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1、定積分的簡單應用教學目標:1、 進一步讓學生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法;2、 讓學生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理;3、 初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法,以及利用定積分求一些簡單的旋轉(zhuǎn)體的體積;4、 體會定積分在物理中應用(變速直線運動的路程、變力沿直線做功)。教學重點: 幾種曲邊梯形面積的求法。教學難點: 定積分求體積以及在物理中應用。教學過程:一、問題情境1、求曲邊梯形的思想方法是什么?2、定積分的幾何意義是什么?3、微積分基本定理是什么? 二、數(shù)學應用 (一)利用定積分求平面圖形的面積例1、求曲線與直線軸所圍成的圖形面積。

2、答案: 變式引申:1、求直線與拋物線所圍成的圖形面積。xyoy=x2+4x-3答案:2、求由拋物線及其在點M(0,3)和N(3,0)處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解:,切線方程分別為、,則所求圖形的面積為3、求曲線與曲線以及軸所圍成的圖形面積。 略解:所求圖形的面積為xxOy=x2ABC4、在曲線上的某點A處作一切線使之與曲線以及軸所圍成的面積為.試求:切點A的坐標以及切線方程. 略解:如圖由題可設切點坐標為,則切線方程為,切線與軸的交點坐標為,則由題可知有,所以切點坐標與切線方程分別為總結:1、定積分的幾何意義是:、軸所圍成的圖形的面積的代數(shù)和,即.因此求一些曲邊圖形的面積要可以利用定

3、積分的幾何意義以及微積分基本定理,但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等,如函數(shù)的圖像與軸圍成的圖形的面積為4,而其定積分為0.2、求曲邊梯形面積的方法與步驟:(1) 畫圖,并將圖形分割為若干個曲邊梯形;(2) 對每個曲邊梯形確定其存在的范圍,從而確定積分的上、下限;(3) 確定被積函數(shù);(4) 求出各曲邊梯形的面積和,即各積分的絕對值的和。3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法:(1)型區(qū)域:由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(1);由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(2);yabxyabxyabx由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積:(如圖(3);圖(1

4、) 圖(2) 圖(3)(2)型區(qū)域:由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由得,然后利用求出(如圖(4);由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積,可由先求出,然后利用求出(如圖(5); yabxyabxyabx由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積,可由先分別求出,然后利用求出(如圖(6);圖(4) 圖(5) 圖(6)(二)、定積分求旋轉(zhuǎn)體體積例2:求由曲線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。分析:(1)分割:將旋轉(zhuǎn)體沿軸方向?qū)^(qū)間0,1進行等分;(2)對區(qū)間上的柱體以區(qū)間右端點對應的函數(shù)值的平方數(shù)作為底面圓半徑的平方,以作為圓柱的高,以此圓柱體積近似代替曲邊圓柱的體積,即;

5、(3)求和;(4)逼近:當分割無限變細時,即趨近于0時,根據(jù)定積分的定義其極限即為旋轉(zhuǎn)體的體積。略解:(三)、定積分在物理中應用(1)求變速直線運動的路程例3、A、B兩站相距7.2km,一輛電車從A站B開往站,電車開出ts后到達途中C點,這一段的速度為1.2t(m/s),到C點的速度為24m/s,從C點到B點前的D點以等速行駛,從D點開始剎車,經(jīng)ts后,速度為(24-1.2t)m/s,在B點恰好停車,試求(1)A、C間的距離;(2)B、D間的距離;(3)電車從A站到B站所需的時間。分析:作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時間區(qū)間a,b上的定積分,即略

6、解:(1)設A到C的時間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC(2)設D到B的時間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s),則DB(3)CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320(s)(2)、變力沿直線所作的功問題:物體在變力F(x)的作用下做直線運動,并且物體沿著與F(x)相同的方向從x=a點移動到x= b點,則變力F(x) 所做的功為:例3:如果1N能拉長彈簧1cm,為了將彈簧拉長6cm,需做功( A ) A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J略解:設,則由題可得,所以做功就是求定積分。五:回顧與小結: 本節(jié)課主要學習了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積,即定積分在幾何中

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