固體物理第三章

1、班級 成績 學號 Chapter 3 晶格振動與晶體的熱學性質 姓名 (lattice vibration and its heat characteristics)一、簡要回答下列問題(answer the following questions): 1、在晶格常數(shù)為a的一維單原子晶格中，波長=8a和波長=8a/5的格波所對應的原子振動狀態(tài)有無不同? 試畫圖加以說明。答對于一維單原子鏈，由q=2知，8a時，q4a，8a5時，q54a，二者的aq相差，不是2的整數(shù)倍，因此，兩個格波所對應的原子振動狀態(tài)不同。如上圖，當兩個格波的位相差為2的整數(shù)倍時，則它們所對應的原子的振動狀態(tài)相同。 2、什么叫

2、簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是否是一回事？答在簡諧振動下，由N個原子構成的晶體的晶格振動，可等效成3N個獨立的諧振子的振動，每一個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式。格波振動通常是這3N個簡正振動模式的線性疊加。簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是是一回事，其數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度之和，即等于3N。 3、晶體中聲子數(shù)目是否守恒？在極低溫下，晶體中的聲子數(shù)與溫度T之間有什么樣的關系？答頻率為i的格波的平均聲子數(shù)為 ： 即每一個格波的聲子數(shù)都與溫度有關，因此晶體中的聲子數(shù)目不守恒，它隨溫度的改變而改變。以德拜模型為例。晶體中的聲子數(shù)目為 其中令 則 在極低溫度

3、下，DT，于是 即在溫度極低時，晶體中的聲子數(shù)目與T3成正比。 4、愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源是什么？而在極低溫度下，德拜模型為什么與實驗相符？答愛因斯坦模型的格波的頻率大約為1013Hz，屬于光學支頻率。而光學格波在低溫時對熱容的貢獻非常小，低溫下對熱容貢獻大的主要是長聲學波。所以愛因斯坦模型在低溫下與實驗存在偏差的根源是沒有考慮聲學波對熱容的貢獻。 在極低溫度下，不僅光學波得不到激發(fā)，而且聲子能量較大的短聲學格波因為未能被激發(fā)，得到的激發(fā)只是聲子能量較小的長聲學格波。長聲學格波即彈性波。德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻。因此，溫度越低，德拜模型與實驗結果符合得越好。 5、格波

4、與彈性波有何不同？答格波與彈性波相比都具有波的形式,但兩者又有不同之處:(1) 對于一維單原子鏈格波解為: 彈性波的解為: 在彈性波的解中, x表示空間任意一點,而在格波解中只能取na 格點的位置.(2) 彈性波的色散關系是線性的，cq, c 是彈性波的波速;而格波的色散關系: 所表示的是周期函數(shù): , 且 有極大值 。但當q 很小時，一維單原子鏈的色散關系與連續(xù)彈性介質波的色散關系趨于一致:而且c 就是把原子鏈看成彈性鏈時,彈性波的波速. 6、長聲學波能否導致離子晶體的宏觀極化？答長光學波所以能導致離子晶體的宏觀極化，其根源是長光學波使得原胞內不同的原子（正負離子）產(chǎn)生了相對位移。長聲學波的

5、特點是，原胞內所有的原子沒有相對位移。因此，長聲學格波不能導致離子晶體的宏觀極化。 7、在絕對零度時還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換嗎？答頻率為i的格波的振動能為 ，其中是由n i個聲子攜帶的熱振動能，是零點振動能，聲子數(shù) ，在絕對零度時，聲子數(shù)為零，頻率為i的格波的振動能只剩下零點振動能。 格波間交換能量使靠聲子實現(xiàn)的，在絕對零度時，聲子數(shù)為零，格波間不再交換能量。8、聲子數(shù)代表的物理意義是什么？為什么說聲子是玻色子？答聲子是指格波的量子，它的能量等于。一個格波，也就是一種振動模，稱為一種聲子。所以，聲子數(shù)代表晶格振動的格波數(shù)。 在一定溫度下，平均聲子數(shù)遵從愛因斯坦玻色分布，二、填

6、空題(fill in the blanks)（并用英語表示）： 1、在一定溫度下，晶格原子獲得能量做熱運動，于是各晶格原子將偏離其平衡位置；另一方面，由于原子間存在相互作用，使各原子又受到使其回到平衡位置的恢復力作用，結果，晶格各原子都在其平衡位置附近做微振動，這就是 晶格振動 。2、晶格振動的角頻率隨波數(shù)q變化，即允許的振動頻率與波長有關，晶格振動的這種變化關系（q關系），稱為晶格振動的色散關系 或晶格振動的 振動譜 。3、晶格振動具有能量，其對固體比熱的貢獻，稱為 晶格比熱 。按照量子理論,晶格比熱為 .4、 由N個原胞組成的一維雙原子鏈，q 可以取 N 個不同的值，每個q 對應 2 個解

