基本不等式時

1、課題: §3.4基本不等式第1課時授課類型：新授課【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1知識與技能：學(xué)會推導(dǎo)并掌握基本不等式，理解這個基本不等式的幾何意義，并掌握定理中的不等號“”取等號的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個數(shù)相等；2過程與方法：通過實例探究抽象基本不等式；3情態(tài)與價值：通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)來源于生活，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣【能力培養(yǎng)】培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、規(guī)范的學(xué)習(xí)能力，辯證地分析問題的能力，學(xué)以致用的能力，分析問題、解決問題的能力。【教學(xué)重點】應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式，并從不同角度探索不等式的證明過程；【教學(xué)難點】基本不等式等號成立條件【板書設(shè)計】課題: §3.4基本不等式（第1課時）1.課題導(dǎo)

2、入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2.講授新課1問題探究探究圖形中的不等關(guān)系。2總結(jié)結(jié)論： 3思考證明：你能給出它的證明嗎？補充例題3.隨堂練習(xí)4.課時小結(jié)5、能力提高【教學(xué)過程】1.課題導(dǎo)入基本不等式的幾何背景：如圖是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，會標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風(fēng)車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖案

3、中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生從面積的關(guān)系去找相等關(guān)系或不等關(guān)系。2.講授新課1問題探究探究圖形中的不等關(guān)系。將圖中的“風(fēng)車”抽象成如圖，在正方形ABCD中右個全等的直角三角形。設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為a,b那么正方形的邊長為。這樣，4個直角三角形的面積的和是2ab，正方形的面積為。由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，我們就得到了一個不等式：。當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即a=b時，正方形EFGH縮為一個點，這時有。2總結(jié)結(jié)論：一般的，如果3思考證明：你能給出它的證明嗎？證明：因為 當(dāng)所以，即41）從幾何圖形的面積關(guān)系認識基本不等式特別的，如果a>0,b>

4、;0,我們用分別代替a、b ，可得，通常我們把上式寫作： 2）從不等式的性質(zhì)推導(dǎo)基本不等式用分析法證明：要證 (1)只要證 a+b (2)要證（2），只要證 a+b- 0 （3）要證（3），只要證 （ - ） （4）顯然，（4）是成立的。當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，（4）中的等號成立。 3）理解基本不等式的幾何意義探究：課本第110頁的“探究”在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，AC=a,BC=b。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。你能利用這個圖形得出基本不等式的幾何解釋嗎？易證tADtDB，那么D2A·B即D.這個圓的半徑為，顯然，它大于或等于CD，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點C與

5、圓心重合，即ab時，等號成立.因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”評述：1.如果把看作是正數(shù)a、b的等差中項，看作是正數(shù)a、b的等比中項，那么該定理可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項.2.在數(shù)學(xué)中，我們稱為a、b的算術(shù)平均數(shù)，稱為a、b的幾何平均數(shù).本節(jié)定理還可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).補充例題例1 已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)2；(2)（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.分析：在運用定理：時，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進行變形.解：x，y都是正數(shù) 0，0，x20，y20，x30，y30(1

6、)2即2.(2)xy20 x2y220 x3y320（xy）（x2y2）（x3y3）2·2·2x3y3即（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.3.隨堂練習(xí)1.已知a、b、c都是正數(shù)，求證（ab）（bc）（ca）abc分析：對于此類題目，選擇定理：（a0，b0）靈活變形，可求得結(jié)果.解：a，b，c都是正數(shù)ab20bc20ca20（ab）（bc）（ca）2·2·2abc即（ab）（bc）（ca）abc.4.課時小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2b22ab；兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)（），幾何平均數(shù)（）及它們的關(guān)系（）.它們成立的條件不同，前者只要求a、b

7、都是實數(shù)，而后者要求a、b都是正數(shù).它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具(下一節(jié)我們將學(xué)習(xí)它們的應(yīng)用).我們還可以用它們下面的等價變形來解決問題：ab，ab（）2.基本不等式他們繼續(xù)往前走。走到了沃野，他們決定停下。被打巴掌的那位差點淹死，幸好被朋友救過來了。被救起后，他拿了一把小劍在石頭上刻了：“今天我的好朋友救了我一命?！币慌院闷娴呐笥褑柕剑骸盀槭裁次掖蛄四阋院竽阋獙懺谏匙由?，而現(xiàn)在要刻在石頭上呢？”另一個笑笑回答說：“當(dāng)被一個朋友傷害時，要寫在易忘的地方，風(fēng)會負責(zé)抹去它；相反的如果被幫助，我們要把它刻在心靈的深處，任何風(fēng)都抹不去的。”朋友之間相處，傷害往往是無心的，幫助

8、卻是真心的。在日常生活中，就算最要好的朋友也會有摩擦，也會因為這些摩擦產(chǎn)生誤會，以至于成為陌路。友情的深淺，不僅在于朋友對你的才能欽佩到什么程度，更在于他對你的弱點容忍到什么程度。學(xué)會將傷害丟在風(fēng)里，將感動銘記心底，才可以讓我們的友誼歷久彌新！友誼是我們哀傷時的緩和劑，激情時的舒解劑；是我們壓力時的流瀉口，是我們?yōu)碾y時的庇護所；是我們猶豫時的商議者，是我們腦子的清新劑。但最重要的一點是，我們大家都要牢記的：“切不可苛求朋友給你同樣的回報，寬容一點，對自己也是對朋友?！睈垡蛩固拐f：“世間最美好的東西，莫過于有幾個頭腦和心地都很正直的朋友?！彼麄兝^續(xù)往前走。走到了沃野，他們決定停下。被打巴掌的那位

9、差點淹死，幸好被朋友救過來了。被救起后，他拿了一把小劍在石頭上刻了：“今天我的好朋友救了我一命。”一旁好奇的朋友問到：“為什么我打了你以后你要寫在沙子上，而現(xiàn)在要刻在石頭上呢？”另一個笑笑回答說：“當(dāng)被一個朋友傷害時，要寫在易忘的地方，風(fēng)會負責(zé)抹去它；相反的如果被幫助，我們要把它刻在心靈的深處，任何風(fēng)都抹不去的?！迸笥阎g相處，傷害往往是無心的，幫助卻是真心的。在日常生活中，就算最要好的朋友也會有摩擦，也會因為這些摩擦產(chǎn)生誤會，以至于成為陌路。友情的深淺，不僅在于朋友對你的才能欽佩到什么程度，更在于他對你的弱點容忍到什么程度。學(xué)會將傷害丟在風(fēng)里，將感動銘記心底，才可以讓我們的友誼歷久彌新！友誼是我們哀傷時