《現(xiàn)代地理學中的數(shù)學方法》第3章 1 2相關分析方法 回歸分析方法

1、地理系統(tǒng)由各個要素組成，各要素之間存在著相互聯(lián)系、相互影響和相地理系統(tǒng)由各個要素組成，各要素之間存在著相互聯(lián)系、相互影響和相互制約，為了定量地研究各要素之間的數(shù)量關系，常用相關分析法和回互制約，為了定量地研究各要素之間的數(shù)量關系，常用相關分析法和回歸分析法來確定它們之間的關系和性質(zhì)，并概括成數(shù)學模型，進而作出歸分析法來確定它們之間的關系和性質(zhì)，并概括成數(shù)學模型，進而作出地理預測。地理預測。1 地理要素間的相關分析地理要素間的相關分析一、地理相關的意義一、地理相關的意義所謂相關，是指兩個或兩個以上的變量間相互關系是否密切。相關分析所謂相關，是指兩個或兩個以上的變量間相互關系是否密切。相關分析僅限

2、于測定兩個或兩個以上的變量間相關程度和性質(zhì)。而地理相關那么僅限于測定兩個或兩個以上的變量間相關程度和性質(zhì)。而地理相關那么是指應用相關分析法來研究各地理要素間的相互關系和聯(lián)系強度。是指應用相關分析法來研究各地理要素間的相互關系和聯(lián)系強度。在地理系統(tǒng)中，各要素間存在著各種不同的關系。在地理系統(tǒng)中，各要素間存在著各種不同的關系。確定性的關系，即函數(shù)關系，這在地理系統(tǒng)中比較少見，因為很多地理確定性的關系，即函數(shù)關系，這在地理系統(tǒng)中比較少見，因為很多地理要素的變化具有隨機性的緣故；要素的變化具有隨機性的緣故；相關關系，即要素間既存在較密切的關系，但又不能由一個要素的值精相關關系，即要素間既存在較密切的關

3、系，但又不能由一個要素的值精確地求出另一個要素的值確地求出另一個要素的值各要素之間完全沒任何關系。如圖各要素之間完全沒任何關系。如圖51所示：所示：從圖中可以看出，假設設從圖中可以看出，假設設x、y為兩種地理要素。第一種情況，假設為兩種地理要素。第一種情況，假設y嚴格隨嚴格隨x變化而變化，如變化而變化，如(a)所示，所所示，所有觀測點均落在直線或曲線上，那么稱為完全相關或函數(shù)關系；第二種情況，假設觀測點落在直線或曲有觀測點均落在直線或曲線上，那么稱為完全相關或函數(shù)關系；第二種情況，假設觀測點落在直線或曲線兩旁，如線兩旁，如(b)所示，那么稱為統(tǒng)計相關；第三種情況，假設觀測點分布散亂，那么兩種地

4、理要素完全無所示，那么稱為統(tǒng)計相關；第三種情況，假設觀測點分布散亂，那么兩種地理要素完全無關，相互獨立。關，相互獨立。二、地理相關程度的度量方法二、地理相關程度的度量方法計量地理學中用不同的指標來度量不同類型的地理相關的程度。計量地理學中用不同的指標來度量不同類型的地理相關的程度。一簡單直線相關程度的度量一簡單直線相關程度的度量一般情況下，當兩個地理要素間為直線相關時，需要分析其相關程度和一般情況下，當兩個地理要素間為直線相關時，需要分析其相關程度和相關方向。所謂相關程度指兩者關系的密切程度，而相關方向可分為正相關方向。所謂相關程度指兩者關系的密切程度，而相關方向可分為正相關與負相關。前者指兩

5、個要素間呈同方向變化，而后者相反。這兩者相關與負相關。前者指兩個要素間呈同方向變化，而后者相反。這兩者可用一個共同的指標度量，就是相關系數(shù)?？捎靡粋€共同的指標度量，就是相關系數(shù)。1. 一般常用的相關系數(shù)一般常用的相關系數(shù)(r)計算公式計算公式其中，其中， 上式計算出的相關系數(shù)，具有以下三點性質(zhì)：上式計算出的相關系數(shù)，具有以下三點性質(zhì)： 1相關系數(shù)的分布范圍，介于相關系數(shù)的分布范圍，介于1與與+1之間；之間； 2當相關系數(shù)為正值時，表示兩個要素之間為正相關，當相關系數(shù)為正值時，表示兩個要素之間為正相關，相關系數(shù)為負值時，表示兩個要素之間為負相關；相關系數(shù)為負值時，表示兩個要素之間為負相關； 3相

6、關系數(shù)的絕對值越大，表示兩個要素間相關程度越相關系數(shù)的絕對值越大，表示兩個要素間相關程度越密切。密切。 例例1：北京市多年各月平均氣溫與：北京市多年各月平均氣溫與5cm深的平均地溫，數(shù)據(jù)深的平均地溫，數(shù)據(jù)如表如表51所示。依據(jù)相關系數(shù)的計算公式可得：，由此可見，所示。依據(jù)相關系數(shù)的計算公式可得：，由此可見，北京市的各月平均氣溫與北京市的各月平均氣溫與5cm的平均地溫呈正相關，而且相的平均地溫呈正相關，而且相關極為密切。關極為密切。2. 順序等級相關系數(shù)順序等級相關系數(shù)rs計算公式計算公式順序相關不但適用于數(shù)量資料的相關分析，而且適用于質(zhì)的資料。表示順序相關不但適用于數(shù)量資料的相關分析，而且適用

7、于質(zhì)的資料。表示兩個要素順序間直線相關程度和方向的系數(shù)，稱為順序相關系數(shù)。當使兩個要素順序間直線相關程度和方向的系數(shù)，稱為順序相關系數(shù)。當使用兩個要素間的數(shù)值計算相關系數(shù)不方便時，可用順序相關系數(shù)的計算用兩個要素間的數(shù)值計算相關系數(shù)不方便時，可用順序相關系數(shù)的計算公式來求得。公式來求得。例例2：現(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫與：現(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫與5cm平均地溫為例，列成表平均地溫為例，列成表52說說明其計算過程。首先將表中兩個要素的觀測值按大小順序排列起來，最明其計算過程。首先將表中兩個要素的觀測值按大小順序排列起來，最大值排為大值排為1號，依次類推。將兩個要素的順序號相減，即為號，依次類推

