MATLAB在非線性曲線擬合中的應(yīng)用研究

1、MATLAB在非線性曲線擬合中的應(yīng)用小結(jié)摘要:歸納總結(jié)了非線性曲線擬合的方法、求解步驟和上機(jī)操作過程關(guān)鍵詞:曲線擬合非線性MATLAB正文：1曲線擬合的基本原理已知一組測(cè)定的數(shù)據(jù)（例如N個(gè)點(diǎn)（xi,yi）去求得自變量x和因變量y的一個(gè)近似解析表達(dá)式y(tǒng)=（x）。若記誤差i=（xi）-yi，i=1，2，N，則要使誤差的平方和最小，即要求：為最小，這就是常用的最小二乘法原理。2 .MATLAB曲線擬合的相關(guān)方法2.1.函數(shù)形式：（1）多項(xiàng)式擬合函數(shù)polyfit，調(diào)用格式為：p=polyfit（x,y,n）其中x，y為參與曲線擬合的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，n為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)，函數(shù)返回值為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)（按降冪

2、排列）。n=1時(shí)，就為線性擬合。例1：給出表1數(shù)據(jù)，試用最小二乘法求一次和二次擬合多項(xiàng)式。表1 數(shù)據(jù)x-1.00-0.75-0.50-0.2500.250.500.751.00y-0.22090.32950.88261.43922.00032.56453.13343.70614.2836在MATLAB命令窗口中輸入：clear;close;x=-1:0.25:1;y=-0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4.2836p1=polyfit(x,y,1)p2=polyfit(x,y,2)y1=polyval(p1,x);y

3、2=polyval(p2,x);plot(x,y,'+',x,y1,'r:',x,y2,'k-.') 運(yùn)行結(jié)果：擬合多項(xiàng)式為：y*=2.0516+2.0131和y*=0.0313x2+2.2516x+2.20001（2）非線性數(shù)據(jù)擬合函數(shù)lsqcurvefit調(diào)用格式為：c=lsqcurvefi（t'fun',x0,xdata,ydata）其中'fun'為擬合函數(shù)的M-函數(shù)文件名，x0為初始向量，xdata,ydata為參與曲線擬合的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。函數(shù)返回值c為非線性函數(shù)fun的擬合系數(shù)。例2：2004年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)

4、建模競(jìng)賽C題（酒后駕車）中給出某人在短時(shí)間內(nèi)喝下兩瓶啤酒后，間隔一定的時(shí)間測(cè)量他的血液中酒精含量y（毫克/百毫升），得到數(shù)據(jù)如表2。表2 酒精含量與飲酒時(shí)間的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)間（小時(shí)）0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量306875828277686858515041時(shí)間（小時(shí)）678910111213141516酒精含量3835282518151210774通過建立微分方程模型得到短時(shí)間內(nèi)喝酒后血液中酒精濃度與時(shí)間的關(guān)系為： （2）根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用非線性擬合函數(shù)lsqcurvefit，確定模型（2）式中的參數(shù)c1，c2，c3。求解過程為：先編寫一個(gè)M-函數(shù)文件Exam

5、ple2_1：function f=Example2_1(c,tdata)f=c(1)*(exp(-c(2)*tdata)-exp(-c(3)*tdata);保存后，在命令窗口中輸入：cleartdata=0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;ydata=30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 8 15 12 10 7 7 4;c0=1 1 1;for i=1:50;c=lsqcurvefit('Example2_1',c0

6、,tdata,ydata);c0=c;end得到最優(yōu)解為：c= 117.05,0.1930,1.9546從而得出擬合曲線： 2.2.圖形窗口形式（1）利用多項(xiàng)式擬合的交互圖命令（GUI）polytool，調(diào)用格式為：polytoo（lx,y）其中x,y分別為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)構(gòu)成的向量，例如利用polytool求解例1的MATLAB命令如下：x=-1:0.25:1y=-0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4.2836;polytool（x,y）打開多項(xiàng)式擬合的交互式界面，由于要擬合的函數(shù)為線性函數(shù)，因此在多項(xiàng)式擬合交互式界面中的

7、Degree中輸入1，點(diǎn)擊導(dǎo)出數(shù)據(jù)Export,出現(xiàn)保存對(duì)話框ExporttoWorkspace,選中Parameters（參數(shù)）,Residuals（殘差）后點(diǎn)擊OK，在MATLAB的Workspace窗口中可以看到參數(shù)為：2.2516和2.0131，即擬合函數(shù)為Y*=2.2516x+2.0131。同樣如果擬合的函數(shù)為二次函數(shù)，則只要在Degree中輸入2，其它步驟相同，可得擬合函數(shù)為：Y*=0.0313x2+2.2516x+2.0001通過查看Residuals（殘差）值，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)擬合的殘差值比線性函數(shù)的要小一些，從擬合的效果看，可以選擇二次函數(shù)作為擬合函數(shù)，但由于線性函數(shù)較簡(jiǎn)單，

