定積分的簡單應用參考教案

1、定積分的簡單應用教學目標：1、 進一步讓學生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法；2、 讓學生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理；3、 初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法，以及利用定積分求一些簡單的旋轉(zhuǎn)體的體積；4、 體會定積分在物理中應用（變速直線運動的路程、變力沿直線做功）。教學重點： 幾種曲邊梯形面積的求法。教學難點： 定積分求體積以及在物理中應用。教學過程：一、問題情境1、求曲邊梯形的思想方法是什么？2、定積分的幾何意義是什么？3、微積分基本定理是什么？ 二、數(shù)學應用 （一）利用定積分求平面圖形的面積例1、求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。

2、答案： 變式引申：1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。xyoy=x2+4x-3答案：2、求由拋物線及其在點M（0，3）和N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解：，切線方程分別為、，則所求圖形的面積為3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為xxOy=x2ABC4、在曲線上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求：切點A的坐標以及切線方程. 略解：如圖由題可設切點坐標為，則切線方程為，切線與軸的交點坐標為，則由題可知有，所以切點坐標與切線方程分別為總結：1、定積分的幾何意義是：、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和，即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定

3、積分的幾何意義以及微積分基本定理，但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等，如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟：（1） 畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形；（2） 對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限；（3） 確定被積函數(shù)；（4） 求出各曲邊梯形的面積和，即各積分的絕對值的和。3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法：（1）型區(qū)域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1）；由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（2）；yabxyabxyabx由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（3）；圖（1

4、） 圖（2） 圖（3）（2）型區(qū)域：由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得，然后利用求出（如圖（4）；由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（5）； yabxyabxyabx由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，然后利用求出（如圖（6）；圖（4） 圖（5） 圖（6）（二）、定積分求旋轉(zhuǎn)體體積例2：求由曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：（1）分割：將旋轉(zhuǎn)體沿軸方向?qū)^(qū)間0,1進行等分；（2）對區(qū)間上的柱體以區(qū)間右端點對應的函數(shù)值的平方數(shù)作為底面圓半徑的平方，以作為圓柱的高，以此圓柱體積近似代替曲邊圓柱的體積，即；

5、（3）求和；（4）逼近：當分割無限變細時，即趨近于0時，根據(jù)定積分的定義其極限即為旋轉(zhuǎn)體的體積。略解：（三）、定積分在物理中應用(1)求變速直線運動的路程例3、A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達途中C點，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點的速度為24m/s，從C點到B點前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)ts后，速度為（24-1.2t）m/s，在B點恰好停車，試求（1）A、C間的距離；（2）B、D間的距離；（3）電車從A站到B站所需的時間。分析：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a,b上的定積分,即略

6、解：（1）設A到C的時間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC（2）設D到B的時間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s),則DB（3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320（s）(2)、變力沿直線所作的功問題：物體在變力F(x)的作用下做直線運動，并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點移動到x= b點，則變力F(x) 所做的功為:例3：如果1N能拉長彈簧1cm，為了將彈簧拉長6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J略解：設，則由題可得，所以做功就是求定積分。五：回顧與小結： 本節(jié)課主要學習了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積，即定積分在幾何中