8、。將兩個要素的順序號相減，即為d，將其平方，將其平方求和并帶入上面公式，即可得到兩者的順序相關系數(shù)求和并帶入上面公式，即可得到兩者的順序相關系數(shù)rs。二簡單非線性相關程度的度量二簡單非線性相關程度的度量表示簡單非線性相關程度的統(tǒng)計量，通常用相關指數(shù)表示簡單非線性相關程度的統(tǒng)計量，通常用相關指數(shù)Ryx來度量。相關來度量。相關指數(shù)的性質(zhì)如下：指數(shù)的性質(zhì)如下：1相關指數(shù)的分布范圍介于相關指數(shù)的分布范圍介于0到到1之間；之間；2相關指數(shù)的數(shù)值越大，兩個要素間的曲線相關程度越密切。相關指數(shù)的數(shù)值越大，兩個要素間的曲線相關程度越密切。3相關指數(shù)必大于或至少等于用同一批資料所求得的相關系數(shù)的絕相關指數(shù)必大于

9、或至少等于用同一批資料所求得的相關系數(shù)的絕對值。對值。三多要素相關與相關矩陣三多要素相關與相關矩陣對于多個地理要素，那么可計算出各要素兩兩之間的相關系數(shù)，并構成對于多個地理要素，那么可計算出各要素兩兩之間的相關系數(shù)，并構成相關矩陣。相關矩陣。例例3：現(xiàn)給出世界上自然植被的生產(chǎn)量與水熱資源的原始地理數(shù)據(jù)表：現(xiàn)給出世界上自然植被的生產(chǎn)量與水熱資源的原始地理數(shù)據(jù)表53，利用相關系數(shù)公式得到其相關矩陣，形式如下所示：，利用相關系數(shù)公式得到其相關矩陣，形式如下所示：三、相關系數(shù)的顯著性檢驗三、相關系數(shù)的顯著性檢驗為了判定我們所計算出來的相關系數(shù)是否有意義，通常還要進一步對相為了判定我們所計算出來的相關系

10、數(shù)是否有意義，通常還要進一步對相關系數(shù)作顯著性檢驗。關系數(shù)作顯著性檢驗。為了使用上方面，前人已經(jīng)制出了相關系數(shù)檢驗表附錄二。其中為了使用上方面，前人已經(jīng)制出了相關系數(shù)檢驗表附錄二。其中n表示所使用資料的個數(shù)自由度表示所使用資料的個數(shù)自由度f為為n-2，為信度。為信度。對計算出的相關系數(shù)進行顯著性檢驗證明要素間相關程度是顯著的之后，對計算出的相關系數(shù)進行顯著性檢驗證明要素間相關程度是顯著的之后，就可以對其進行進一步的回歸分析了。就可以對其進行進一步的回歸分析了。一、地理回歸分析的意義和作用一、地理回歸分析的意義和作用 地理系統(tǒng)各要素之間的相互關系，可通過大量的觀測、試驗或?qū)嶒灥乩硐到y(tǒng)各要素之間的

11、相互關系，可通過大量的觀測、試驗或?qū)嶒炄〉靡欢ǖ牡乩頂?shù)據(jù)，然后用數(shù)理統(tǒng)計的方法，尋找出隱藏在隨機取得一定的地理數(shù)據(jù)，然后用數(shù)理統(tǒng)計的方法，尋找出隱藏在隨機性后面的統(tǒng)計規(guī)律，而用回歸方程來表達。性后面的統(tǒng)計規(guī)律，而用回歸方程來表達。 地理回歸分析主要是研究地理要素之間聯(lián)系的數(shù)學表達式，有自變地理回歸分析主要是研究地理要素之間聯(lián)系的數(shù)學表達式，有自變量與因變量之分，從而可由自變量的取值來預測、延長或插補和控量與因變量之分，從而可由自變量的取值來預測、延長或插補和控制因變量的取值，所以它有地理預測的性質(zhì)。制因變量的取值，所以它有地理預測的性質(zhì)。 地理回歸分析的主要內(nèi)容包括：地理回歸分析的主要內(nèi)容包括

12、： 1. 由一組地理數(shù)據(jù)確定這些要素間的定量數(shù)學表達式，即回歸模型；由一組地理數(shù)據(jù)確定這些要素間的定量數(shù)學表達式，即回歸模型； 2. 利用回歸模型，根據(jù)自變量的值來預測或控制因變量的取值。利用回歸模型，根據(jù)自變量的值來預測或控制因變量的取值。 二、一元地理回歸模型的建立二、一元地理回歸模型的建立 一元地理回歸是要解決兩個要素間的定量關系。由于兩個要一元地理回歸是要解決兩個要素間的定量關系。由于兩個要素之間的數(shù)量關系類型的差異，一元地理回歸包括線性回歸素之間的數(shù)量關系類型的差異，一元地理回歸包括線性回歸模型和非線性回歸模型分述如下：模型和非線性回歸模型分述如下： 一一元線性地理回歸模型的建立一一

13、元線性地理回歸模型的建立 假設有兩個要素變量假設有兩個要素變量x和和y。x為自變量，為自變量，y為因變量。為因變量。x可以是降水量、蒸發(fā)量、土壤中的有機質(zhì)含量等；可以是降水量、蒸發(fā)量、土壤中的有機質(zhì)含量等；y可以是可以是河流徑流量、土壤含水量等。假定一元線性模型結構為：河流徑流量、土壤含水量等。假定一元線性模型結構為：yi =A+ Bxi+i 式中，式中，A、B為待定參數(shù)，為待定參數(shù)，i=1,2,.,n，而，而xi，yi為為n組觀組觀測數(shù)據(jù)，測數(shù)據(jù)，i為隨機變量。參數(shù)為隨機變量。參數(shù)A、B一般總是未知的，需根一般總是未知的，需根據(jù)觀測值采用最小二乘法來估計。據(jù)觀測值采用最小二乘法來估計。設設a

