線性方程組的應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上線性方程組在現(xiàn)實中的應用線性方程組在現(xiàn)實生活中的應用非常廣泛的，不僅可以廣泛地應用于工程學，計算機科學，物理學，數(shù)學，經濟學，統(tǒng)計學，力學，信號與信號處理，通信，航空等學科和領域，同時也應用于理工類的后繼課程，如電路、理論力學、計算機圖形學、信號與系統(tǒng)、數(shù)字信號處理、系統(tǒng)動力學、自動控制原理等課程。為了更好的運用這種理論，必須在解題過程中有意識地聯(lián)系各種理論的運用條件，并根據(jù)相應的實際問題，通過適當變換所知，學會選擇最有效的方法來進行解題，通過熟練地運用理論知識來解決數(shù)學得問題. 一、 線性方程組的表示 1.按照線性方程組的形式表示有三種1）一般形式的表示2）向量形式

2、： 3）矩陣形式的表示 ：特別地，當時，稱為齊次線性方程組，而當時，稱為非齊次線性方程組2.按照次數(shù)分類又可分為兩類1）齊次線性方程組 2）非齊次線性方程組二、線性方程組的應用1.在經濟平衡中的應用假設一個經濟系統(tǒng)由三個行業(yè)：五金化工、能源（如燃料、電力等）、機械組成，每個行業(yè)的產出在各個行業(yè)中的分配見表1-1，每一列中的元素表示占該行業(yè)總產出的比例。以第二列為例，能源行業(yè)的總產出的分配如下：80%分配到五金化工行業(yè)，10%分配到機械行業(yè)，余下的供本行業(yè)使用。因為考慮了所有的產出，所以每一列的小數(shù)加起來必須等于1。把五金化工、能源、機械行業(yè)每年總產出的價格（即貨幣價值）分別用表示。試求出使得每

3、個行業(yè)的投入與產出都相等的平衡價格。表1-2 經濟系統(tǒng)的平衡產出分配購買者五金化工能源機械0.20.80.4五金化工0.30.10.4能源0.50.10.2機械解：從表1-2可以看出，沿列表示每個行業(yè)的產出分配到何處，沿行表示每個行業(yè)所需的投入。例如，第1行說明五金化工行業(yè)購買了80%的能源產出、40%的機械產出以及20%的本行業(yè)產出，由于三個行業(yè)的總產出價格分別是，因此五金化工行業(yè)必須分別向三個行業(yè)支付元。五金化工行業(yè)的總支出為。為了使五金化工行業(yè)的收入等于它的支出，因此希望。采用類似的方法處理表 1-2中第2、3行，同上式一起構成齊次線性方程組該方程組的通解為，此即經濟系統(tǒng)的平衡價格向量，

4、每個的非負取值都確定一個平衡價格的取值。例如，我們取為1.000億元，則億元，億元。即如果五金化工行業(yè)產出價格為1.417億元，則能源行業(yè)產出價格為0.917億元，機械行業(yè)的產出價格為1.000億元，那么每個行業(yè)的收入和支出相等。2.在物理電路中的應用設各節(jié)點的電流如圖所示，則由基爾霍夫第一定律（簡記為KCL）即電路中任一節(jié)點處各支路電流之間的關系：在任一節(jié)點處，支路電流的代數(shù)和在任一瞬時恒為零（通常把流入節(jié)點的電流取為負的，流出節(jié)點的電流取為正的）。該定律也稱為節(jié)點電流定律），有 對于節(jié)點A： 對于節(jié)點B：對于節(jié)點C： 對于節(jié)點D：于是求各個支路的電流就歸結為下面齊次線性方程組的求解 解之，

5、得其解為 其中: 由于i1,i2,i3,i4,i5,i6均為正數(shù)，所以通解中的3個任意常數(shù)應滿足以下條件： 如果則：3.在減肥食譜中的應用 下表是該食譜中的3種食物以及100克每種食物成分含有某些營養(yǎng)素的數(shù)量。營養(yǎng)每100克食物所含營養(yǎng)（g）減肥所要求的每日營養(yǎng)量脫脂牛奶大豆面粉乳清蛋白質36511333碳水化合物52347445脂肪071.13如果用這三種食物作為每天的主要食物，那么它們的用量應各取多少才能全面準確地實現(xiàn)這個營養(yǎng)要求？以100克為一個單位，為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，設每日需食用的脫脂牛奶x1個單位，大豆面粉x2個單位，乳清x3個單位，則由所給條件得解上方程組得，解為即為了保證減肥所要求的每日營養(yǎng)量，每日需食用脫脂牛奶27.72克，大豆面粉39.19克，乳清23.32克。 三、 應用總結 線性方程組的理論應用已經滲透到數(shù)學發(fā)展的許多分支，很多實際問題的處理最后往往歸結為比較容易處理的線性方程組