導(dǎo)數(shù)與積分x68809

1、09高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義導(dǎo)數(shù)概念與運(yùn)算知識(shí)清單1導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函數(shù)y=f（x）在x到x+之間的平均變化率，即=。如果當(dāng)時(shí)，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，記作f（x）或y|。即f（x）=。說明：（1）函數(shù)f（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點(diǎn)x處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)。（2）是自變量x在x處的改變量，時(shí)，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的步驟（可由學(xué)生來歸納）：（1）求函數(shù)的增量=

2、f（x+）f（x）；（2）求平均變化率=；（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)f(x)=。2導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x，f（x）處的切線的斜率是f（x）。相應(yīng)地，切線方程為yy=f/（x）（xx）。3幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù): ; ; ; .4兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： (法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘

3、以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法則3：兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解求導(dǎo)回代。法則：y|= y| ·u|09級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義導(dǎo)數(shù)應(yīng)用知識(shí)清單1 單調(diào)區(qū)間：一般地，設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有，則為常數(shù)；2極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；3最值：一般地，在區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f在a，b上必有最大值與最小值。求

4、函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值；求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的值(a)、(b)；將函數(shù) 的各極值與(a)、(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定積分（1）概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點(diǎn)ax0<x1<<xi1<xi<xnb把區(qū)間a，b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1，xi上取任一點(diǎn)i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x為小區(qū)間長度），把n即x0時(shí)，和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作：，即(i)x。這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做

5、被積式。基本的積分公式：C；C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均為常數(shù)）。（2）定積分的性質(zhì)（k為常數(shù)）；（其中acb。（3）定積分求曲邊梯形面積由三條直線xa，xb（a<b），x軸及一條曲線yf（x）(f(x)0)圍成的曲邊梯的面積。如果圖形由曲線y1f1(x)，y2f2(x)（不妨設(shè)f1(x)f2(x)0），及直線xa，xb（a<b）圍成，那么所求圖形的面積SS曲邊梯形AMNBS曲邊梯形DMNC。課前預(yù)習(xí)1求下列函數(shù)導(dǎo)數(shù)（1） （2） （3）（4）y= （5）y2若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A B C D3過點(diǎn)（1，0）作拋物

6、線的切線，則其中一條切線為（ ） （A） （B） （C） （D）4半徑為r的圓的面積S(r)r2,周長C(r)=2r，若將r看作(0，)上的變量，則(r2)2r ，式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于的式子： ；式可以用語言敘述為： 。5曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是 。6對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）³0，則必有（ ）Af（0）f（2）<2f（1） B. f（0）f（2）£2f（1）Cf（0）f（2）³2f（1） D. f（0）f（2）&g

7、t;2f（1）7函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D 4個(gè)8已知函數(shù)。（）設(shè)，討論的單調(diào)性；（）若對(duì)任意恒有，求的取值范圍。9在區(qū)間上的最大值是（ ）(A)2 (B)0 (C)2 (D)410設(shè)函數(shù)f(x)= （）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（）討論f(x)的極值。11設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，該平面上動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).求(I)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(II)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.12請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂

8、點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？13計(jì)算下列定積分的值（1）（2）；（3）；（4）；14（1）一物體按規(guī)律xbt3作直線運(yùn)動(dòng)，式中x為時(shí)間t內(nèi)通過的距離，媒質(zhì)的阻力正比于速度的平方試求物體由x0運(yùn)動(dòng)到xa時(shí)，阻力所作的功。（2）拋物線y=ax2bx在第一象限內(nèi)與直線xy=4相切此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S求使S達(dá)到最大值的a、b值，并求Smax典型例題一 導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算EG：如果質(zhì)點(diǎn)A按規(guī)律s=2t3運(yùn)動(dòng)，則在t=3 s時(shí)的瞬時(shí)速度為（ ）A. 6m/s B. 18m/s C. 54m/s D. 81m/s變式：定義在D上的函數(shù)，如果滿足：，常數(shù)，都有M成立，則稱是D

9、上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)的上界.【文】（1）若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，要使在上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【理】（2）若已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為，要使在上的每一時(shí)刻的瞬時(shí)速度是以M=1為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG：已知的值是（ ）A. B. 2 C. D. 2變式1：（ ）A2C3D1變式2：（ ）ABCD根據(jù)所給的函數(shù)圖像比較變式：函數(shù)的圖像如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（ ） A. y B. C. D. O 1 2 3 4 x EG：求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：。變式：設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0時(shí),0.且g(3)=

