第三章基本知識小結

1、第3章動量定理及其守恒定律習題解答 28 第3章動量定理及其守恒定律習題解答第三章基本知識小結牛頓運動定律適用于慣性系、質點，牛頓第二定律是核心。矢量式：分量式：動量定理適用于慣性系、質點、質點系。導數形式：微分形式：積分形式：（注意分量式的運用）動量守恒定律適用于慣性系、質點、質點系。若作用于質點或質點系的外力的矢量和始終為零，則質點或質點系的動量保持不變。即 （注意分量式的運用）在非慣性系中，考慮相應的慣性力，也可應用以上規(guī)律解題。在直線加速參考系中：在轉動參考系中：質心和質心運動定理（注意分量式的運用） 3.5.1 質量為2kg的質點的運動學方程為 （單位：米，秒）， 求證質點受恒力而運

2、動，并求力的方向大小。解：, 為一與時間無關的恒矢量，質點受恒力而運動。F=(242+122)1/2=12N，力與x軸之間夾角為：3.5.2 質量為m的質點在o-xy平面內運動，質點的運動學方程為：，a,b,為正常數，證明作用于質點的合力總指向原點。證明：, 作用于質點的合力總指向原點。 3.5.3 在脫粒機中往往裝有振動魚鱗篩，一方面由篩孔漏出谷粒，一方面逐出秸桿，篩面微微傾斜，是為了從較低的一邊將秸桿逐出，因角度很小，可近似看作水平，篩面與谷粒發(fā)生相對運動才可能將谷粒篩出，若谷粒與篩面靜摩擦系數為0.4，問篩沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和篩面發(fā)生相對運動？解：以地為參考系，設谷物的

3、質量為m，所受到的最大靜摩擦力為 ，谷物能獲得的最大加速度為 篩面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2，才能使谷物與篩面發(fā)生相對運動。m2m1F 1 2 3.5.3 題圖 3.5.4題圖3.5.4 桌面上疊放著兩塊木板，質量各為m1 ,m2,如圖所示，m2和桌面間的摩擦系數為2，m1和m2間的摩擦系數為1，問沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來。解：以地為參考系，隔離m1、m2，其受力與運動情況如圖所示，xym1gf1N1a1a2N2N1'm2gFf1'f2其中，N1'=N1,f1'=f1=1N1,f2=2N2，選圖示坐標系o-xy，對m1,m2分別應

4、用牛頓二定律，有 解方程組，得 要把木板從下面抽出來，必須滿足，即yN2a2xN1'=N1m2gx'N1a'f*=m1a2y'm1gm1m23.5.5 質量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動，斜面傾角為,質量為m1的運動員與斜面之間亦無摩擦，求運動員相對于斜面的加速度及其對斜面的壓力。解：以相對地面向右作加速直線運動的斜面為參考系（非慣性系，設斜面相對地的加速度為a2），取m1為研究對象，其受力及運動情況如左圖所示，其中N1為斜面對人的支撐力，f*為慣性力，a'即人對斜面的加速度，方向顯然沿斜面向下，選如圖所示的坐標系o'-x'y'

5、;,應用牛頓第二定律建立方程：再以地為參考系，取m2為研究對象，其受力及運動情況如右圖所示，選圖示坐標o-xy,應用牛頓第二定律建立方程： （1）、（2）、（3）聯立，即可求得：m1m2F3.5.6在圖示的裝置中兩物體的質量各為m1,m2，物體之間及物體與桌面間的摩擦系數都為，求在力F的作用下兩物體的加速度及繩內張力，不計滑輪和繩的質量及軸承摩擦，繩不可伸長。f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2解：以地為參考系，隔離m1,m2，受力及運動情況如圖示，其中：f1=N1=m1g，f2=N2=(N1+m2g)=(m1+m2)g. 在水平方向對兩個質點應用牛二定律：+可求得：將a代入中，可求

6、得：Tf1N1m1ga1Tf2N2m2ga2T'm3ga3CAB3.5.7在圖示的裝置中，物體A,B,C的質量各為m1,m2,m3，且兩兩不相等. 若物體A,B與桌面間的摩擦系數為，求三個物體的加速度及繩內的張力，不計繩和滑輪質量，不計軸承摩擦，繩不可伸長。解：以地為參考系，隔離A,B,C，受力及運動情況如圖示，其中：f1=N1=m1g，f2=N2=m2g，T'=2T，由于A的位移加B的位移除2等于C的位移，所以（a1+a2）/2=a3. 對A,B,C分別在其加速度方向上應用牛頓第二定律：,聯立，可求得：3.5.8天平左端掛一定滑輪，一輕繩跨過定滑輪，繩的兩端分別系上質量為m1

