因式分解輔導資料

1、一、基本知識點：1、 因式分解的定義把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.【說明】 (1)因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆的運算.例如：(2)因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗.2 提公因式法多項式ma+mb+mc中的各項都有一個公共的因式m，我們把因式m叫做這個多項式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式m，另一個因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a

2、2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).知識點鞏固練習下列變形是否是因式分解？為什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.3 公式法分解因式(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這個數(shù)的差的積.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2.其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.即兩個數(shù)

3、的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.知識點鞏固練習下列變形是否正確？為什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.典型例題例1、分解因式（1）4x2-9 （2）（x+p）2-（x+q） （3）x4-y4 （4）a3b-ab針對性練習 把下列各式分解因式（1）36（x+y）2-49（x-y）2 （2）（x-1）+b2（1-x） （3）（x2+x+1）2-1 （

4、4）-例2 、把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.針對性練習把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).(3)x3-2x2+x； (4)(a+b)2-4a2； (5)x4-81x2y2；(6)x2(x-y)+y2(y-x)； (7)(a+b+c)2-(a-b-c)2.例3、 利用因式分解計算下列各題.(1)234×265-234×65； (2)992+198+1.針對性練習利用因式分解計算下列各題.(1)7.6×

5、199.9+4.3×199.9-1.9×199.9； (2)20022-4006×2002+20032；(3)5652×11-4352×11； (4)(5)2-(2)2.例4、 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，則k= .練習若x2+(k+3)x+9是完全平方式，則k= .補充幾種分解因式的方法：1、 分組分解法(1)形如：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2 =(x+1)2-y2 =(x+y+1)(x-y+1).

6、把多項式進行適當?shù)姆纸M，分組后能夠有公因式或運用公式，這樣的因式分解方法叫做分組分解法.分組分解法是因式分解的基本方法，體現(xiàn)了化整體為局部，又統(tǒng)攬全局的思想，如何恰當分組是解題的關鍵，常見的分組方法有：(1)按字母分組；(2)按次數(shù)分組；(3)按系數(shù)分組.典型例題例：把下列各式因式分解.(1) am+bm+an+bn； (2)x2-y2+x+y； (3)2ax-5by+2ay-5bx.2、 關于x2+(p+q)x+pq型二次三項式的因式分解又稱為“十字相乘法”典型例題例：把x2+3x+2分解因式.針對性練習例1、 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7

7、y+10；(4)x2+7x-18.例2、 解方程組針對性練習1、把下列各式分解因式.(1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10；(3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2.2、解方程組3、若a，b，c是三角形的三邊，且滿足關系式a2+b2+c-ab-ac-bc=0，試判斷這個三角形的形狀.二、課前小測試：三、提高練習：1、 計算.2、 分解因式(x4+x2-4)(x4+x2+3)+10.3、求證：四個連續(xù)自然數(shù)的積再加上1，一定是一個完全平方數(shù).四、課后練習A組1.若x2+2(m-3)x+16是完全平方式，則m的值等于( )A.3B.-5C.7.D.7或-12.若

8、(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，則n的值是( )A.2B.4C.6D.83.把(a+b)-4(a2-b2)+4(a-b)2分解因式的結果是( )A.(3a-b)2B.(3b+a)2C.(3b-a)2D.(3a+b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式為( )A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2 C.29(x2+y2)D.以上都不對5.若多項式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，則p,q的值依次為( )A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x2-9y2= .7.利用因式分解計算：= .8.若x=3.2，

9、y=6.8，則x2+2xy+y2= .9.把多項式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的結果是 .10.計算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= .11.分解因式.(1)(x+y)2-9y2； (2)a2-b2+a+b； (3)10b(x-y)2-5a(y-x)2；(4)(ab+b)2-(a+1)2； (5)(a2-x2)2-4ax(x-a)2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.13.已知x-y=2，x2-y2=6，求x與y的值.14.利用因式分解計算19992+1999-20002.15

10、.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a,b,c是ABC的三邊，且滿足關系式a2+c2=2ab+2bc-2b2，試說明ABC是等邊三角形.17.當a，b為何值時，多項式a2+b2-4a+6b+18有最小值？并求出這個最小值.18、利用分組分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；(3)(ax+by)2+(ay-bx)2；(4)a2-2ab+b2-c2-2c-1.B組1下列各單項式中，與是同類項的為（ ）A. B. C. D.2的計算結果是（ ）A. B. C. D.3下面是某同學在一次作業(yè)中的計算摘錄：； ； ； ； 其中正確

11、的個數(shù)有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 4下列分解因式正確的是（ ）A. B. C. D.5若為整數(shù)，則一定能被（ ）整除 A B C D6.如圖：矩形花園中花園中建有一條矩形道路及一條平行四邊形道路若，則花園中可綠化部分的面積為（ ）A. B. C. D. 7從邊長為的正方形中去掉一個邊長為的小正方形，如圖，然后將剩余部分剪后拼成一個矩形，上述操作所能驗證的等式是（）ABC D8小亮從一列火車的第m節(jié)車廂數(shù)起，一直數(shù)到第2m節(jié)車廂，他數(shù)過的車廂節(jié)數(shù)是（ ）A.m2m3m B.2mmm C.2mm1m1 D.2mm1m19. ; 10多項式加上一個單項式后，能成為一個完全平方式，那么加上的單項式可能是 11分解因式：_.12如果（2a2b1）(2a2b1)=63，那么ab的值為 13_14如圖，要給這個長、寬、高分