14、和和b分別為參數(shù)分別為參數(shù)A和和B的最小二乘估計值，于是便得到了一元線性回的最小二乘估計值，于是便得到了一元線性回歸模型為歸模型為上式代表上式代表x和和y之間關系的最正確擬和直線，通常稱為回歸直線。它滿足之間關系的最正確擬和直線，通常稱為回歸直線。它滿足y的實際觀測值與回歸值之間的誤差平方和最小。這就是最小二乘法。的實際觀測值與回歸值之間的誤差平方和最小。這就是最小二乘法。1. 參數(shù)參數(shù)a和和b的最小二乘估計的最小二乘估計根據(jù)最小二乘原理，可得根據(jù)最小二乘原理，可得a、b的計算公式如下：的計算公式如下：2. 一元線性地理回歸模型的具體建立方法與步驟一元線性地理回歸模型的具體建立方法與步驟建立一

15、元線性地理回歸模型，就是用已有的地理數(shù)據(jù)來確定建立一元線性地理回歸模型，就是用已有的地理數(shù)據(jù)來確定a和和b的值。的值。現(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫現(xiàn)仍以北京市各月平均氣溫x與與5cm平均地溫平均地溫y為例，建立一元線性地理為例，建立一元線性地理回歸模型的過程如下：回歸模型的過程如下：1將表中的各項數(shù)據(jù)代入相應的計算公式，得到將表中的各項數(shù)據(jù)代入相應的計算公式，得到a、b的數(shù)值。的數(shù)值。2當參數(shù)當參數(shù)a與與b求出后，便可得出一元線性地理回歸模型如下：求出后，便可得出一元線性地理回歸模型如下：3. 一元線性地理回歸模型的效果檢驗一元線性地理回歸模型的效果檢驗當一元線性地理回歸模型求出來以后，它的效果如

16、何，它所揭示的地理當一元線性地理回歸模型求出來以后，它的效果如何，它所揭示的地理規(guī)律性強不強，用它來進行地理預測精度如何？所有這些問題都需要進規(guī)律性強不強，用它來進行地理預測精度如何？所有這些問題都需要進一步作出分析。一步作出分析。1回歸模型估計的誤差回歸模型估計的誤差由線性回歸模型所得到的由線性回歸模型所得到的y的估計值往往與實測值的估計值往往與實測值y不完全一致，它們之不完全一致，它們之間的誤差稱為估計誤差，以標準差的形式表示為間的誤差稱為估計誤差，以標準差的形式表示為在實際地理問題中，只要比較在實際地理問題中，只要比較S與允許的偏差即可。與允許的偏差即可。2回歸模型的顯著性檢驗回歸模型的

17、顯著性檢驗觀測值觀測值yi與其平均值與其平均值y的差異可用離差平方和來表示，記為的差異可用離差平方和來表示，記為S總。它又總。它又可以進行如下的分解：可以進行如下的分解：上式右側(cè)的第一項為哪一項所有觀測點上式右側(cè)的第一項為哪一項所有觀測點yi與回歸值的殘差平方和，表示與回歸值的殘差平方和，表示除了除了x對對y的線性影響以外的一切因素對的線性影響以外的一切因素對y的變異影響，故稱為剩余平方的變異影響，故稱為剩余平方和，記作和，記作Q；第二項反映了在；第二項反映了在y的總偏差中，由的總偏差中，由x與與y的線性關系引起的的線性關系引起的y的變化分布，故稱為回歸平方和，記作的變化分布，故稱為回歸平方和

18、，記作U。故有：。故有：S總總U+Q。一個回歸效果的好壞取決于一個回歸效果的好壞取決于U在總離差平方和中的比例或者在總離差平方和中的比例或者U與與Q的比值。的比值。假設取前者那么有：假設取前者那么有：從從U與與Q比值的大小來考慮，可利用如下的比值的大小來考慮，可利用如下的F檢驗方法。檢驗方法。根據(jù)前人的研究，統(tǒng)計量根據(jù)前人的研究，統(tǒng)計量FU/(Q/(n-2)符合第一自由度為符合第一自由度為1，第二自由，第二自由度為度為n-2的的F分布，根據(jù)前面學習的分布，根據(jù)前面學習的F檢驗方法，即可對回歸模型的顯檢驗方法，即可對回歸模型的顯著性進行檢驗。著性進行檢驗。二一元非線性地理回歸模型的建立二一元非線

19、性地理回歸模型的建立在許多實際地理問題中，有時兩個要素之間的關系并不是線性關系，而在許多實際地理問題中，有時兩個要素之間的關系并不是線性關系，而是某種非線性關系，這時我們選擇適當?shù)念愋颓€比配直線更符合地理是某種非線性關系，這時我們選擇適當?shù)念愋颓€比配直線更符合地理實際情況。例如：我國武夷山南坡地形高度與年降水量之間的關系，玉實際情況。例如：我國武夷山南坡地形高度與年降水量之間的關系，玉米產(chǎn)量與耗水量之間的關系等等。米產(chǎn)量與耗水量之間的關系等等。對于這一類地理問題，首先需要選配曲線，確定曲線的類型，然后再化對于這一類地理問題，首先需要選配曲線，確定曲線的類型，然后再化曲線回歸模型為直線回歸模

20、型處理。曲線回歸模型為直線回歸模型處理。1. 選配曲線的根本方法選配曲線的根本方法根據(jù)理論分析、過去的經(jīng)驗或觀測數(shù)據(jù)的根據(jù)理論分析、過去的經(jīng)驗或觀測數(shù)據(jù)的分布趨勢與特點，來確定兩個要素之間的曲線類型及其函數(shù)形式，從而分布趨勢與特點，來確定兩個要素之間的曲線類型及其函數(shù)形式，從而求非線性地理回歸模型的過程及其方法，叫做曲線選配。求非線性地理回歸模型的過程及其方法，叫做曲線選配。一般是先通過變量變化，把非線性函數(shù)關系化為線性關系，再采用線性一般是先通過變量變化，把非線性函數(shù)關系化為線性關系，再采用線性回歸的方法確定參數(shù)。當曲線的函數(shù)類型確定后，下一步就是求函數(shù)中回歸的方法確定參數(shù)。當曲線的函數(shù)類型