7、，因此總共有 2N 個不同的格波。 5、在三維晶格中，對一定的波矢q ，有 3 支聲學波， 3(n1) （n為一個原胞中的原子數(shù)） 支光學波。三、解釋下列物理概念(explain the following physics concepts)：1、格波 答 晶格振動是晶體中諸原子（離子）集體地在作振動，由于晶體內原子間有相互作用，存在相互聯(lián)系，各個原子的振動間都存在著固定的位相關系，從而形成各種模式的波，即各晶格原子在平衡位置附近作振動時，將以前進波的形式在晶體中傳播，這種波稱為格波。簡單地說，由于晶格具有周期性，晶格的振動模具有波的形式，稱為格波(lattice wave)。2、長聲學波和長

8、光學波答波長很長（比原胞的線度大得多），即波矢q很小的聲學波，稱為長聲學波。長聲學波可以近似地被認為是彈性波。 波長很長（比原胞的線度大得多），即波矢q很小的光學波，稱為長光學波。對于光學波，原胞中不同原子的振動方向相反，容易產(chǎn)生極化，所以長光學波又稱為極化波。3、三聲子過程非諧作用是指勢能展開式中三次以上的高階項。勢能三次方項對應三聲子過程，指兩個聲子碰撞產(chǎn)生另一個聲子或一個聲子劈裂成兩個聲子的過程，而且聲子之間的相互作用遵從能量守恒和動量守恒定律。4、非簡諧效應當考慮到原子的相互作用勢中的3以上的高次項時出現(xiàn)的種種效應叫非簡諧效應。這時格波之間可以有相互作用，聲子之間也可以交換能量。非簡諧

9、項的存在是晶格振動達到熱平衡的最主要的原因，只有考慮到非簡諧項的存在也才能解釋晶體的熱膨脹和熱傳導等現(xiàn)象。5、局域振動當晶體中存在有雜質或缺陷時，就可能產(chǎn)生局域振動，這種局域振動只是局限在雜質（或缺陷）的附近，其振幅隨著與雜質（或缺陷）的距離增大而指數(shù)的衰減。所以，局域振動是局限在雜質（或缺陷）附近的晶格振動稱為局域振動（localized vibration）。四、已知一維單原子鏈，其中第j個格波，在第n個格點引起的位移nj為 j為任意相位因子。并已知在較高溫度下每個格波的平均能量為kT ，具體計算每個原子的平方平均位移。解任一原子的位移是所有格波所引起的位移的疊加， 即 （1）原子位移的長

10、時間平均值 由于njnj的數(shù)目非常大，為N 2（N 為原子數(shù)）數(shù)量級，而且取正或取負的幾率相等，因此上式中的第二項與第一項相比是一小量，可以略去不計，所以 由于nj是時間t 的周期性函數(shù)，其長時間平均等于一個周期內的時間平均值，因此已知在較高溫度下每個格波的能量為kT，nj的動能的時間平均值為： 其中，L是原子鏈的長度，是質量密度，T0為周期。 （3） 因此 將上式代入（2）式有 所以每個原子的平方平均位移為 而=m/a,L=Na五、求出一維原子鏈的頻率分布函數(shù)。解 1、一維單原子鏈的情況對于一維情況，q 空間的密度為L2,L=Na為單原子鏈的長度,其中a 為原子間距,N 為原子數(shù)目.則在dq

11、 間隔內的振動模式數(shù)為(L2)dq. d 頻率間隔內的振動模式數(shù)為等式右邊的2 來源于(q) 具有中心反演對稱,q 0與q 0 區(qū)間是完全等價的.從而有 (1)只考慮最近鄰相互作用時,一維單原子鏈的色散關系為 其中m 為最大頻率.代入(1)式可以得到 2、一維雙原子鏈情況所以 代入(1)式有六、設三維晶格的光學振動在q0附近的長波極限有 (q)=0-Aq2 求證：頻率分布函數(shù)為 0 證明 由 以及 有 當0 時, 根號下為負值,q 不存在, 所以有f()=0七、寫出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明 量子諧振子系統(tǒng)的自由能為經(jīng)典極限意味著（溫度較高）應用 所以 因此 其中

12、八、設晶體中每個振子的能量為 ，試用德拜模型求晶體的零點振動能。解 根據(jù)量子力學, 零點正動能是諧振子所固有的,與溫度無關, 故T=0 K時的振動能就是各振動模零點能之和 而 對于德拜模型 所以有 但 所以 九、試由格臨愛森方程 導出固體的體積熱脹系數(shù) 。解 熱膨脹是指在不施加力的情況下,體積的變化與溫度的關系.因此,令格林愛森方程中的P=0, 有 (1)對于大多數(shù)固體來說,體積的變化不大,因此可以將(dU/dV)在靜止的晶格的平衡體積V0點展開只取到V 的線性項, 則有 將上式寫成 并將兩邊對T求微商, 則有 式中K0為T=0時的體彈性模量, Cv為固體的熱容.十、對一維簡單格子，按德拜模型，求出晶格熱容，并討論高低溫極限。解