振動和波動-w

1、1第七章第七章 振動與波動振動與波動 振動振動任何一個物理量在某一值附近往復變化，任何一個物理量在某一值附近往復變化， 這種現(xiàn)象就叫做振動這種現(xiàn)象就叫做振動振動的一般概念振動的一般概念 周期性振動周期性振動在在 時間時間T內(nèi)運動狀態(tài)能完全重復。內(nèi)運動狀態(tài)能完全重復。 特點特點：有平衡點，且具有重復性。有平衡點，且具有重復性。非周期性振動非周期性振動在在 時間時間T內(nèi)運動狀態(tài)不能完全重復。內(nèi)運動狀態(tài)不能完全重復。 2簡諧振動簡諧振動(諧振動諧振動)：物體振動時，如果離開平衡位置的位移物體振動時，如果離開平衡位置的位移x(或角位移或角位移 )隨時間隨時間t 變化可表示為余弦函數(shù)或正弦函數(shù)變化可表示

2、為余弦函數(shù)或正弦函數(shù))cos(tAx一、彈簧振子的振動一、彈簧振子的振動彈簧振子：彈簧彈簧振子：彈簧物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 平衡位置：振動物體所受合外力平衡位置：振動物體所受合外力 為零的位置為零的位置物體在平衡位置的兩側(cè)，在彈性恢復力和慣性兩個物體在平衡位置的兩側(cè)，在彈性恢復力和慣性兩個因素互相制約下，不斷重復相同的運動過程。因素互相制約下，不斷重復相同的運動過程。3moxF受力受力 F=kx由牛頓第二定律由牛頓第二定律22ddtxmkx 令令mk 2 則則0222 xdtxd 二、彈簧振子的振動方程二、彈簧振子的振動方程簡諧振動微分方程簡諧振動微分方程簡諧振動運動方程簡諧振動運動方程其通解為：其

3、通解為：)cos( tAx 2（1 1）（）（2 2）兩式均為物體作諧振動的特征表述。）兩式均為物體作諧振動的特征表述。 14三三 簡諧振的速度與加速度簡諧振的速度與加速度簡諧運動微分方程的解為簡諧運動微分方程的解為:)cos( tAx速度為速度為:)sin(dd tAtxv)2cos( tvm式中式中vm=A為速度振幅為速度振幅加速度為加速度為:)cos(2tAdtdvaxtam2)cos(式中式中am= 2A 為加速度振幅為加速度振幅5xt.vt,at運動曲線圖如下：運動曲線圖如下：xt/2/otvotoa)cos(tAx)2cos(tvvm)cos(taam可見可見a(t)振動超前振動超

4、前v(t)/2；v(t)振動超前振動超前x(t)/26 一個運動物體，它一個運動物體，它的加速度的加速度 a 與它離開與它離開平衡位置的距離恒成正平衡位置的距離恒成正比而反向比而反向, ,那么此物體那么此物體一定作簡諧振動。一定作簡諧振動。 物體離開平衡位置后，總物體離開平衡位置后，總是受到一個方向指向平衡位置，是受到一個方向指向平衡位置，大小與物體離開平衡位置的距大小與物體離開平衡位置的距離成正比的力的作用，則此物離成正比的力的作用，則此物體一定在作簡諧振動。體一定在作簡諧振動。線性回復力線性回復力運動學特征運動學特征動力學特征動力學特征上述諧振動的特征表述均等價。上述諧振動的特征表述均等價

5、。 簡諧振動特點：簡諧振動特點： (1) (1)等幅振動等幅振動 (2)(2)周期振動周期振動xa2)cos( tAxkxf 7簡諧振動定義（判據(jù)）：簡諧振動定義（判據(jù)）：描述運動的物理量遵從微分方程描述運動的物理量遵從微分方程（或運動方程為（或運動方程為 ）運動學特征運動學特征動力學特征動力學特征廣義振動也廣義振動也適用的判據(jù)。適用的判據(jù)。只適于機械振動只適于機械振動第一個重點：如何判斷物體是否作簡諧振動？第一個重點：如何判斷物體是否作簡諧振動？為維持運動物體所受合外力為維持運動物體所受合外力(物體位移的坐標原點取在其平衡位置處。物體位移的坐標原點取在其平衡位置處。)0222xdtxd)co

