江西理工大學(xué)2014年數(shù)值分析試卷

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2013級(jí)建測(cè)學(xué)院數(shù)值分析期末試卷1注意： 答題方式為閉卷。 可以使用計(jì)算器。l 請(qǐng)將填空題和選擇題的答案直接填在試卷上，計(jì)算題答在答題紙上。一、 填空題 （2 0×2）1. 設(shè)x=0.231是精確值x*=0.229的近似值，則x有 位有效數(shù)字。2. 設(shè)，A_ _，X_ _，AX_ _ (注意：不計(jì)算AX的值) 。3. 非線性方程f(x)=0的迭代函數(shù)x=j(x)在有解區(qū)間滿足 ，則使用該迭代函數(shù)的迭代解法一定是局部收斂的。4. 若f(x)=x7x31，則f20,21,22,23,24,25,26,27= ， f20,21,22,23,24,25,26,27

2、,28= 。5. 區(qū)間a,b上的三次樣條插值函數(shù)S(x)在a,b上具有直到 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。6. 當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)為等距分布時(shí)，若所求節(jié)點(diǎn)靠近首節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的 （填寫(xiě)前插公式、后插公式或中心差分公式），若所求節(jié)點(diǎn)靠近尾節(jié)點(diǎn)，應(yīng)該選用等距節(jié)點(diǎn)下牛頓差商公式的 （填寫(xiě)前插公式、后插公式或中心差分公式）；如果要估計(jì)結(jié)果的舍入誤差，應(yīng)該選用插值公式中的 。7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系數(shù)ai(x)的特點(diǎn)是： ；所以當(dāng)系數(shù)ai(x)滿足 ，計(jì)算時(shí)不會(huì)放大f(xi)的誤差。8. 要使的近似值的相對(duì)誤差小于0.1%，至少要取 位有效數(shù)字。9. 對(duì)任意初始向量X(0)及任意向量g，線性

3、方程組的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收斂于方程組的精確解x*的充分必要條件是 。10. 由下列數(shù)據(jù)所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)最高是 。 x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511. 牛頓下山法的下山條件為 。12. 線性方程組的松弛迭代法是通過(guò)逐漸減少殘差ri (i=0,1,n)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，其中的殘差ri ，(i=0,1,n)。13. 在非線性方程f(x)=0使用各種切線法迭代求解時(shí)，若在迭代區(qū)間存在唯一解，且f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，則初始點(diǎn)x0的選取依據(jù)為 。14. 使用迭代計(jì)算的步驟為建立迭代函數(shù)、 、迭代計(jì)算。二、 判斷題(在題目

4、后的( )中填上“”或“×”。) （10×1）1、 若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AXb一定可以使用高斯消元法求解。( )2、 解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。 ( )3、 若A為n階方陣，且其元素滿足不等式 則解線性方程組AXb的高斯塞德?tīng)柕ㄒ欢ㄊ諗俊?( )4、 樣條插值一種分段插值。 ( )5、 如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項(xiàng)式是等價(jià)的。 ( )6、 從實(shí)際問(wèn)題的精確解到實(shí)際的計(jì)算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測(cè)誤差、截?cái)嗾`差及舍入誤差。 ( )7、 解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AXb。

5、( )8、 迭代解法的舍入誤差估計(jì)要從第一步迭代計(jì)算的舍入誤差開(kāi)始估計(jì),直到最后一步迭代計(jì)算的舍入誤差。 ( )9、 數(shù)值計(jì)算中的總誤差如果只考慮截?cái)嗾`差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截?cái)嗾`差舍入誤差。 ( )10、插值計(jì)算中避免外插是為了減少舍入誤差。 ( )三、 計(jì)算題 （5×8+10）1、用列主元高斯消元法解線性方程組。(計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留5位)。2、用牛頓埃爾米特插值法求滿足下列表中插值條件的四次插值多項(xiàng)式P4(x)，并寫(xiě)出其截?cái)嗾`差的表達(dá)式(設(shè)f(x)在插值區(qū)間上具有直到五階連續(xù)導(dǎo)數(shù))。xi012f(xi)1-13f (xi)153、對(duì)下面的線性方程組變化為等價(jià)的線性方