7、,m2的物體（m1m2）,天平右端的托盤上放有砝碼. 問天平托盤和砝碼共重若干，天平才能保持平衡？不計滑輪和繩的質量及軸承摩擦，繩不伸長。m1m2解：隔離m1,m2及定滑輪，受力及運動情況如圖示，應用牛頓第二定律：T'm1gaT'm2gaTT'T' 由可求得：所以，天平右端的總重量應該等于T，天平才能保持平衡。0.050.08t(s)F(N)Fmax03.5.11棒球質量為0.14kg，用棒擊棒球的力隨時間的變化如圖所示，設棒球被擊前后速度增量大小為70m/s，求力的最大值，打擊時，不計重力。解：由Ft圖可知：斜截式方程y=kx+b，兩點式方程 (y-y1)/(

8、x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)由動量定理：可求得Fmax = 245Nt(s)F(N)98203.5.12 沿鉛直向上發(fā)射玩具火箭的推力隨時間變化如圖所示，火箭質量為2kg，t=0時處于靜止，求火箭發(fā)射后的最大速率和最大高度（注意，推力大于重力時才啟動）。解：根據推力F-t圖像，可知F=4.9t（t20）,令F=mg，即4.9t=2×9.8，t=4s因此，火箭發(fā)射可分為三個階段：t=04sYY2Y10為第一階段，由于推力小于重力，火箭靜止，v=0,y=0；t=420s為第二階段，火箭作變加速直線運動，設t=20s時，y = y1，v = vmax ；t20s 為第三階段，

9、火箭只受重力作用，作豎直上拋運動，設達最大高度時的坐標 y=y2.第二階段的動力學方程為：F- mg = m dv/dt第三階段運動學方程令v=0,由（1）求得達最大高度y2時所用時間（t-20）=32，代入（2）中，得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)3.5.13拋物線形彎管的表面光滑，沿鉛直軸以勻角速率轉動，拋物線方程為y=ax2，a為正常數，小環(huán)套于彎管上。彎管角速度多大，小環(huán)可在管上任一位置相對彎管靜止？若為圓形光滑彎管，情況如何？xymgNa解：以固定底座為參考系，設彎管的角速度為，小環(huán)受力及運動情況如圖示：為小環(huán)處切線與x軸夾角，壓力N與切線垂

10、直，加速度大小a=2x，方向垂直指向y軸。在圖示坐標下應用牛頓二定律的分量式：/得：tg=2x/g ；由數學知識：tg=dy/dx=2ax；所以，若彎管為半徑為R的圓形，圓方程為：x2 + (R-y)2 = R2，即代入中，得：xhlmgNya 3.5.14北京設有供實驗用的高速列車環(huán)形鐵路，回轉半徑為9km，將要建設的京滬列車時速250km/h，若在環(huán)路上作此項列車實驗且欲使鐵軌不受側壓力，外軌應比內軌高多少？設軌距1.435m.解：以地為參考系，把車廂視為質點，受力及運動情況如圖示：車廂速度v=250km/h=69.4m/s，加速度a=v2/R；設軌矩為l，外軌比內軌高h, 有選圖示坐標o

11、-xy，對車箱應用牛頓第二定律： /得：，兩邊平方并整理，可求得h：3.5.15汽車質量為1.2×10kN，在半徑為100m的水平圓形彎道上行駛，公路內外側傾斜15°，沿公路取自然坐標，汽車運動學方程為s=0.5t3+20t (m)，自t=5s開始勻速運動，問公路面作用于汽車與前進方向垂直的摩擦力是由公路內側指向外側還是由外側直向內側？解：以地為參考系，把汽車視為質點，受力及運動情況如圖示：v=ds/dt=1.5t2+20，v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s，an=v2/R=57.52/100=33yx=15°fNmgan設摩擦力f方向指