6、s(tAxkxf814-2 14-2 描述簡諧振動的特征量描述簡諧振動的特征量-周期、振幅、相位周期、振幅、相位 1 1、周期、周期T-物體完成一次全振動所需時間。物體完成一次全振動所需時間。 物體在單位時間內(nèi)完成振動的次數(shù)。物體在單位時間內(nèi)完成振動的次數(shù)。頻率頻率 T1 角頻率角頻率22TkmT 2 mk 21 對彈簧振子對彈簧振子：mk 2第二個重點問題：如何建立簡諧振動方程？第二個重點問題：如何建立簡諧振動方程？)()(Ttxtx2cos)(cos)cos(tATtAtAx/2T9 2. 2. 振幅振幅 A3. 3. 相位相位 t + 決定振動物體的運動狀態(tài)決定振動物體的運動狀態(tài)諧振動物

7、體離開平衡位置的最大位移的絕對值。諧振動物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。a. ( ( t t + + ) )是是 t t 時刻的相位時刻的相位 b. 是是t t =0=0時刻的相位時刻的相位 初相初相00 xv tan2020)( vxA 則)cos( tAx ( (或或 . .T). ). A 和和 三個特征量確定，則諧振動方三個特征量確定，則諧振動方程就被唯一確定。其中程就被唯一確定。其中 ( (或或 . .T) )由系統(tǒng)本身的性質(zhì)由系統(tǒng)本身的性質(zhì)決定。就是說，知道了三個特征量，即可寫出振動決定。就是說，知道了三個特征量，即可寫出振動方程方程 A 和和 由初條件決定由初條件決定sinc

8、os000AvAxt 時10諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法一、一、 旋轉(zhuǎn)矢量表示法旋轉(zhuǎn)矢量表示法（用幾何方法來表示簡諧振動）（用幾何方法來表示簡諧振動）作一矢量作一矢量A, 使它在使它在oxy平面上繞點平面上繞點o作逆時針勻速作逆時針勻速轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 角速度角速度, 其矢量的端點其矢量的端點M在在x軸上的投影點軸上的投影點P的運動為簡諧運動的運動為簡諧運動.)cos( tAx t =0 時時,矢端在矢端在M0點點t 時刻時刻,矢端在矢端在M點點. M點點的投影點的坐標為的投影點的坐標為 x可見可見,矢量矢量A作勻速轉(zhuǎn)動時作勻速轉(zhuǎn)動時,其端點其端點M在在ox軸上的投影軸上的投影點的運動就是簡

9、諧振動點的運動就是簡諧振動oxyt+ PM0MxA11oxyt+ PM0MxA振幅振幅: :A的大小的大小A初相位初相位:t=0:t=0時刻時刻, , 與與oxox軸夾角軸夾角. .A相位相位:t:t時刻時刻, , 與與oxox軸軸夾角夾角. .A位置位置: :A在在x x軸上投影軸上投影圓頻率圓頻率 : : 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)的角速度的角速度A一次完全振動一次完全振動: : 旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)一周A12簡諧振動的能量簡諧振動的能量（以彈簧振子為例）（以彈簧振子為例）諧振動系統(tǒng)的能量諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能系統(tǒng)的勢能Ep)sin( tAv221mvEk )(sin2122 tkA

