后再擊中白球F ？解：作E點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)E，連接FE，與CD的交點(diǎn)P即為撞擊點(diǎn)，點(diǎn)P即為所求例2如圖2，甲車從A處沿公路L向右行駛，乙車從B處出發(fā)，乙車行駛的速度與甲車行駛的速度相同，乙車要在最短的時(shí)間追上甲車，請(qǐng)問乙車行駛的

6、方向？解：作AB的垂直平分線EF，交直線L于點(diǎn)C，乙車沿著BC方向行駛即可二、確定點(diǎn)的位置找最小值例3如圖3，ABCD，ACCD，在AC上找一點(diǎn),使得BE+DE最小解：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B,連接DB，交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)E就是要找的點(diǎn)例4如圖4，點(diǎn)A是總郵局，想在公路L1上建一分局D，在公路L2上建一分局E，使AD+DE+EA的和最小解：作點(diǎn)A關(guān)于L1和L2的對(duì)稱點(diǎn)B、C連接BC，交L1于點(diǎn)D，交L2于點(diǎn)E點(diǎn)D、E就是要找的點(diǎn)三、與其他學(xué)科結(jié)合唐朝某地建造了一座十佛寺，竣工時(shí)，太守在廟門右邊寫了一副上聯(lián)“萬瓦千磚百匠造成十佛寺”，望有人對(duì)出下聯(lián)，且表達(dá)恰如其分，你能對(duì)出下聯(lián)來嗎?對(duì)聯(lián)中有數(shù)字萬

7、、千、百、十，幾個(gè)月過去了，無人能對(duì)，有個(gè)文人李生路過，感覺廟前沒有下聯(lián)不像話，十分感慨一連幾天在廟前苦思冥想，未能對(duì)出下聯(lián)，有次在廟前散步，望見一條大船由遠(yuǎn)而來，船夫正使勁的搖櫓，這時(shí)李生突發(fā)靈感，對(duì)出了下聯(lián)“一舟二櫓四人搖過八仙橋”太守再次路過此廟時(shí)，看到下聯(lián)，連連稱贊“妙妙妙”這副對(duì)聯(lián)數(shù)字對(duì)數(shù)字，事物對(duì)事物，對(duì)稱美如此的和諧可見，對(duì)稱美在文學(xué)方面也有生動(dòng)深刻的體現(xiàn)生活中的軸對(duì)稱無處不在,只要你善于觀察,將會(huì)發(fā)現(xiàn)其間所蘊(yùn)涵的豐富的文化價(jià)值和對(duì)稱美給人帶來的回味無窮的享受用軸對(duì)稱解實(shí)際問題山東 于秀坤在我們實(shí)際生活中，許多問題設(shè)計(jì)到軸對(duì)稱的應(yīng)用，下面介紹幾例.例1要在河岸所在直線l上修一水泵

8、站，分別向河岸同側(cè)的A、B兩村送水，請(qǐng)你設(shè)計(jì)水泵站應(yīng)修在何處，所用管道最短？分析：設(shè)水泵站修在C點(diǎn)，此題的實(shí)質(zhì)是求折線AC+BC的最短長(zhǎng)度，可作出A點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A，如圖1，根據(jù)對(duì)稱性，AC+BC=AC+BC，所以連結(jié)BA交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C便是水泵站的位置，因?yàn)榇藭r(shí)折線長(zhǎng)AC+CB化成線段AB的長(zhǎng)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的道理便可確定點(diǎn)C是水泵的位置 圖1 圖2例2如圖2，角形鐵架MON小于60°，A、D是OM、ON上的點(diǎn)，為實(shí)際應(yīng)用的需要，須在OM和ON上各找點(diǎn)B、C，使AB+BC+CD最小，問應(yīng)如何找？分析：學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱，可以利用對(duì)稱性化折為直的道理，分別作出點(diǎn)A、點(diǎn)D關(guān)于