12、向外側，取圖示坐標o-xy，應用牛頓第二定律：/得：，說明摩擦力方向與我們事先假設方向相反，指向內側。××××××××v+EBxy3.5.16速度選擇器原理如圖，在平行板電容器間有勻強電場，又有與之垂直的勻強磁場。現有帶電粒子以速度進入場中，問具有何種速度的粒子方能保持沿x軸運動？此裝置用于選出具有特定速度的粒子，并用量綱法則檢驗計算結果。解：帶電粒子在場中受兩個力的作用：電場力F1=qE，方向向下；磁場力F2=qvB，方向向上F2=qvBF1=qE粒子若沿x軸勻速運動，據牛頓定律：vEBs1s2sB0r3.5.1

13、7帶電粒子束經狹縫S1,S2之選擇，然后進入速度選擇器（習題3.5.16），其中電場強度和磁感應強度各為E和B. 具有“合格”速度的粒子再進入與速度垂直的磁場B0中，并開始做圓周運動，經半周后打在熒光屏上.試證明粒子質量為：m=qBB0r/E，r和q分別表示軌道半徑和粒子電荷。解：由3.5.16題可知，通過速度選擇器的粒子的速度是v=E/B，該粒子在B0磁場中受到洛侖茲力的作用做勻速圓周運動，其向心加速度為an=v2/r，由牛頓第二定律：3.5.18某公司欲開設太空旅館。其設計為用32m長的繩聯結質量相等的兩客艙，問兩客艙圍繞兩艙中點轉動的角速度多大，可使客艙感到和在地面上那樣受重力作用，而沒

14、有“失重”的感覺。解：3.5.20 圓柱A重500N，半徑RA=0.30m，圓柱B重1000N,半徑RB=0.50m，都放置在寬度L=1.20m的槽內，各接觸點都是光滑的，求A、B間的壓力及A、B柱與槽壁和槽底間的壓力。 NBA B NB' NB NA NAB A mBg mAgL A B C AB=RA+RB=0.8 CB=L-RA-RB=0.4 y x o解：隔離A、B,其受力情況如圖所示，選圖示坐標，運用質點平衡方程，有 通過對ABC的分析，可知，sin=0.4/0.8=0.5 =30º, cos=/2,分別代入（1）、（2）、（3）、（4）中，即可求得： NB = 2

15、88.5 N , NB'= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.3.5.21圖表示哺乳動物的下頜骨，假如肌肉提供的力F1和F2均與水平方向成45°，食物作用于牙齒的力為F，假設F,F1和F2共點，求F1和F2的關系以及與F的關系。FxF1F2y解：建立圖示坐標o-xy，應用共點力平衡條件：x方向，F1cos-F2cos=0, F1= F2y方向，F1sin+F2sin- F=0，3.5.22四根等長且不可伸長的輕繩端點懸于水平面正方形的四個頂點處，另一端固結于一處懸掛重物，重量為W，線與鉛垂線夾角為，求各線內張力。若四根線均不等長，知諸線之

16、方向余弦，能算出線內張力嗎？解：設四根繩子的張力為T1，T2，T3，T4，由于對稱，顯然，T1=T2=T3=T4=T；設結點下邊的拉力為F，顯然F=W. 在豎直方向上對結點應用平衡條件：4Tcos-W=0，T=W/(4cos)若四根線均不等長，則T1T2T3T4，由于有四個未知量，因此，即使知道各角的方向余弦，也無法求解，此類問題在力學中稱為靜不定問題。3.6.1 小車以勻加速度a沿傾角為的斜面向下運動，擺錘相對小車保持靜止，求懸線與豎直方向的夾角（分別自慣性系和非慣性系求解）。f*=maayxTW=mg解：（1）以地為參考系（慣性系），小球受重力W和線拉力T的作用，加速度a沿斜面向下，建立圖

17、示坐標o-xy,應用牛頓第二定律： 解得 （2）以小車為參考系（非慣性系），小球除受重力W、拉力T外，還受慣性力f*的作用(見上圖虛線表示的矢量)，小球在三個力作用下靜止，據牛頓第二定律： 解得 m1m2T Tf1* f2* a a1' a2' m1g m2g3.6.2 升降機內有一裝置如圖示，懸掛的兩物體的質量各為m1,m2且m1m2,若不計繩及滑輪質量，不計軸承處摩擦，繩不可伸長，求當升降機以加速度a（方向向下）運動時，兩物體的加速度各是多少？繩內的張力是多少？解：以升降機為參考系,隔離m1,m2,受力及運動情況如圖示,T為繩中張力，f1*=m1a,f2*=m2a, a1&