10、)cos(tAx221kxEp )(cos2122 tkA諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)tEo4T2T23TT2pk21kAEEE tkAE 22pcos21 tkAE 22ksin21 2pk21kAEEE 13簡諧振動系統(tǒng)的能量特點簡諧振動系統(tǒng)的能量特點: :(1) (1) 動能動能221 mEk )(sin2122 tkA(2) (2) 勢能勢能221kxEp )(cos2122 tkA情況同動能。情況同動能。minmax,ppEE分析：分析：0min kE分析：分析：2max21kAEk (3) (3) 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振

11、動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒14 代數(shù)方法：設(shè)兩個振動具有相同頻率，代數(shù)方法：設(shè)兩個振動具有相同頻率，同一直線上運動，有不同的振幅和初相位同一直線上運動，有不同的振幅和初相位7-2 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 一、兩個一、兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合成同方向、同頻率的簡諧振動的合成)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 結(jié)論：仍然是同方向同頻率仍然是同方向同頻率的簡諧振動。的簡諧振動。合振幅合振幅振動方向相同。振動方

12、向相同。15)cos(212212221AAAAA式中：式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可見：可見：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。2AA1A16 幾何方法幾何方法)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg由余弦定理由余弦定理:17)cos(212212221AAAAA上面得到：上面得到：22112211coscossinsinAAAAarctg討論一：討論一：, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅最大。合振幅最大。當當 稱為干涉相長。稱為干涉相長。 21AA 12AA 2

13、AA1A18討論二：討論二：|21AAA當當 時，時， 稱為干涉相消。稱為干涉相消。21AA 0A2AA1A討論三：討論三：1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般情況：一般情況：19 二、二、 同方向、不同頻率的簡諧振動的合成同方向、不同頻率的簡諧振動的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用三角函數(shù)關(guān)系式：利用三角函數(shù)關(guān)系式：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成振動表達式合成振動表達式： 為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的

14、相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達式分別為：合成。其振動表達式分別為：20合成振動表達式合成振動表達式：2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx 其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動。即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動。 這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象稱為 “ 拍 ”。21與當當 都很大，且相差甚微時，可將都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，視為振幅變化部分，合成振動是以合成振動是以 為角頻率的諧振動。為角頻率的諧振動

15、。2/ )(12| 2/)cos(2|12tA211212)2(212單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻單位時間內(nèi)振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻顯然，拍頻是振動顯然，拍頻是振動 的頻率的兩倍。的頻率的兩倍。即拍頻為兩個分振動頻率之差：即拍頻為兩個分振動頻率之差：)2cos(12t)(txt22四、四、 垂直方向、同頻率簡諧振動的合成垂直方向、同頻率簡諧振動的合成);cos(101tAx)cos(202tAy10101sinsincoscosttAx(1)20202sinsincoscosttAy(2)(1) cos20(2) cos10 :設(shè)一個質(zhì)點同時參與了兩個振動方向相互垂直設(shè)一個質(zhì)點同時參

16、與了兩個振動方向相互垂直的同頻率簡諧振動，即的同頻率簡諧振動，即j yi xr下面消去下面消去 t ，得其軌跡方程：，得其軌跡方程：23221222212sincos2AAxyAyAx)(1020上式是個橢圓方程，具體形狀由上式是個橢圓方程，具體形狀由 相位差相位差 決定。決定。質(zhì)點的運動方向與質(zhì)點的運動方向與 有關(guān)。當有關(guān)。當 時，時，質(zhì)點沿順時針方向運動；當質(zhì)點沿順時針方向運動；當 時，時，質(zhì)點沿逆時針方向運動。質(zhì)點沿逆時針方向運動。2021AA 當當 時，正橢圓退化為圓時，正橢圓退化為圓。(3)、(4)兩式各自兩式各自平方后、相加平方后、相加,得得)sin(sincoscos102010

