和倍差倍問題和差問題問題講義及練習答案優(yōu)質的

1、第一講 和倍問題和倍問題是已知大小兩個數的和與它們的倍數關系，求大小兩個數的應用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關系，以便于找到解題的途徑。例1 甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析 設乙班的圖書本數為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數的和相當于乙班圖書本數的4倍.還可以理解為4份的數量是160本，求出1份的數量也就求出了乙班的圖書本數，然后再求甲班的圖書本數.用下圖表示它們的關系：解：乙班：160÷（3+1）=40（本）甲班：40×3=120（本）

2、或 160-40=120（本）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應用題解答完了，怎樣驗算呢？可把求出的甲班本數和乙班本數相加，看和是不是160本；再把甲班的本數除以乙班本數，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對了.注意驗算決不是把原式再算一遍。驗算：12040=160（本）120÷40=3（倍）。例2 甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？分析 解這題的關鍵是找出哪個量是變量，哪個量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書

3、的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。解：甲、乙兩班共有圖書的本數是：30120=150（本）甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數是：213（倍）乙班現(xiàn)有的圖書本數是：150÷3=50（本）甲班給乙班圖書本數是：50-30=20（本）綜合算式：（30120）÷（2+1）=50（本）50-30=20（本）答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗算：（120-20）÷（30+20）2（倍）（120-20）+（30+20

4、）150 （本）。例3 光明小學有學生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析 把女生人數看作一份，由于男生人數比女生人數的3倍還少40人，如果用男、女生人數總和760人再加上40人，就等于女生人數的4倍（見下圖）。解：女生人數：（76040）÷（31）=200（人）男生人數：200×3-40=560（人）或 760-200=560（人）答：男生有560人，女生有200人。驗算：560200=760（人）（560+40）÷200=3（倍）。例4 果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨

5、樹和蘋果樹各有多少棵？分析 下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數為標準、作為1份數容易解答.又知三種樹的總數是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再從桃樹里減少12棵，那么就相當于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當于梨樹棵數的4倍。解：梨樹的棵數：（55220-12）÷（112）=560÷4=140（棵）桃樹的棵數：140×212=292（棵）蘋果樹的棵數： 140-20=120（棵）答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5 549是甲、

6、乙、丙、丁4個數的和.如果甲數加上2，乙數減少2，丙數乘以2，丁數除以2以后，則4個數相等.求4個數各是多少？分析 上圖可以看出，丙數最小.由于丙數乘以2和丁數除以2相等，也就是丙數的2倍和丁數的一半相等，即丁數相當于丙數的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據這些倍數關系，可以先求出丙數，再分別求出其他各數。解：丙數是：（5492-2）÷（2214）=549÷9=61甲數是：61×2-2=120乙數是：61×22=124丁數是：61×4=244驗算：120+12461+244=5491202=122 124-2=12261

7、×2122 244÷2122答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.習題解答1.小明的本數：120÷（21）=40（本）.小強的本數：40×2=80（本）。2.杏樹的棵數：（340-20）÷（31）=80（棵）.桃樹的棵數：80×320=260（棵）。3.長方形的寬：（30÷2）÷（21）=5（厘米）.長方形的長： 5×2=10（厘米）。長方形的面積：10×5=50（平方厘米）。4.甲、乙兩水池共有水：26001200=3800（立方米）甲水池剩下的水：3800÷（4+1

8、）=760（立方米）甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）經過的時間（分鐘）：1840÷2380（分鐘）。5.甲、乙兩桶油總重量：470+190=660（千克）：當甲桶油是乙桶油2倍時，乙桶油是：660÷（2+1）=220（千克）：由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。6.變化后的繩子總長 95-78=96（米）.第二條繩長： 96÷（11+1）=32（米）。第一條繩長：327=39（米）。第三條繩長：32-8=24（米）.第二講 差倍問題前面講了應用線段圖分析“和倍”應用題，這種方法使分析的問題具體、形象，使我們能比較順利地解