18、#39;=a2'=a'為m1、m2相對升降機的加速度.以向下為正方向，由牛頓二定律，有：解得：設m1、m2的加速度分別為a1、a2，根據相對運動的加速度公式， 寫成標量式：，將a代入，求得：3.6.3圖示為柳比莫夫擺，框架上懸掛小球，將擺移開平衡位置而后放手，小球隨即擺動起來。當小球擺至最高位置時，釋放框架使它沿軌道自由下落，如圖a，問框架自由下落時，擺錘相對于框架如何運動？當小球擺至平衡位置時，釋放框架，如圖b，小球相對框架如何運動？小球質量比框架小得多。abTf*WTf*W解：以框架為參考系，小球在兩種情況下的受力如圖所示：設小球質量為m, 框架相對地自由落體的加速度為g，

19、因此小球所受的慣性力f*=mg，方向向上，小球所受重力W=mg. 在兩種情況下，對小球分別應用牛頓第二定律：小球擺至最高位置時釋放框架,小球相對框架速度v=0，所以法向加速度an=v2/l=0（l為擺長）；由于切向合力F=Wsin-f*sin=0，所以切向加速度a=0. 小球相對框架的速度為零，加速度為零，因此小球相對框架靜止。小球擺至平衡位置時釋放框架，小球相對框架的速度不為零，法向加速度an=v2/l0，T=man ；在切向方向小球不受外力作用，所以切向加速度a=0，因此，小球速度的大小不變，即小球在拉力T的作用下相對框架做勻速圓周運動。mgNf=0Nf*=m2r3.6.4摩托車選手在豎直

20、放置圓筒壁內在水平面內旋轉。筒內壁半徑為3.0m，輪胎與壁面靜摩擦系數為0.6，求摩托車最小線速度（取非慣性系做）解：設摩托車在水平面內旋轉的最小角速度為，以摩托車本身為參考系，車受力情況如圖示，運動狀態(tài)靜止。在豎直方向應用平衡條件，0N = mg 在水平方向應用平衡條件，N = m2 r /得：最小線速度 WfC*fK*Nf03.6.5一雜技演員令雨傘繞鉛直軸轉動，一小圓盤在雨傘上滾動但相對地面在原地轉動，即盤中心不動。小盤相對于雨傘如何運動？以傘為參考系，小盤受力如何？若保持牛頓第二定律形式不變，應如何解釋小盤的運動？解：可把小盤當作質點，小盤相對雨傘做勻速圓周運動，與傘相對地的轉向相反。

21、以傘為參考系，小盤質點受5個力的作用：向下的重力W，與扇面垂直的支持力N，沿傘面向上的靜摩擦力f0，此外還有離心慣性力fC*和科氏慣性力fk*，方向如圖所示。把這些力都考慮進去，即可保持牛頓第二定律的形式不變，小盤正是在這些力的作用下相對傘做勻速圓周運動。fk*×v60°fC*3.6.6設在北緯60°自南向北發(fā)射一彈道導彈，其速率為400m/s，打擊6.0km遠的目標，問該彈受地球自轉影響否？如受影響，偏離目標多少（自己找其它所需數據）?解：以地球為參考系，導彈除受重力作用外，還要受離心慣性力和科氏慣性力的作用。離心慣性力的方向在速度與重力加速度平面內，不會使導彈

22、前進方位偏離，而科氏慣性力的方向垂直速度、重力加速度平面（指向紙面），要使導彈偏離前進方向。由于導彈速度較大，目標又不是很遠，可近似認為導彈做勻速直線運動，導彈擊中目標所需時間t=6000/400=15s，在此時間內導彈在科氏慣性力作用下偏離目標的距離：3.7.1就下面兩種受力情況：（N,s），（N,s）分別求出t=0,1/4,1/2,3/4,1時的力并用圖表示；再求t=0至t=1時間內的沖量，也用圖表示。xyF(0)F(1/4)F(1/2)F(3/4)F(1)12120解：代入t值得：xy12120I,與x軸夾角= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5°xyF(0)

23、F(1/4)F(1/2)F(3/4)F(1)1210 代入t值得：Ixy12120,與x軸夾角= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5°3.7.2一質量為m的質點在o-xy平面上運動，其位置矢量為：，求質點的動量。解：質點速度：質點動量：大?。悍较颍号cx軸夾角為，tg= py/px = - ctgt·b/a3.7.3自動步槍連發(fā)時每分鐘可射出120發(fā)子彈，每顆子彈質量為7.9g，出口速率為735m/s，求射擊時所需的平均力。解：槍射出每法子彈所需時間：t=60/120=0.5s，對子彈應用動量定理：3.7.4 棒球質量為0.14kg,棒球沿水平方向以速率