17、2201tAyAx(3)(1) sin20(2) sin10 :)sin(cossinsin1020102201tAyAx(4)24討論討論1 0)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的運動。直線上的運動。yx221222212sincos2AAxyAyAx25討論討論2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以是在所以是在 直線上的振動。直線上的振動。討論討論32)(10201222212AyAx所以是在所以是在X 軸半軸長為軸半軸長為 ， Y 軸半軸長為軸半軸長為 的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。1A2

18、Ayx21226質(zhì)點的軌道是圓。質(zhì)點的軌道是圓。X和和Y方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向方向的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向。21AA 討論討論5討論討論4所以是在所以是在X軸半軸長為軸半軸長為 ， Y軸半軸長為軸半軸長為 的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。的橢圓方程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。1A2A1222212AyAx23)(10202327討論討論6k21020則為任一橢圓方程。則為任一橢圓方程。32102121020，kk綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓上進行（直線是退化了的橢圓）當兩個分振上進行（直線是

19、退化了的橢圓）當兩個分振動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。動的振幅相等時，橢圓軌道就成為圓。28012412431247452122329五、五、 垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成垂直方向、不同頻率簡諧振動的合成一般是復雜的運動軌道不是封閉曲線，一般是復雜的運動軌道不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動。即合成運動不是周期性的運動。下面就兩種情況討論：下面就兩種情況討論：1、 視為同頻率的合成，不視為同頻率的合成，不過兩個振動的相位差在緩慢地變化，過兩個振動的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點運動的軌道將不斷地從下圖所以質(zhì)點運動的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環(huán)變化。所示圖形依次的循環(huán)變化。0

20、12120212當當 時是順時針轉(zhuǎn)；時是順時針轉(zhuǎn)； 時是逆時針轉(zhuǎn)。時是逆時針轉(zhuǎn)。300124124312474521223312 2、如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有合成運動的軌道是封閉曲線，運動也具有周期。這種運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形。周期。這種運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形。用李薩如圖形在無線電用李薩如圖形在無線電技術(shù)中可以測量頻率：技術(shù)中可以測量頻率：在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入在示波器上，垂直方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所成圖形與已

21、知標準的李薩如圖形去比較，就成圖形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率?？傻弥硪粋€未知的頻率。2:1:yxTT327-3 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振一、阻尼振動一、阻尼振動阻阻尼尼振振動動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動以波的形式向外傳播，使振動能量振動以波的形式向外傳播，使振動能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。33阻尼振動的振動方程阻尼

22、振動的振動方程: :（以摩擦阻尼為例）（以摩擦阻尼為例）運動方程：運動方程：振子受粘性阻力振子受粘性阻力: :vf22dtxdmvkx022022xdtdxdtxd叫阻尼因子叫阻尼因子m2叫固有角頻率叫固有角頻率mk034而而 是積分常數(shù)由初始條件決定是積分常數(shù)由初始條件決定、A角頻率角頻率振幅振幅)cos(tAext22022022T220 a a）欠阻尼）欠阻尼35阻尼振動位移時間曲線阻尼振動位移時間曲線AAtOxtAetcos) 0( TtAe36220 b b）過阻尼）過阻尼）t）teCeCx2/22/221而而 C1，C2 是積分常數(shù)由初始條件決定是積分常數(shù)由初始條件決定37220 c c）臨界阻尼）臨界阻尼otx三種阻尼的比較三種阻尼的比較abc38二、二、 受迫振動受迫振動振動系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下進行的振動。振動系統(tǒng)在周期性外力持續(xù)作用下進行的振動。強迫力強迫力振動周期與周期性振動周期與周期性外力的周期相同外力的周期相同受迫振動振幅的大小，不決定于系統(tǒng)的初始條件，受迫振動振幅的大小，不決定于系統(tǒng)的初始條件，而與振動系統(tǒng)的性質(zhì)而與振動系統(tǒng)的性質(zhì)(固有角頻率、質(zhì)量固有角頻率、質(zhì)量)、阻尼的、阻尼的大小和強迫力的特征有關(guān)。大小和強迫力的特征有