21、確定后，下一步就是求函數(shù)中的參數(shù)的參數(shù)a和和b。確定參數(shù)的方法仍然是最小二乘法。確定參數(shù)的方法仍然是最小二乘法。2. 地理上常見的非線性回歸模型的建立方法地理上常見的非線性回歸模型的建立方法在地理問題上，較常見的曲線類型有：冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函在地理問題上，較常見的曲線類型有：冪函數(shù)型、指數(shù)函數(shù)型、對數(shù)函數(shù)型等。下面說明不同類型的非線性地理回歸模型的建立方法與步驟。數(shù)型等。下面說明不同類型的非線性地理回歸模型的建立方法與步驟。1冪函數(shù)型冪函數(shù)型兩個地理要素之間的冪函數(shù)表達式為兩個地理要素之間的冪函數(shù)表達式為y=axb對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，得對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，得l

22、ny = lna + blnx令令Y=lny，A=lna，X=lnx，那么上式為，那么上式為 Y=A+bX這樣就將曲線模型轉(zhuǎn)化成線性模型了。這樣就將曲線模型轉(zhuǎn)化成線性模型了。例如：長白山北麓熔巖臺地地貌形態(tài)的變化，見表例如：長白山北麓熔巖臺地地貌形態(tài)的變化，見表56，即呈冪函數(shù)曲，即呈冪函數(shù)曲線型。設線型。設x表示各地點距白頭山天池火口壁的距離表示各地點距白頭山天池火口壁的距離km，y為熔巖臺為熔巖臺地各地點的海拔高度地各地點的海拔高度m。冪函數(shù)回歸模型和擬和圖如圖。冪函數(shù)回歸模型和擬和圖如圖54所示。所示。2指數(shù)函數(shù)型指數(shù)函數(shù)型兩個地理要素之間的指數(shù)函數(shù)表達式為兩個地理要素之間的指數(shù)函數(shù)表達

23、式為y=aebx或或y=ae-bx，y=abx然后對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，那么得然后對上式兩邊取常用對數(shù)或自然對數(shù)，那么得lny=lna+(lnb)x令令Y=lny，Alna，B=lnb那么上式為那么上式為YABx這樣指數(shù)函數(shù)模型就轉(zhuǎn)化成線性模型了。這樣指數(shù)函數(shù)模型就轉(zhuǎn)化成線性模型了。例如：長白山北麓地形高度對年降水量的影響，即按指數(shù)規(guī)律遞增，見例如：長白山北麓地形高度對年降水量的影響，即按指數(shù)規(guī)律遞增，見表表57和圖和圖55所示。由圖中模型可知，長白山北坡的年降水量是按指所示。由圖中模型可知，長白山北坡的年降水量是按指數(shù)規(guī)律增加的，其相關指數(shù)達。數(shù)規(guī)律增加的，其相關指數(shù)達。3對數(shù)函數(shù)

24、型對數(shù)函數(shù)型兩個地理要素之間的對數(shù)函數(shù)關系表達式為兩個地理要素之間的對數(shù)函數(shù)關系表達式為y=a+blnx令令Xlnx，上式可直接轉(zhuǎn)化為直線方程如下：，上式可直接轉(zhuǎn)化為直線方程如下：Y=a+bX例如：當土壤濕度為最大田間持水量的例如：當土壤濕度為最大田間持水量的5060，雨強為，雨強為2.0 mm/min時，淋溶和退化黑鈣土區(qū)的地形坡度對徑流系數(shù)的影響，即符時，淋溶和退化黑鈣土區(qū)的地形坡度對徑流系數(shù)的影響，即符合對數(shù)規(guī)律。見表合對數(shù)規(guī)律。見表58和圖和圖56。徑流系數(shù)隨地形坡度的增加按對數(shù)律。徑流系數(shù)隨地形坡度的增加按對數(shù)律遞增，相關指數(shù)達。當?shù)匦纹露葹榱愣葧r，該區(qū)域徑流系數(shù)為；當?shù)匦芜f增，相關

25、指數(shù)達。當?shù)匦纹露葹榱愣葧r，該區(qū)域徑流系數(shù)為；當?shù)匦纹露绕骄吭黾悠露绕骄吭黾?度時，該區(qū)徑流系數(shù)平均增加。度時，該區(qū)徑流系數(shù)平均增加。圖表說明如下：圖表說明如下：3. 一元非線性回歸模型的效果檢驗一元非線性回歸模型的效果檢驗在選配曲線的回歸過程中，首先遇到的問題就是曲線類型的選擇。因為在選配曲線的回歸過程中，首先遇到的問題就是曲線類型的選擇。因為曲線類型選擇恰當，不僅對揭示出要素間的內(nèi)在規(guī)律具有重要意義，而曲線類型選擇恰當，不僅對揭示出要素間的內(nèi)在規(guī)律具有重要意義，而且對于減少剩余誤差、提高回歸模型的效果更具有實際意義。否那么，且對于減少剩余誤差、提高回歸模型的效果更具有實際意義。否那么，

26、其效果往往不能令人滿意，甚至會歪曲要素間的內(nèi)在規(guī)律性。其效果往往不能令人滿意，甚至會歪曲要素間的內(nèi)在規(guī)律性。那么，怎樣衡量曲線回歸模型的好壞呢？在衡量一元線性回歸模型的效那么，怎樣衡量曲線回歸模型的好壞呢？在衡量一元線性回歸模型的效果時，我們采用了相關系數(shù)的平方等于回歸平方和與總平方和之比，即果時，我們采用了相關系數(shù)的平方等于回歸平方和與總平方和之比，即 或用剩余平方和來表示，那么為或用剩余平方和來表示，那么為在選配曲線的過程中，要求所配曲線與地理數(shù)據(jù)擬和較好，可利用上面在選配曲線的過程中，要求所配曲線與地理數(shù)據(jù)擬和較好，可利用上面右式定義的量來衡量所配曲線效果的好壞，記作右式定義的量來衡量所