9、答此類應用題.下面我們再來研究與“和倍”問題有相似之處的“差倍”應用題?！安畋秵栴}”就是已知兩個數的差和它們的倍數關系，求這兩個數。差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1倍量，再畫圖確定解題方法.被除數的數量和除數的倍數關系要相對應，相除后得到的結果是一倍量，然后求出另一個數，最后再寫出驗算和答題。例1 甲班的圖書本數比乙班多80本，甲班的圖書本數是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析 上圖把乙班的圖書本數看作1倍，甲班的圖書本數是乙班的3倍，那么甲班的圖書本數比乙班多2倍.又知“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍與80本相對應，可以理解為2倍是80本，這樣可以算出1倍是多

10、少本.最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：乙班的本數： 80÷（3-1）=40（本）甲班的本數： 40×3=120（本）或4080=120（本）。驗算：120-4080（本）120÷40=3（倍）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。例2 菜站運來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運來的白菜和蘿卜各是多少千克？分析 這樣想：根據“菜站運來的白萊是蘿卜的3倍”應把運來的蘿卜的重量看作1倍；“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說明運來的白菜比蘿卜多1800-300=15

11、00（千克）.從上圖中清楚地看到這個重量相當于蘿卜重量的3-1=2（倍），這樣就可以先求出運來的蘿卜是多少千克，再求運來的白菜是多少千克。解：運來蘿卜：（1800-300）÷（3-1）=750（千克）運來白菜： 750×3=2250（千克）驗算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分）答：菜站運來白菜2250千克，蘿卜750千克。例3 有兩根同樣長的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時第二根長度是第一根長的3倍，兩根繩子原來各長多少米？分析 上圖，兩根繩子原來的長度一樣長，但是從第一根截去12米，第二根繩子又

12、接上14米后，第二根的長度是第一根的3倍.應該把變化后的第一根長度看作1倍，而12+14=26（米），正好相當于第一根繩子剩下的長度的2倍.所以，當從第一根截去12米后剩下的長度可以求出來了，那么第一根、第二根原有長度也就可以求出來了。解：第一根截去12米剩下的長度：（12+14）÷（3-1）13（米）兩根繩子原來的長度：131225（米）答：兩根繩子原來各長25米。自己進行驗算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長.小結：解答這類題的關鍵是要找出兩個數量的差與兩個數量的倍數的差的對應關系.用除法求出1倍數，也就是較小的數，再求幾倍數。解題規(guī)律：差

13、47;倍數的差=1倍數（較小數）1倍數×幾倍=幾倍的數（較大的數）或：較小的數+差=較大的數。例4 三（1）班與三（2）班原有圖書數一樣多.后來，三（1）班又買來新書74本，三（2）班從本班原書中拿出96本送給一年級小同學，這時，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書各多少本？分析 兩個班原有圖書一樣多.后來三（1）班又買新書74本，即增加了74本；三（2）班從本班原有圖書中取出96本送給一年級同學，則圖書減少了96本.結果是一個班增加，另一個班減少，這樣兩個班圖書就相差96+74170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本圖書.又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班

14、圖書的3倍，可見這170本圖書就相當于三（2）班所剩圖書的3-1=2倍，三（2）班所剩圖書本數就可以求出來了，隨之原有圖書本數也就求出來了（見上圖）。解：后來三（1）班比三（2）班圖書多多少本？7496=170（本）三（2）班剩下的圖書是多少本？170÷（3-1）=85（本）三（2）班原有圖書多少本？8596=181（本）（兩個班原有圖書一樣多）綜合算式：（7496）÷（3-1）96170÷2+968596=181（本）驗算：181+74=255（本）181-96=85（本）255÷85=3（倍）答：兩班原來各有圖書181本。例5 兩塊同樣長的花布，第一

15、塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？分析 已知兩塊花布同樣長，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12（米）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一塊所剩布的長度即可求出（見上圖）。解：第二塊布比第一塊布多剩多少米？31-1912（米）第一塊布剩下多少米？12÷（4-1）=4（米）第一塊布原有多少米？4+31=35（米）（兩塊布原有長度相等）綜合列式：（31-19）÷（4-1）+31=12&#