9、ON、OM的對(duì)稱點(diǎn)A、D，連結(jié)AD與ON、OM交于B、C，則點(diǎn)B、C便是所求的點(diǎn)例3如圖3，EFGH是一個(gè)長(zhǎng)方形的彈子球臺(tái)面，有黑白兩球分別位于A、B兩點(diǎn)的位置（1）試問：怎樣撞擊黑球A，使黑球A先碰撞臺(tái)邊EF反彈后再撞擊白球B？（2）怎樣撞擊黑球A，使黑球先碰撞臺(tái)邊GH反彈后再擊臺(tái)邊EF，最后擊白球B？ 圖3分析：利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，分別作出B點(diǎn)關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于HG的對(duì)稱點(diǎn)，問題得解解：（1）作點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB交EF于C點(diǎn)，則沿AC撞擊A，球A必沿BC反彈擊中白球B（如圖4）圖4 圖5（2）如圖5，作法類似（1）例4如圖5，小河邊有兩個(gè)村莊，要在河對(duì)岸建一自來水廠向A

10、村與B村供水，要符合條件：（1）若要使廠部到A、B的距離相等，則應(yīng)選在哪兒？（2）若要使廠部到A村、B村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？ 圖5 圖6 圖7解：（1）如圖6，取線段AB的中點(diǎn)G，過中點(diǎn)G作AB的垂線,交EF于P，則P到A、B的距離相等（2）如圖7，作點(diǎn)A關(guān)于河岸EF的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AB交EF于P，則P到A、B的距離和最短用軸對(duì)稱知識(shí)解決打臺(tái)球一題山東于秀坤題目：小強(qiáng)和小勇利用課本上學(xué)過的知識(shí)來進(jìn)行臺(tái)球比賽（1）小強(qiáng)把白球放在如圖1所示的位置，想通過擊打白球撞擊黑球，使黑球撞AC邊后反彈進(jìn)F洞；想想看小強(qiáng)這樣擊打，黑球能進(jìn)F洞嗎？請(qǐng)畫圖的方法驗(yàn)證你的判斷，并說明理由 圖1（2）小勇想

11、通過擊打白球撞擊黑球，使黑球至多撞臺(tái)球桌邊一次后進(jìn)A洞，請(qǐng)你猜想小勇有幾種方案？并分別在下面的臺(tái)球桌上畫出示意圖，解釋你的理由分析：本題是一道操作型探究題，主要根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)的有關(guān)進(jìn)行探究第(1)題可以通過擊打AC邊使球反彈進(jìn)F洞第(2)題有多種方法擊球入洞需要對(duì)每一桿的角度進(jìn)行適當(dāng)?shù)墓浪悖瑢?shí)質(zhì)上等同于幾何角度的計(jì)算，二者有著密切的關(guān)系要想至多撞臺(tái)球桌邊一次擊黑球于F洞方案可以有以下情況：(1)不擊臺(tái)球桌邊，直接用白球撞擊黑球;(2)通過白球擊CF邊反彈再撞擊黑球進(jìn)A洞；(3)用白球撞擊DF邊反彈撞擊黑球進(jìn)F洞要想準(zhǔn)確撞擊黑球，必須找準(zhǔn)擊球的方向角度，準(zhǔn)確估算擊球的方向在數(shù)學(xué)上，可以借助軸對(duì)

12、稱的知識(shí)來解決問題解: (1)如圖2，將白球與黑球視為兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)畫直線交臺(tái)球桌邊AC于M，過點(diǎn)M作法線MNAC，在MN右側(cè)FMN=PMN，由于射線MF過F洞，知黑球經(jīng)過一次反彈后必進(jìn)入F洞 圖2（2）方案1：如圖3，視白球、黑球?yàn)閮牲c(diǎn)P，G，使A、G、P在同一直線上方案2：如圖4，延長(zhǎng)AC到H點(diǎn)，使AC=CH，連接GH交FC于點(diǎn)K，根據(jù)軸對(duì)稱的知識(shí)可知，用白球沿GK方向撞擊邊CF反彈后可進(jìn)行A洞方案3：如圖5，延長(zhǎng)AD到M點(diǎn)，使MD=AD，連結(jié)GM交DF于N，根據(jù)軸對(duì)稱知識(shí)可知，沿GN方向用白球撞擊黑球經(jīng)反彈后可進(jìn)入A洞 圖3 圖4 圖5最 短 線 路 問 題河北 歐陽慶紅 吳立穩(wěn)同學(xué)們，