27、配曲線效果的好壞，記作R2，稱為相關指數(shù)。，稱為相關指數(shù)。對于指數(shù)曲線 ，令 , 可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： ， 其中， ； 對于對數(shù)曲線 ，令 ， ，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： ；對于冪函數(shù)曲線 ，令 ， ，可以將其轉(zhuǎn)化為直線形式： 其中， ； bxdyexbayyylnxx dalnxbaylnxbayyy xxlnbdxy xbayyylnxxlndaln對于雙曲線 ，令 ，轉(zhuǎn)化為直線形式： ； 對于S型曲線 ，可 轉(zhuǎn)化為直線形式： ； 對于冪乘積 ，只要令 ，就可以將其轉(zhuǎn)化為線性形式 其中， ；xxxyybaye,1,e1令xbayxbay1xbayxxyy1,1kkxxdxy2121kk

28、xxxy22110kkxxxxxxyyln,ln,ln,ln2211dln0對于對數(shù)函數(shù)和 只要令 ，就可以將其化為線性形式 例:表給出了某地區(qū)林地景觀斑塊面積area與周長perimeter的數(shù)據(jù)。下面我們建立林地景觀斑塊面積A與周長P之間的非線性回歸模型 。 kkxxxylnlnln22110kkxxxy22110kkxxxxxxyyln,ln,ln,2211 序號面積A周長P序號面積A周長P110 447.370625.39242232 844.3004 282.043215 974.730612.286434 054.660289.307330 976.770775.7124430 8

29、33.840895.98049 442.902530.202451 823.355205.131510 858.9201 906.1034626 270.300968.060621 532.9101 297.9624713 573.9601 045.07276 891.680417.0584865 590.0802 250.43583 695.195243.90749157 270.4002 407.54992 260.180197.239502 086.426266.54110334.33299.729513 109.070261.8181111 749.080558.921522 038.

30、617320.396122 372.105199.667533 432.137253.335138 390.633592.893541 600.391230.030146 003.719459.467553 867.586419.406表5.2.1 某地區(qū)各個林地景觀斑塊面積m2與周長m 15527 620.2006 545.291561 946.184198.66116179 686.2002 960.4755777.30556.9021714 196.460597.993587 977.719715.7521822 809.1801 103.0705919 271.8201 011.127

31、1971 195.9401 154.118608 263.480680.710203 064.242245.049 6114 697.1301 234.1142146 9416.7008 226.009624 519.867326.317225 738.953498.6566313 157.6601 172.916238 359.465415.151646 617.270609.801246 205.016414.790 654 064.137437.355256 0619.0201 549.871665 645.820432.355261 4517.740791.943676 993.355

32、503.7842731 020.1001 700.965684 304.281267.9512826 447.1601 246.977696 336.383347.136297 985.926918.312702 651.414292.235303 638.766399.725712 656.824298.4733158 5425.10011 474.770721 846.988179.8663235 220.6401 877.476731 616.684172.8083310 067.820497.394741 730.563172.1433427 422.5701 934.5967511

33、303.970881.0423543 071.5501 171.4137614 019.790638.1763657 585.9402 275.389779 277.172862.0883728 254.1301 322.7957813 684.750712.78738497 261.0009 581.298791 949.164228.4033924 255.030994.906804 846.016324.481401 837.699229.40181521 457.4007 393.938411 608.625225.84282564 370.80012 212.410 解解:1作變量替

34、換，令：作變量替換，令： ， ，將表中的原始數(shù)，將表中的原始數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換，變換后得到的各新變量對應的觀測據(jù)進行對數(shù)變換，變換后得到的各新變量對應的觀測數(shù)據(jù)如表所示。數(shù)據(jù)如表所示。 AylnPxln序號y=lnAx=LnP序號y=lnAx=LnP1 9.254 1066.438 3794212.358 138.362 1862 9.678 7636.417 243 8.307 6225.667 487310.340 996.653 7824410.336 376.797 9184 9.153 0196.273 258457.508 4335.323 655 9.292 7427.552 81

35、64610.176 196.875 2946 9.977 3387.168 551479.515 9096.951 8417 8.838 076.033 2264811.091 187.718 8798 8.214 7895.496 7894911.965 727.786 3649 7.723 25.284 414507.643 2085.585 52810 5.812 1354.602 457518.042 0795.567 65111 9.371 536.326 008527.620 0275.7695 58表3.2.2 經(jīng)對數(shù)變換后的數(shù)據(jù)127.771 5335.296 653538.1

36、40 9385.534 711139.034 8716.385 013547.378 0035.438 211148.700 1346.130 066558.260 3866.038 8391513.176 138.786 501567.573 6265.291 5971612.098 977.993 105574.347 7554.041 328179.560 7486.393 579588.984 4086.573 3341810.034 927.005 852599.866 3996.918 8211911.173 197.051 092609.019 6016.523 136208.0

37、27 5565.501 457619.595 4087.118 1092113.059 259.0150 56628.416 2385.787 871228.655 0326.211 917639.484 7597.067 248239.031 156.028 643648.797 4386.413 133248.733 1136.027 773658.309 9576.080 7442511.012 367.345 927668.638 6716.069 247269.583 1276.674 49678.852 7166.222 1472710.342 397.438 951688.367

38、 3655.590 8062810.182 97.128 478698.754 0635.849 717298.985 4366.822 537707.882 8485.677 56308.199 45.990 776717.884 8875.698 6783113.280 099.347 906727.521 3115.192 2133210.469 397.537 684737.388 1325.152 181339.217 0996.209 381747.456 2025.148 3263410.219 127.567 654759.332 9096.781 1053510.670 62

39、7.065 966769.548 2256.458 6143610.961 037.729 906779.135 3126.759 3583710.248 997.187 502789.524 0376.569 1823813.116 879.167 568797.575 1565.431 1123910.096 386.902 648808.485 9125.782 227407.516 275.435 4718113.164 388.908 416417.383 1355.419 8378213.243 479.410 208 2 以x為橫坐標、y為縱坐標，在平面直角坐標系中作出散點圖。很