16、247;3+31=431=35（米）驗算：35-31=4（米）35-1916（米）16÷44（倍）答：每塊布原有35米長。習題八解答1.一頭牛重量是：4500÷（10-1）=500（千克）一只大象重量：500×10=5000（千克）。2.杏樹棵數：90÷（3-1）=45（棵）桃樹棵數：45×3=135（棵）。3.把第二塊布剩下的米數看作1倍數：（74-50）÷（3-1）12（米）剪去的米數： 50-12=38（米）。4.把甲校調走30人后的甲校人數看作1倍：（30×2）÷（3-1）=30（人）甲、乙兩校原有教師各

17、30+30=60（人）。5.甲筐重量：（197）÷（3-1）13（千克）乙筐重量：13×3=39原有重量：137=20（千克）。6.甲數：（320+460）÷2390乙數：390+320=710。7.（25-14）÷（2-1）+25=11÷1+25=11+25=36（米）.第三講 和差問題和差問題是已知大小兩個數的和與兩個數的差，求大小兩個數各是多少的應用題。為了解答這種應用題，首先要弄清兩個數相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數的差，而有些應用題把兩個數的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、

18、弟弟的鉛筆支數就同樣多.”這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數就同樣多.”如果認為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3），那就錯了.實際上姐姐比弟弟多2個3支.姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們原有的鉛筆數，他們的鉛筆支數才可能一樣多.這里3×2=6支，就是暗差?！鞍呀憬愕你U筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說明姐姐的鉛筆支數比弟弟多3×217（支）。例1 兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？分析 這樣想：假設第二筐和第一筐重量相等時，兩筐共重1508158（千克）；假

19、設第一筐重量和第二筐相等時，兩筐共重150-8142（千克）.解法1：第二筐重多少千克？（150-8）÷2=71（千克）第一筐重多少千克？718=79（千克）或 150-71=79（千克）解法2：第一筐重多少千克？（150+8）÷279（千克）第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。例2 今年小強7歲，爸爸35歲，當兩人年齡和是58歲時，兩人年齡各多少歲？分析 題中沒有給出小強和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當

20、兩人年齡和為58歲時他們年齡差仍是28歲.根據和差問題的解題思路就能解此題。解：爸爸的年齡：58（35-7）÷2=5828÷2=86÷2=43（歲）小強的年齡：58-4315（歲）答：當父子兩人的年齡和是58歲時，小強15歲，他爸爸43歲。例3 小明期末考試時語文和數學的平均分數是94分，數學比語文多8分，問語文和數學各得了幾分？ 分析 解和差問題的關鍵就是求得和與差，這道題中數學與語文成績之差是8分，但是數學和語文成績之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績是94分，這就可以求得這兩科的總成績.解：語文和數學成績之和是多少分？94×218

21、8（分）數學得多少分？（188+8）÷ 2196÷2=98（分） 語文得多少分？（188-8）÷2=180÷2=90（分）或 98-8=90（分）答：小明期末考試語文得90分，數學得98分.例4 甲乙兩校共有學生864人，為了照顧學生就近入學，從甲校調入乙校32名同學，這樣甲校學生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學生多少人？分析 這樣想：甲、乙兩校學生人數的和是864人，根據由甲校調入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多 32×2+48112（人）. 112是兩校人數差。解：乙校原有的學生：（864-32×

22、2-48）÷2376（人）甲校原有學生：864-376=488（人）答：甲校原有學生488人，乙校原有學生376人。小結：從以上4個例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：（和+差）÷2=較大數 較大數-差=較小數或（和-差）÷2=較小數 較小數+差=較大數也可以求出一個數后，用和減去這個數得到另一個數.下面我們用和差問題的思路來解答一個數學問題。例5 在每兩個數字之間填上適當的加或減符號使算式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9=5分析 這樣想：從1至9這幾個數字相加是不會得到5的，只能從一部分數字相加再減去一部分字后差是5，也就是說1到9的和是45，而兩部分的差是5，先要求出這兩部分數字，利用和差問題的方法便可以求出。（45-5）÷ 2=20，20+5=25可求出其中幾個數的和是25，而另外幾個數的和是20.在組成和是25的幾個數前面添上“+”號，而在組成和是20的幾個數前面添上“-”號，此題就算出來了。例如：5+6+9=20可得到。