8、殘差值也很小，從簡(jiǎn)單出發(fā)，也可選擇線性函數(shù)作為擬合函數(shù)。（2）基本擬合界面MATLAB提供了一個(gè)方便簡(jiǎn)潔的擬合界面。具有擬合快速和操作簡(jiǎn)便的優(yōu)勢(shì)，只能擬合多項(xiàng)式。例如用基本擬合界面求解例1的過程如下：clear;close;x=-1:0.25:1;y=-0.2209,0.3295,0.8826,1.4392,2.0003,2.5645,3.1334,3.7061,4.2836;plot(x,y,'+');運(yùn)行結(jié)果：在散點(diǎn)圖的圖形窗口上分別點(diǎn)擊菜單檔中的ToolsBasic Fitting,在Plots Fits中分別選中l(wèi)inear、quadratic、Show equatio

9、ns、plot residuals、show norm of residuals，所得擬合直線方程為：y*=2.3x+2；擬合二次多項(xiàng)式為:Y*=0.031x2+2.3x+2（3）曲線擬合工具界面cftool曲線擬合工具界面cftool是一個(gè)可視化的圖形界面，具有強(qiáng)大的圖形擬合功能，下面通過一個(gè)具體例子來介紹cftool的用法。例3某生化系學(xué)生為研究嘌呤霉素在某項(xiàng)酶促反應(yīng)中對(duì)反應(yīng)速度與底物濃度之間關(guān)系的影響，設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，所得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)見表3。根據(jù)問題的背景和數(shù)據(jù)建立一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，來反映這項(xiàng)酶促反應(yīng)的速度與底物濃度之間的關(guān)系。表3 嘌呤霉素實(shí)驗(yàn)中的反應(yīng)速度與底物濃度數(shù)據(jù)底物濃度（ppm

10、）x002006011022056110反應(yīng)速度y764797107123139159152191201207200酶促反應(yīng)的速度y與底物濃度x之間的關(guān)系可用下面兩個(gè)簡(jiǎn)單模型描述：Michaelis-Menten模型：y=f（x,）= (4)指數(shù)增長(zhǎng)模型：y=f(x,)=1（1-e） （5）使用曲線擬合工具界面cftool來確定模型（4）和（5）中的參數(shù)，并比較模型（4）、（5）的擬合效果。在MATLAB命令窗口中輸入以下語句：clear;close;x=0.02 0.02 0.06 0.06 0.11 0.11 0.22 0.22 0.56 0.56 1.10 1.10;y=76 47 97

11、 107 123 139 159 152 191 201 207 200;cftool(x,y);在Curve Fitting Tool對(duì)話框中單擊Fitting，打開Fitting對(duì)話框，點(diǎn)擊New fit，在Fit Name:中輸入有理函數(shù)，在Type of fit中選中Rational，在Numerator中選中l(wèi)inear polynomial，在Denominator中選中l(wèi)inear polynomial，然后點(diǎn)擊Apply，完成有理函數(shù)擬合。然后，再次點(diǎn)擊New fit，在Fit Name:中輸入指數(shù)函數(shù)，在Type of fit中選中Custom Equation，點(diǎn)擊New

12、equation,打開用戶自定義方程對(duì)話框，點(diǎn)擊General Equation，在Equation中輸入y=a*(1-exp(-b*x)，點(diǎn)擊Ok后回到擬合窗口，點(diǎn)擊Apply，完成指數(shù)函數(shù)擬合，參數(shù)計(jì)算結(jié)果見表4。表4 模型(4)、(5)計(jì)算結(jié)果擬合圖為：通過表4可以看出，有理函數(shù)（Michaelis-Menten模型）ys=221.7x+3.318x+0.1047擬合剩余標(biāo)準(zhǔn)差較小，R-square較大（越接近1越好），故用有理函數(shù)ys=221.7x+3.318x+0.1047擬合數(shù)據(jù)比用指數(shù)函數(shù)ys=192.1（1-e-11.38x）擬合的效果好。3結(jié)束語利用MATLAB的繪圖功能和曲線擬合功能，可以很方便地進(jìn)行多項(xiàng)式擬合和其它非線性曲線擬合，并可以通過比較剩余標(biāo)準(zhǔn)差和可決系數(shù)R2的大小，