40、明顯，y與x呈線性關系。圖3.2.2 林地景觀斑塊面積A與周長P之間的雙對數(shù)關系 3根據(jù)所得表中的數(shù)據(jù)，運用建立線性回歸模型的方法，建立y與x之間的線性回歸模型，得到 對應于式，x與y的相關系數(shù)高 達 =0.966 5。 4將復原成雙對數(shù)曲線，即 7505.0505.1xy7505.0ln505.1lnPA xyr相關指數(shù)越大，說明選配的回歸曲線效果越好，剩余標準差越小，其回相關指數(shù)越大，說明選配的回歸曲線效果越好，剩余標準差越小，其回歸模型的預測精度就越高?，F(xiàn)以表歸模型的預測精度就越高?，F(xiàn)以表58中數(shù)據(jù)為例，計算出剩余平方和中數(shù)據(jù)為例，計算出剩余平方和與總平方和如表與總平方和如表59所示。其

41、相關指數(shù)為所示。其相關指數(shù)為R2剩余標準差為剩余標準差為由此可見，地形坡度對徑流系數(shù)影響的模型擬和效果很好，而且剩余標由此可見，地形坡度對徑流系數(shù)影響的模型擬和效果很好，而且剩余標準差也很小，因此模型的預測精度也很高。準差也很小，因此模型的預測精度也很高。三、多元地理回歸模型的建立三、多元地理回歸模型的建立一個地理系統(tǒng)的根本特點之一，是它具有多要素性，而且各要素之間相一個地理系統(tǒng)的根本特點之一，是它具有多要素性，而且各要素之間相互聯(lián)系、相互影響。當研究某一個要素互聯(lián)系、相互影響。當研究某一個要素y與其他要素與其他要素x1,x2,x3,.,xn之間之間的定量關系時，就需要用多元回歸分析方法。這里

42、同樣也有線性和非線的定量關系時，就需要用多元回歸分析方法。這里同樣也有線性和非線性之分。下面分別介紹線性與非線性多元回歸模型的建立方法。性之分。下面分別介紹線性與非線性多元回歸模型的建立方法。一多要素線性地理回歸模型的建立一多要素線性地理回歸模型的建立1. 多要素線性地理回歸模型的建立方法多要素線性地理回歸模型的建立方法一般設其數(shù)學結構模型為一般設其數(shù)學結構模型為y=0+1x 1+2x 2+3x 3+.+kx k+采用最小二乘法，得到回歸模型為采用最小二乘法，得到回歸模型為y=b0+b1x1+b2x2+.+bkxkbk為偏回歸系數(shù)為偏回歸系數(shù)偏回歸系數(shù)的意義說明：當其他要素都固定時，該自變量每

43、變化一個單偏回歸系數(shù)的意義說明：當其他要素都固定時，該自變量每變化一個單位而使位而使y平均改變的數(shù)值。偏回歸系數(shù)確實定同樣是依據(jù)最小二乘法原平均改變的數(shù)值。偏回歸系數(shù)確實定同樣是依據(jù)最小二乘法原理，即使理，即使到達最小，式中到達最小，式中為觀測數(shù)據(jù)的序號，將上式對為觀測數(shù)據(jù)的序號，將上式對b0,b1,.,bk求偏倒數(shù)，求偏倒數(shù)，并令其都等于零，即并令其都等于零，即經(jīng)展開整理后得經(jīng)展開整理后得以上方程組稱為正規(guī)方程組，由其系數(shù)構成得矩陣記作以上方程組稱為正規(guī)方程組，由其系數(shù)構成得矩陣記作A AX XX，即，即上述方程組可寫成上述方程組可寫成Ab=B的形式，其中的形式，其中B=XY。解這個方程組即

44、可得到。解這個方程組即可得到各個變量的偏回歸系數(shù)。各個變量的偏回歸系數(shù)。將求出的偏回歸系數(shù)和常數(shù)項代入多元線性數(shù)學模型中，即可得到將求出的偏回歸系數(shù)和常數(shù)項代入多元線性數(shù)學模型中，即可得到k元元線性地理回歸模型。線性地理回歸模型。例如：某一國家某一經(jīng)濟區(qū)內(nèi)木材生產(chǎn)指數(shù)例如：某一國家某一經(jīng)濟區(qū)內(nèi)木材生產(chǎn)指數(shù)y以以1955年為年為100受該受該區(qū)森林蓄積量指數(shù)區(qū)森林蓄積量指數(shù)x1，木材價格指數(shù)，木材價格指數(shù)x2和運輸距離指數(shù)和運輸距離指數(shù)x3的影響，如表的影響，如表510所示。所示?？衫每衫肈oolittle法或利用法或利用Excel等軟件工具計算出其多元線性回歸模型等軟件工具計算出其多元線性

45、回歸模型的偏回歸系數(shù)及常數(shù)項。的偏回歸系數(shù)及常數(shù)項。2. 多元線性回歸模型的顯著性檢驗多元線性回歸模型的顯著性檢驗在多元線性回歸問題中，同一元線性回歸一樣也需要對回歸模型進行顯在多元線性回歸問題中，同一元線性回歸一樣也需要對回歸模型進行顯著性檢驗。如果經(jīng)過檢驗是顯著的，那么說明建立的回歸模型是有用的，著性檢驗。如果經(jīng)過檢驗是顯著的，那么說明建立的回歸模型是有用的，否那么就沒有什么實際意義。否那么就沒有什么實際意義。在多元線性回歸分析中，同樣也存在回歸平方和在多元線性回歸分析中，同樣也存在回歸平方和U與剩余平方和與剩余平方和Q，兩，兩者的自由度分別者的自由度分別k和和n-k-1，于是剩余標準差為

46、，于是剩余標準差為Ssqrt(Q/(n-k-1)。同樣可對整個回歸模型進行顯著性檢驗，通常采用同樣可對整個回歸模型進行顯著性檢驗，通常采用F檢驗法。檢驗法。F值為回值為回歸方差和剩余方差之比，即歸方差和剩余方差之比，即根據(jù)檢驗的結果，在根據(jù)檢驗的結果，在F值的右上角可標注星號。值的右上角可標注星號。例如：前面例子中的檢驗結果就說明多元線性關系具有高度顯著性。例如：前面例子中的檢驗結果就說明多元線性關系具有高度顯著性。二多要素非線性地理回歸模型的建立二多要素非線性地理回歸模型的建立在地理系統(tǒng)中，除局部問題是屬線性關系外，還有大局部問題屬于非線在地理系統(tǒng)中，除局部問題是屬線性關系外，還有大局部問題