6、程組，使之應(yīng)用雅克比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ň諗?，?xiě)出變化后的線性方程組及雅克比迭代法和高斯賽德?tīng)柕ǖ牡?，并?jiǎn)單說(shuō)明收斂的理由。4、設(shè)y=sinx，當(dāng)取x0=1.74, x1=1.76, x2=1.78建立拉格朗日插值公式計(jì)算x=1.75的函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值y0, y1, y2應(yīng)取幾位小數(shù)?5、已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)y=f(x)的如下數(shù)據(jù)：xi-0.110.001.501.80f(xi)-1.23-0.101.171.58若用插值法計(jì)算，x約為多少時(shí)f(x)=1。(計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留5位)。6、應(yīng)用牛頓法于方程 ，導(dǎo)出求的迭代公式，并用此公式求的值。（計(jì)算時(shí)小數(shù)點(diǎn)后保留4位)。2013級(jí)建

7、測(cè)學(xué)院數(shù)值分析期末試卷21. 數(shù)值積分公式形如（15）(1) 試確定求積公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高.并求出其代數(shù)精度。(2) 已知該求積公式余項(xiàng)試求出余項(xiàng)中的參數(shù)。（1）解：時(shí)，左，右，左右得：時(shí)，左，右，左右得： 時(shí)，左，右，左右得： 聯(lián)立上述三個(gè)方程，解得： 時(shí)，左，右，左右所以，該求積公式的代數(shù)精度是2 （2）解：過(guò)點(diǎn)0，1構(gòu)造的Hermite插值，因?yàn)樵撉蠓e公式代數(shù)精度為2，所以有： 其求積余項(xiàng)為： 所以， 2. 設(shè)初值問(wèn)題 .寫(xiě)出用改進(jìn)的Euler法解上述初值問(wèn)題數(shù)值解的公式，若，求解，保留兩位小數(shù)。（10分）.解：改進(jìn)的Euler公式是： 具體到本題中，求解的公式是： 代入

8、求解得：, 3. 分別用梯形公式，復(fù)化梯形公式計(jì)算積分：其中在用復(fù)化梯形公式求積分時(shí)，步長(zhǎng)。（10分）梯形公式為: 復(fù)化梯形公式為:具體到本題中,可知=4.用改進(jìn)的歐拉方法求解初值問(wèn)題：取步長(zhǎng)，計(jì)算過(guò)程中保留到小數(shù)點(diǎn)后四位。（10分）.改進(jìn)的Euler公式為:具體到本題中,則為經(jīng)化簡(jiǎn)為:所以:05.證明: 設(shè),左=右 左=右 ,右,左右所以,該公式具有一次代數(shù)精度.6. 用兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式求積分解：兩點(diǎn)Gauss-legrende求積公式為：所以7. 用歐拉法求解常微分方程組初值問(wèn)題：（10分）在0,0.4上的數(shù)值解,取步長(zhǎng)，計(jì)算過(guò)程中保留兩位小數(shù)。（10分）Euler

9、公式為:具體到本題中,則為又因?yàn)椋核陨鲜銮蠼夤娇苫?jiǎn)為:所以:；8.分別寫(xiě)出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯賽德?tīng)柕蠼夥匠探M： 的迭代公式.并判斷用高斯賽德?tīng)柕ㄇ蠼庠摲匠探M的收斂性。(15分).解:Jacibo迭代公式為:Gauss-Seidel迭代公式為:(2)解:設(shè)矩陣可分解為三個(gè)矩陣的和,即,其中所以, Gauss-Seidel迭代的迭代矩陣可求得所以,所以,用Gauss-Seidel迭代法求解該方程組是發(fā)散的.9.證明(10分)1.設(shè),已知插值節(jié)點(diǎn)且,證明:(1)在上的線性插值函數(shù)的誤差界為(2)二次插值多項(xiàng)式的誤差界為1證明: 因?yàn)槭窃谏系木€性插值函數(shù) 所以有插值余項(xiàng)公式可知其插值余項(xiàng)為：，其中即：令，易知：，所以：10. 證明: 因?yàn)槭窃谏系亩尾逯刀囗?xiàng)式可知其插值余項(xiàng)為：，其中即：令，令令，則所以， 11用Euler方法求解初值問(wèn)題取在區(qū)間計(jì)算,結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后4位。(10分）.解：Euler公式是：具體到本題中，求解的Euler公式是：代入求解得：12. 用LU分解法解線性方程組（10分）解，設(shè)A可以三解分解，即由矩陣的乘法及矩陣相等可得：， 令求解三角方程組：，得：