13、對(duì)于最短線路問題你一定很陌生吧?運(yùn)動(dòng)著的車、船、飛機(jī)，包括人們每天走路都要遇到這樣的問題古今中外的任何旅行者總希望尋求最佳的旅行路線，盡量走近道，少走冤枉路我們把這類求近道的問題統(tǒng)稱最短線路問題另外，從某種意義上說，一筆畫問題也屬于這類問題，這類問題在生產(chǎn)、科研、生活中應(yīng)用廣泛請(qǐng)同學(xué)們看下面幾個(gè)生活中的最短線路問題一、兩點(diǎn)一線問題例1 如圖1，某同學(xué)打臺(tái)球時(shí)想繞過黑球，通過擊黑球A，使主球A撞擊桌邊MN后反彈，來擊中白球B請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)明，黑球撞在MN上哪一點(diǎn)才能達(dá)到目的？(以球心A、B來代表兩球)?MNP圖1BA分析：要撞擊黑球A，使黑球A先撞擊臺(tái)邊MN上的P點(diǎn)后反彈擊中白球B，需APN=BPM

14、，如圖2，可作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AB交MN于點(diǎn)P，則P點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)作法:（圖2）：作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A；連結(jié)AB，交MN于P則經(jīng)AP撞擊臺(tái)邊MN，必沿P B反彈擊中白球B點(diǎn)P就是所要求的點(diǎn)BBAMNAP圖2說明：本題黑球A，白球B在MN的同側(cè)，直接確定撞擊點(diǎn)的位置不容易，但若A、B在MN的異側(cè)，擊球路線就容易確定了本題可利用軸對(duì)稱的特征將A點(diǎn)轉(zhuǎn)化到MN的另一側(cè)，設(shè)為A，連接AB即可確定撞擊點(diǎn)二、一點(diǎn)兩線問題 小島小島觀測(cè)點(diǎn)圖3例2 在一條大的河流中有一形如三角形的小島（如圖3），岸與小島有一橋相連現(xiàn)準(zhǔn)備在小島的三邊上各設(shè)立一個(gè)水質(zhì)取樣點(diǎn)水利部門在岸邊設(shè)立了一個(gè)觀測(cè)站，每天有專

15、人從觀測(cè)站步行去三個(gè)取樣點(diǎn)取樣，然后帶回去化驗(yàn)請(qǐng)問，三個(gè)取樣點(diǎn)應(yīng)分別設(shè)在什么位置，才能使得每天取樣所用時(shí)間最短(假設(shè)速度一定)? 分析：此題要求時(shí)間最短，而速度一定，所以可轉(zhuǎn)化為求最短路程如圖4，小橋DE為必走之路，所以容易得到D為BC邊上的取樣點(diǎn)關(guān)鍵是確定另外兩邊上的取樣點(diǎn)，這是線段之和最小的問題，我們的想法是將三條線段拼起來，關(guān)于線段最短，我們有“兩點(diǎn)之間，線段最短”，利用對(duì)稱便可使問題得到解決 NFBCADEGM圖4解析：如圖4，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F；點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)G， 連接FG，交AB于M，交AC于ND、M、N即所求三個(gè)取樣點(diǎn)（請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍C一證）三、同類變式例3 某班舉行文

16、藝晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了糖果，BO桌面上擺滿了桔子，坐在C處的學(xué)生小亮先拿糖果再拿桔子，然后回到座位，請(qǐng)你幫他設(shè)一條行走路線，使其所走的總路程最短？分析：此題是軸對(duì)稱的特殊應(yīng)用，需分兩種情況討論： AOB小于90°；AOB等于90°。 ABOC圖7AOBCDEFG圖6OBC圖5A解析：如圖6，AOB小于90°1作點(diǎn)C關(guān)于AO的對(duì)稱點(diǎn)D，作點(diǎn)C關(guān)于BO的對(duì)稱點(diǎn)E；2連接DE交AO于F，交BO于G；則小亮的行走路線為C F G C如圖7，AOB等于90°，此時(shí)從點(diǎn)C沿直線走到O處，再直線返回C處四、拓展引申例4 如圖8所

