導數(shù)的文章李芳

1、導數(shù)問題的常見類型及解法李芳（肥城市職業(yè)教育中心校 山東 泰安 271600）摘要：導數(shù)的引入,為研究函數(shù)的性質(zhì),圖像等開辟了新的途徑.只有深刻理解導數(shù)作為特殊函數(shù)的幾何意義之所在,熟練掌握利用導數(shù)求極值,單調(diào)區(qū)間,函數(shù)在閉區(qū)間上的最值等基本方法,才能應用的得心應手.關鍵詞：導數(shù)的幾何意義 切線問題 函數(shù)性質(zhì)近幾年導數(shù)進入中學教學教材，給傳統(tǒng)的中學數(shù)學內(nèi)容注入了生機與活力.并且高考對導數(shù)的考察愈加關注. 不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大。以下我將結(jié)合某些高考題，談談高考中導數(shù)問題的常見類型及解法。 類型1-利用導數(shù)的幾何意義解決切線問題 函數(shù)y=f(x)在點x0處的幾何意

2、義,就是曲線在點p(x0,f(x0)處的切線斜率例1 若曲線的一條切線與直線垂直,求直線的方程. 解:由與直線垂直,則 設切點 由 則 故 切點為(1,1) 由此直線方程為 即例2已知函數(shù)在R上滿足，求曲線在點處的切線方程. 解：由得，即，切線方程為，即類型2-利用導數(shù)知識研究函數(shù)性質(zhì)運用導數(shù)的有關知識研究函數(shù)的性質(zhì).如單調(diào)性,極值和最值問題.例3設函數(shù)（）討論的單調(diào)性；（）求在區(qū)間的最大值和最小值解：的定義域為（）當時，；當時，；當時，從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少（）由（）知在區(qū)間的最小值為又所以在區(qū)間的最大值為例4設函數(shù).（）若曲線在點處與直線相切，求的值；（）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)

3、間與極值點.解:（）,曲線在點處與直線相切，（）,當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有極值點.當時，由，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時是的極大值點，是的極小值點.類型3利用導數(shù)處理含參數(shù)的恒成立的不等式問題恒成立問題是不等式與函數(shù)結(jié)合的常見題型,關鍵是利用導數(shù)的作用求解函數(shù)的最值形式,從而解決參數(shù)的范圍問題.例5設函數(shù)=其中求的取值范圍,使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).解:函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù),即或在上恒成立. 由,得在上的最小值是0,所以此與題設矛盾. 由,得在上連續(xù)遞增,且所有值都小于1,所以綜合可知,當時,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù). 例6設函數(shù)（）求的最小值；（）

4、若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（），當時，取最小值，即（）令，由得，（不合題意，舍去）當變化時，的變化情況如下表：遞增極大值遞減在內(nèi)有最大值在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立，即等價于，所以的取值范圍為類型4-利用導數(shù)處理實際生活中的優(yōu)化問題 在解決實際生活中的最值時,以往是在建立目標函數(shù)后,通過拼湊變形轉(zhuǎn)化為符合二元均值不等式的形式求最值.而如何拼湊是一個難點,不易把握.而運用導數(shù)的知識求目標函數(shù)的最值則非常的簡單.例7 用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2：1，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？解：設長方體的寬為x（m），則長為2

5、x(m)，高為.故長方體的體積為從而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.當0x1時，V（x）0；當1x時，V（x）0，故在x=1處V（x）取得極大值，并且這個極大值就是V（x）的最大值。從而最大體積VV（x）9×12-6×13（m3），此時長方體的長為2 m，高為1.5 m.答：當長方體的長為2 m時，寬為1 m，高為1.5 m時，體積最大，最大體積為3 m3。例8某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預測，一個橋墩的工程費用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費用為萬元。假設橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點，且不考慮其他因素，記余下工程的費用為萬元。 （）試寫出關于的函數(shù)關系式； （）當=640米時，需新建多少個橋墩才能使最??？解 （）設需要新建個橋墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當0<<64時<0， 在區(qū)間（0，64）內(nèi)為減函數(shù)； 當時，>0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時，答:需新建9個橋墩才能使最小。導數(shù)的引入,為研究函數(shù)的性質(zhì),圖像等開辟了新的途徑.只有深刻理解導數(shù)作為特殊函數(shù)的幾何意義之所在,熟練