抽象函數(shù)單調性及奇偶性練習及答案參考

1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 1、已知的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足，求證：是偶函數(shù)。 2、已知f(x)是定義在(-,+)上的不恒為零的函數(shù),且對定義域內的任意x,y,f(x)都滿足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性,并說明理由.3、函數(shù)f(x)對任意xyR,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x0時, 0, f(3)=-2.(1)判斷并證明f(x)在區(qū)間(-,+)上的單調性;(2)求f(x)在-3,3上的最大值和最小值.4、已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當且僅當0x1時f(x)0時

2、，f(x)1，且對任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求證：f(0)=1；（2） 求證：對任意的xR，恒有f(x)0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范圍。7、 已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且,當時, 0. (1)求; (2) 判斷函數(shù)的單調性,并證明.8、 函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:對任意,有0;對任意,有;. (1)求的值; (2)求證: 在R上是單調減函數(shù);9、 已知函數(shù)的定義域為R,對任意實數(shù)都有,且當時,. (1)證明:; (2)證明: 在R上單調遞減;10、 函數(shù)對于x0有意義，且滿足條件減函

3、數(shù)。 （1）證明：； （2）若成立，求x的取值范圍。11、 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)0，當x0時，f(x)1，且對任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求證：f(0)=1；（4） 求證：對任意的xR，恒有f(x)0；（3）證明：f(x)是R上的增函數(shù)；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范圍。12、 已知函數(shù),在R上有定義，對任意的有 且（1）求證：為奇函數(shù)（2）若， 求的值13、 已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有且當x0，(1)判斷的奇偶性；(2)求在區(qū)間3,3上的最大值；(3)解關于的不等式14、定義在R上的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)a、b都有f（a+b）+

4、f（ab）=2 f（a）f（b）成立，且。（1）求f（0）的值；（2）試判斷f（x）的奇偶性；15、已知定義在上的函數(shù)滿足：（1）值域為，且當時，；（2）對于定義域內任意的實數(shù)，均滿足：試回答下列問題：（）試求的值；（）判斷并證明函數(shù)的單調性；16、定義域為R的函數(shù)f(x)滿足：對于任意的實數(shù)x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且當x0時f(x)0恒成立.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并證明你的結論；(2)證明f(x)為減函數(shù)；若函數(shù)f(x)在-3，3）上總有f(x)6成立，試確定f(1)應滿足的條件；參考答案1、分析：在中，令，得 令，得于是 故是偶函數(shù)2、解析:(1)f(x)

5、對任意x,y都有 f(xy)=yf(x)+xf(y),令x=y=1,有f(11)=1f(1)+1f(1).f(1)=0,令x=y=-1,有f(-1)(-1)=(-1)f(-1)+(-1)f(-1),f(-1)=0.(2)f(x)對任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 將f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). 函數(shù)f(x)是(-,+)上的奇函數(shù).3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x),設x1x2(-,+)且x1x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1

6、-x2)x1x2,x1-x20. 又x0時,f(x)0.f(x1-x2)0. 即f(x1)-f(x2)0.由定義可知f(x)在區(qū)間(-,+)上為單調遞減函數(shù).(2)f(x)在區(qū)間(-,+)上是減函數(shù),f(x)在-3,3上也是減函數(shù). f(-3)最大,f(3)最小.f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在-3,3上最大值為2,最小值為-2.4、思路分析：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點 證明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)為奇函數(shù)

7、 (2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減 令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0，x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)0時，f(x)10，當x0，f(-x)0又x=0時，f(0)=10對任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，則f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函數(shù)（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上遞增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x2

8、0 0x0, 令得,(2)任取任取,則令,故 函數(shù)的定義域為R,并滿足以下條件:對任意,有0;對任意,有;函數(shù)是R上的單調減函數(shù).9、解： (1)證明:令,則當時,故,當 時, 當時,則 (2)證明: 任取,則,0,故0時，f(x)10，當x0，f(-x)0又x=0時，f(0)=10對任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，則f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函數(shù)（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上遞增由f(3x-x2)f(0)得：3x-x20 0x2時，14、解：（1）令a=b=

9、0則f（0）+ f（0）=2 f（0）f（0）所以2 f（0）f（0）1=0又因為，所以f（0）=1（2）令a=0，b=x，則f（x）+ f（x）=2 f（0）f（x）由f（0）=1可得f（x）= f（x）所以f（x）是R上的偶函數(shù)。15、解：（）在中，令，則有即：也即：由于函數(shù)的值域為，所以，所以（）函數(shù)的單調性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯(lián)想到：是否有？（）這個問題實際上是：是否成立？為此，我們首先考慮函數(shù)的奇偶性，也即的關系由于，所以，在中，令，得所以，函數(shù)為奇函數(shù)故（）式成立所以，任取，且，則，故且所以，所以，函數(shù)在R上單調遞減16、解:（1）由已知對于任意xR，yR，f（x+y

10、）=f（x）+ f（y）恒成立令x=y=0，得f（0+0）= f（0）+ f（0），f（0）=0令x=-y，得f(x-x)= f(x)+ f(-x)=0對于任意x，都有f(-x)= - f(x)f(x)是奇函數(shù).（2）設任意x1，x2R且x1x2，則x2-x10，由已知f（x2-x1）0（1）又f（x2-x1）= f（x2）+ f（-x1）= f（x2）- f（x1）（2）由（1）（2）得f(x1)f(x2),根據(jù)函數(shù)單調性的定義知f(x0在(-，+)上是減函數(shù).f(x)在-3，3上的最大值為f(-3).要使f(x)6恒成立，當且僅當f(-3)6，又f（-3）= - f（3）= - f（2+1）=- f（2）+ f（1）= - f（1）+ f（1）+ f（1）= -3 f（1），f（1）-2.（3） f（ax2）- f（x） f（a2x）- f（a）f（ax2）- f（a2x）nf（x）- f（a）f（ax2-a2x）nf（x-a）（10分）由已知得：fn（x-a）=nf（x-a）f（ax