17、示，甲、乙兩個(gè)單位分別位于一條封閉街道兩旁，現(xiàn)準(zhǔn)備合作修建一座過街天橋問：橋建在何處才能使甲到乙的路線最短？（橋必須與街道垂直）甲B橋A乙封閉街道圖8分析：此題的關(guān)鍵是要想辦法把中間的一段“橋”去掉，然后連結(jié)甲、乙之間線段，其中要用到軸對(duì)稱的性質(zhì)解析：（1）作封閉街道中線（即過街道的中點(diǎn)，平行于街道的直線）a，（2） 作B關(guān)于a的對(duì)稱點(diǎn)B；（3）連結(jié)AB，作線段AB的垂直平分線a；（4）設(shè)a交街道靠近A點(diǎn)的一側(cè)于P點(diǎn)；（5）過點(diǎn)P作垂直于街道的天橋PQPQ即為所求（如圖9）說明： 你能應(yīng)用軸對(duì)稱知識(shí):證明所選的點(diǎn)P于點(diǎn)Q構(gòu)成的是最短路線嗎？aaBAQPB圖9軸對(duì)稱在建筑布局中的應(yīng)用山東孫新東同

18、學(xué)們都知道四合院吧，四合院在我國是一種比較有特色的建筑形式，這種建筑的布局是以南北縱軸對(duì)稱布置和封閉獨(dú)立的院落為基本特征的其實(shí)，不止是四合院，建筑上的很多布局問題都要用到軸對(duì)稱的知識(shí)下面舉幾個(gè)例子： 圖1例1如圖1，某市有一塊由三條馬路圍成的三角形綠地，現(xiàn)準(zhǔn)備在其中建一涼亭供人們小憩，使涼亭中心到三條馬路的距離相等，試確定涼亭的中心位置分析：由于涼亭中心到三條馬路的距離相等，則涼亭的中心應(yīng)在三條馬路所圍成的三角形的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處 解：畫出三角形三內(nèi)角平分線，它們的交點(diǎn)即為涼亭的中心ABl圖3CABl圖2例2如圖2，在鐵路的同側(cè)有，兩個(gè)工廠，要在鐵路邊建一個(gè)貨場(chǎng)，貨場(chǎng)應(yīng)建在什么地方，才能

19、使，兩廠到貨場(chǎng)的距離之和最短分析：不妨假設(shè)，在的異端，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”的結(jié)論，只要連接，和的交點(diǎn)就是所要確定的點(diǎn)，而本題，兩個(gè)工廠在的同側(cè)，所以很容易想到把“同側(cè)”轉(zhuǎn)化為“異側(cè)”解：（1）找點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)（2）連結(jié)，交于，則點(diǎn)就是要在路邊建的貨場(chǎng)的最合適的地點(diǎn)（見圖3）ABC圖4例3 如圖4，是兩條公路，在兩條公路夾角的內(nèi)部有一油庫，現(xiàn)在想在兩條公路上建兩個(gè)加油站，為使運(yùn)油的油罐車從油庫出發(fā)先到一加油站，再到另一加油站，最后回到油庫的路程最短，問兩加油站應(yīng)如何選址分析：上述問題可化為：在銳角內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn),試作一個(gè)三角形,以為一個(gè)頂點(diǎn), 另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在,上，且使其周長(zhǎng)最小解：如圖4，取關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)，連結(jié)，交，于，則，兩點(diǎn)即為所求數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科，也是應(yīng)用學(xué)科在用中學(xué)，在學(xué)中用，只有這樣，才能學(xué)好數(shù)學(xué)，才能提高自己的數(shù)學(xué)水平