47、屬于非線性關系。下面扼要地介紹兩種多元非線性地理回歸模型的建立方法。性關系。下面扼要地介紹兩種多元非線性地理回歸模型的建立方法。在地理系統(tǒng)中，有些曲線不能化為直線處理，如二次多項式就不能化為在地理系統(tǒng)中，有些曲線不能化為直線處理，如二次多項式就不能化為線性模型。一般的處理方法是將它化為二元線性回歸模型，然后按照多線性模型。一般的處理方法是將它化為二元線性回歸模型，然后按照多元線性回歸分析方法處理。這種方法可以處理大局部一元非線性回歸模元線性回歸分析方法處理。這種方法可以處理大局部一元非線性回歸模型，因為任何函數(shù)形式都可以在較小區(qū)間內(nèi)用多項式逐步逼近。型，因為任何函數(shù)形式都可以在較小區(qū)間內(nèi)用多項

48、式逐步逼近。當多項式回歸的自變量取兩次冪時，便是二次多項式，即拋物線。其數(shù)當多項式回歸的自變量取兩次冪時，便是二次多項式，即拋物線。其數(shù)學模型為學模型為y=b0+b1x+b2x2，令，令x1=x,x2=x2，那么模型變?yōu)?，那么模型變?yōu)閥=b0+b1x1+b2x2?？捎枚€性回歸的方法確定模型參數(shù)。可用二元線性回歸的方法確定模型參數(shù)。例如，依據(jù)黑龍江省的實測資料表例如，依據(jù)黑龍江省的實測資料表514，土溫與地積溫系數(shù)，土溫與地積溫系數(shù)k之間之間的關系，便可用多項式回歸化成線性回歸來處理。的關系，便可用多項式回歸化成線性回歸來處理。將表將表514中的數(shù)據(jù)點繪成散點圖中的數(shù)據(jù)點繪成散點圖57可知，

49、這個問題可用拋物線來近可知，這個問題可用拋物線來近似。用似。用Excel等軟件及手動計算均可得到具體的二次多項式模型。等軟件及手動計算均可得到具體的二次多項式模型。假設多項式回歸的自變量為三次冪時，那么為三次多項式，其數(shù)學表達假設多項式回歸的自變量為三次冪時，那么為三次多項式，其數(shù)學表達式為式為y=b0+b1x+b2x2+b3x3例如，日本例如，日本19311957年糧食生產(chǎn)指數(shù)，即可用三次多項式回歸來擬年糧食生產(chǎn)指數(shù)，即可用三次多項式回歸來擬合。日本糧食生產(chǎn)指數(shù)模型和擬合情況，見圖合。日本糧食生產(chǎn)指數(shù)模型和擬合情況，見圖59所示。所示。這是一種用途廣泛，計算方便，物理意義清楚，要素間關系明確

50、的數(shù)學這是一種用途廣泛，計算方便，物理意義清楚，要素間關系明確的數(shù)學模型。這種方法的根本思路是把某一要素模型。這種方法的根本思路是把某一要素y與其他要素與其他要素xi之間的函數(shù)關之間的函數(shù)關系寫成冪函數(shù)的連乘積形式，即系寫成冪函數(shù)的連乘積形式，即y=k*x1a*x2b*x3c*x4d.式中，式中，k、a、b、c、d為待定地理參數(shù)。建立冪函數(shù)乘積模型的模型，為待定地理參數(shù)。建立冪函數(shù)乘積模型的模型，也就是確定參數(shù)的過程。教材講了一種方法，也可直接將冪函數(shù)乘積模也就是確定參數(shù)的過程。教材講了一種方法，也可直接將冪函數(shù)乘積模型變換為多元線性回歸模型顯然更為簡便。型變換為多元線性回歸模型顯然更為簡便。

51、可對模型兩側(cè)同時取自然對數(shù)，對變換后的多元線性回歸模型利用前面可對模型兩側(cè)同時取自然對數(shù)，對變換后的多元線性回歸模型利用前面講過的方法，確定各個參數(shù)，然后再根據(jù)變換關系將其重新轉(zhuǎn)換為冪函講過的方法，確定各個參數(shù)，然后再根據(jù)變換關系將其重新轉(zhuǎn)換為冪函數(shù)乘積模型。數(shù)乘積模型。例如：前蘇聯(lián)例如：前蘇聯(lián)19651974年鋼產(chǎn)量年鋼產(chǎn)量y與焦炭產(chǎn)量與焦炭產(chǎn)量r1、生鐵產(chǎn)量、生鐵產(chǎn)量r2和發(fā)電量和發(fā)電量r3之間的關系，便可用冪函數(shù)乘積模型來表達。原之間的關系，便可用冪函數(shù)乘積模型來表達。原始數(shù)據(jù)如表始數(shù)據(jù)如表516所示。所示。按照書上的計算方法，可得到前蘇聯(lián)鋼產(chǎn)量與焦炭產(chǎn)量、生鐵產(chǎn)量和發(fā)按照書上的計算方法

52、，可得到前蘇聯(lián)鋼產(chǎn)量與焦炭產(chǎn)量、生鐵產(chǎn)量和發(fā)電量之間關系可用下式來表達：電量之間關系可用下式來表達：1x2x3其擬合效果良好，影響鋼產(chǎn)量最大因素是生鐵產(chǎn)量，其次為焦炭產(chǎn)量。其擬合效果良好，影響鋼產(chǎn)量最大因素是生鐵產(chǎn)量，其次為焦炭產(chǎn)量。 趨勢面分析的一般原理 趨勢面模型的適度檢驗 趨勢面分析應用實例 趨勢面分析，是利用數(shù)學曲面模擬地理系統(tǒng)要素在空間上的分布及變化趨勢的一種數(shù)學方法。 它實質(zhì)上是通過回歸分析原理，運用最小二乘法擬合一個二維非線性函數(shù)，模擬地理要素在空間上的分布規(guī)律，展示地理要素在地域空間上的變化趨勢。 趨勢面分析方法常常被用來模擬資源、環(huán)境、人口及經(jīng)濟要素在空間上的分布規(guī)律，它是在