10、0.則不等式f(x)g(x)0的解集是A(3,0)(3,+) B(3,0)(0, 3)C(, 3)(3,+) D(, 3)(0, 3)EG：已知函數(shù).(1)求這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）求這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程.變式1：已知函數(shù).（1）求這個(gè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線的方程；（2）過原點(diǎn)作曲線yex的切線，求切線的方程.變式2：函數(shù)yax21的圖象與直線yx相切，則a( )A. B. C. D. 1EG：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：變式1：函數(shù)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是A. B. C. D. 變式2：已知函數(shù)(1)若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-3，1），則的是 . (2)若函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則的取值范

11、圍是 .變式3： 設(shè)，點(diǎn)P（，0）是函數(shù)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.（）用表示a，b，c；（）若函數(shù)在（1，3）上單調(diào)遞減，求的取值范圍.EG：求函數(shù)的極值.求函數(shù)在上的最大值與最小值.變式1： 函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè)D4個(gè)變式2：已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示.求：（）的值；（）的值.變式3：若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)極值，（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)有3個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍變式4：已知函數(shù)，對(duì)xÎ1，2，不等式f（x）<c2恒成立，求c的取值范

12、圍。EG：利用函數(shù)的單調(diào)性，證明：變式1：證明：，變式2：（理科）設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2ln(1+x)2.若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在0，2上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.EG： 函數(shù)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍 變式1:設(shè)函數(shù)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式2:如圖,曲線段OMB是函數(shù)的圖象,軸于點(diǎn)A,曲線段OMB上一點(diǎn)M處的切線PQ交x軸于點(diǎn)P,交線段AB于點(diǎn)Q，(1)若t已知,求切線PQ的方程 (2)求的面積的最大值變式3:用長為90cm，寬為48cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻折900角，再焊接而成，問該容器的高為多

13、少時(shí)，容器的容積最大？最大的容積是多少？變式4:某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的總成本（萬元），已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬元，產(chǎn)量定為多少時(shí)總利潤最大？EG：計(jì)算下列定積分：（理科定積分、微積分）變式1：計(jì)算：；（1）；（2）變式2： 求將拋物線和直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積.變式3：在曲線上某一點(diǎn)A處作一切線使之與曲線以及軸所圍的面積為，試求：（1）切點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）在切點(diǎn)A的切線方程. 實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1. 設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，y=f(x)的圖象如右圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=f ¢(x)的圖象可能為() 2. 已知曲線S:y=3xx3

14、及點(diǎn),則過點(diǎn)P可向S引切線的條數(shù)為( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)33. C設(shè)S上的切點(diǎn)求導(dǎo)數(shù)得斜率，過點(diǎn)P可求得:.4. 函數(shù)在下面哪個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)（ ）. 5. y=2x33x2+a的極大值為6，那么a等于( ) (A)6 (B)0 (C)5(D)16. 函數(shù)f(x)x33x+1在閉區(qū)間-3，0上的最大值、最小值分別是( ) (A)1，1 (B)3，-17(C)1，17 (D)9，197.設(shè)l1為曲線y1=sinx在點(diǎn)(0，0)處的切線，l2為曲線y2=cosx在點(diǎn)(,0)處的切線，則l1與l2的夾角為_. 8. 設(shè)函數(shù)f (x)=x3+ax2+bx1，若當(dāng)x=1時(shí)，有極值為1

15、，則函數(shù)g(x)=x3+ax2+bx的單調(diào)遞減區(qū)間為 . 9（07湖北）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是，則 10（07湖南）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 11（07浙江）曲線在點(diǎn)處的切線方程是 9. 已知函數(shù)（）若函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率小于1，求證：；（）若，函數(shù)圖像上任意一點(diǎn)處的切線的斜率為，試討論的充要條件。12(07安徽)設(shè)函數(shù)f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,xR,其中1，將f(x)的最小值記為g(t).()求g(t)的表達(dá)式；()詩論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練B1（07福建）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，且時(shí)，則時(shí)（ ）ABCD2（07海南）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ）3（07海南）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為（ ）4（07江蘇）已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值為（ ）A B C D5（07江西）5若，則下列命題中正確的是（）ABCD6（07江西）若，則下列命題正確的是（ ）ABCD7（07遼寧）已知與是定義在上的連續(xù)函數(shù)，如果與僅當(dāng)時(shí)的函數(shù)值為0，且，那么下列情形不可能出現(xiàn)的是（ ）A0是的極大值，也是的極大值B0是的極小值，也是的極小值C0是的極大值，但不是的極值D0是的極小值，但不是的極值8（07全國一）曲線在點(diǎn)處的切線與