53、空間分析方面具有重要的應用價值 趨勢面是一種抽象的數(shù)學曲面，它抽象并過濾掉了一些局域隨機因素的影響，使地理要素的空間分布規(guī)律明顯化。 因此，通常把實際的地理曲面分解為趨勢面和剩余面兩局部，前者反映地理要素的宏觀分布規(guī)律，屬于確定性因素作用的結果；而后者那么對應于微觀局域，是隨機因素影響的結果。 趨勢面分析的一個根本要求，就是所選擇的趨勢面模型應該是剩余值最小，而趨勢值最大，這樣擬合度精度才能到達足夠的準確性?？臻g趨勢面分析，正是從地理要素分布的實際數(shù)據(jù)中分解出趨勢值和剩余值，從而揭示地理要素空間分布的趨勢與規(guī)律。 地理要素的空間分布曲面，大多都是非線性的，尋找這些非線性曲面的數(shù)學方程式比較困難

54、，通常可采取用多項式的形式進行擬合。 一建立趨勢面模型一建立趨勢面模型設 某 地 理 要 素 的 實 際 觀 測 數(shù) 據(jù)為 ， 趨勢值擬合值為 ，那么有 式中：i即為剩余值殘差值。顯然，當xi，yi在空間上變動時，式就刻畫了地理要素的實際分布曲面、趨勢面和剩余面之間的互動關系。 ), 2 , 1)(,(niyxziii),(iiiyxziiiiiiiyxzyxz),(),( 趨勢面分析的核心趨勢面分析的核心：從實際觀測值出發(fā)推算趨勢面，一般采用回歸分析方法，使得殘差平方和趨于最小，即： min),(),(1212niiiiiiiniyxzyxzQ這就是在最小二乘法意義下的趨勢曲面擬合。 用來計

55、算趨勢面的數(shù)學方程式有多項式函數(shù)和傅立葉級數(shù)，其中最為常用的是多項式函數(shù)形式。因為任何一個函數(shù)都可以在一個適當?shù)姆秶鷥?nèi)用多項式來逼近，而且調(diào)整多項式的次數(shù)，可使所求的回歸方程適合實際問題的需要。 多項式趨勢面的形式 ： 一次趨勢面模型： 二次趨勢面模型： 三次趨勢面模型： yaxaaz21025423210yaxyaxayaxaaz25423210yaxyaxayaxaaz39282736yaxyayxaxa 5.3. 3 實質(zhì)：根據(jù)觀測值zi，xi，yii=1,2,n確定多項式的系數(shù)a0，a1，ap，使殘差平方和最小。 過程： 將多項式回歸非線性模型模型轉(zhuǎn)化為多元線性回歸模型。 令 那么pp

56、xaxaxaaz22110,2542321yxxyxxxyxxx 求求Q Q對對a0a0，a1a1，apap的偏導數(shù)，并令其等于的偏導數(shù)，并令其等于0 0，得正規(guī)方程組：得正規(guī)方程組：( (式中式中 為個為個p+Ip+I個未知量個未知量paaa,10其殘差平方和為 nipipiiiniiixaxaxaazzzQ122211012)(niipininipipippiinipiniiininiipipiiniiniininipipizxxxaxxaxazxxxaxxaxazxaxana111111011111111110111110 用矩陣形式表示pnnnppxxxxxxxxxX212221212

57、111111paaaA10nzzzZ10那么式變?yōu)閆XXAXTT 對于二元二次多項式有 其正規(guī)方程組為 25423210yaxyaxayaxaaz 由式5.3. 7求解，可得：543210222222222221112111222212211222212121111111aaaaaayyxxyxyyxxyxyyxxyxyyyyxyxyxxxxyyyxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnzzzyyyyxyxyxxxxyyyxxx10222212211222212121111ZXXXATT1)(5.3. 8 趨勢面擬適宜度的趨勢面擬適宜度的R2檢驗檢驗 趨勢面擬適宜度的顯著性趨勢面擬適宜度的

58、顯著性F檢驗檢驗 趨勢面適度的逐次檢驗趨勢面適度的逐次檢驗 趨勢面分析擬合程度與回歸模型的效果直接相關，因此，對趨勢面分析進行適度性檢驗是一個關系到趨勢面能否在實際研究中加以應用的關鍵問題，也是趨勢面分析中不可缺少的重要環(huán)節(jié)。 這可以通過以下檢驗來完成： 一趨勢面擬適宜度的一趨勢面擬適宜度的R2檢驗檢驗n趨勢面與實際面的擬合度系數(shù)趨勢面與實際面的擬合度系數(shù)R R2 2是測定回歸模型擬是測定回歸模型擬合優(yōu)度的重要指標。合優(yōu)度的重要指標。n一般用變量一般用變量z z的總離差平方和中回歸平方和所占的的總離差平方和中回歸平方和所占的比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度。比重表示回歸模型的擬合優(yōu)度。n總離差平方和

59、等于回歸平方和與剩余平方和之和?？傠x差平方和等于回歸平方和與剩余平方和之和。即即RDniiniiiTSSSSzzzzSS1212)()( 越大或 越小就表示因變量與自變量的關系越密切，回歸的規(guī)律性越強、效果越好。記 越大，趨勢面的擬合度就越高。 niiiDzzSS12)(niiRzzSS12)(RSSDSSTDTRSSSSSSSSR122R 為剩余平方和，它表示隨機因素對的離差的影響， 為回歸平方和，它表示個自變量對因變量的離差的總影響。 5.3. 9 趨勢面適度的F檢驗，是對趨勢面回歸模型整體的顯著性檢驗。 方法：是利用變量z的總離差平方和中剩余平方和與回歸平方和的比值，確定變量z與自變量x、y之間的回歸關系是否顯著。即 結果