24、50m/s投來，經棒擊球后，球沿水平成30º飛出，速率為80m/s，球與棒接觸時間為0.02s，求棒擊球的平均力。 v解：以地為參考系，把球視為質點， 30º v0由動量定理，畫出矢量圖，由余弦定理，代入數據，可求得F=881N.由正弦定理 mv Ft ，代入數據， 30º 求得 mv0Mm3.7.5 質量為M的滑塊與水平臺面間的靜摩擦系數為0，質量為m的滑塊與M均處于靜止，繩不可伸長，繩與滑輪質量可不計，不計滑輪軸摩擦。問將m托起多高，松手后可利用繩對M沖力的平均力拖動M？設當m下落h后經過極短的時間t后與繩的鉛直部分相對靜止。 解：以地為參考系，選圖示坐標，先

25、以m為研究對象，它被托起h，再落 y回原來位置時，速度大小為， x在t極短時間內與繩相互作用，速度又變?yōu)榱?，設作用在m上的平均沖力為F，相對沖力，重力作用可忽略，則由質點動量定理有：，再以M為研究對象，由于繩、輪質量不計，軸處摩擦不計，繩不可伸長，所以M受到的沖力大小也是F，M受到的最大靜摩擦力為fmax=o Mg，因此,能利用繩對M的平均沖力托動M的條件是：Ffmax，即3.7.6質量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg，m1, m2和m4三個質點的位置坐標順次是：(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2)，四個質點的質心坐標是：(x,y)=(1,-

26、1)，求m3的位置坐標。解：由質心定義式：，有m1X3.8.1 質量為1500kg的汽車在靜止的駁船上在5s內自靜止加速至5m/s,問纜繩作用與駁船的平均力有多大？（分別用質點系動量定理、質心運動定理、牛頓定律求解）Fxm1m2解：（1）用質點系動量定理解：以岸為參考系，把車、船當作質點系，該系在水平方向只受纜繩的拉力F的作用， 應用質點系動量定理，有Ft=m1vF=m1v/t=1500×5/5=1500N（2）用質心運動定理解：F=(m1+m2)ac ,據質心定義式，有：(m1+m2)ac=m1a1+m2a2 ， a1為車對岸的加速度，a1=(v-0)/t=v/t，a2為船對地的加

27、速度，據題意a2=0，ac=a1m1/(m1+m2)，代入a1，ac=m1v/(m1+m2)t ，F=m1v/t=1500N（3）用牛頓定律解： a2=0 a1m2m1分別分析車、船兩個質點的 F f f 受力與運動情況：其中f為靜摩擦力，a1=v/t，對兩個質點分別應用牛頓二定律：a2a'x3.8.2汽車質量m1=1500kg，駁船質量m2=6000kg，當汽車相對船靜止時，由于船尾螺旋槳的轉動，可使船載著汽車以加速度0.2ms-2前進. 若正在前進時，汽車自靜止開始相對船以加速度0.5ms-2與船前進相反方向行駛，船的加速度如何？解：用質心定理求解 車相對船無論靜止還是運動，螺旋槳

28、的水平推力不變，即車、船系統所受外力不變，由質心運動定理可知，車運動時的質心加速度與車靜止時的質心加速度相等aC=0.2m/s2設車運動時相對船的加速度為a'，相對地的加速度為a1，船相對地的加速度為a2，由相對運動公式： 由質心定義式可知：將代入中，可得：，取船前進方向為正，代入數據：m/s2用質點系動量定理求解 設船所受的水平推力為F，在車靜止時，可把車、船當作質量為(m1+m2)的質點，加速度為a=0.2，由牛頓第二定律：設車運動時相對船的加速度為a'，相對地的加速度為a1，船相對地的加速度為a2，由相對運動公式：對車、船應用質點系動量定理的導數形式：令=，,取船前進方向

29、為正，代入數據：m/s23.8.3氣球下懸軟梯，總質量為M，軟梯上站一質量為m的人，共同在氣球所受浮力F作用下加速上升，當人以相對于軟梯的加速度am上升時，氣球的加速度如何？x解：由質心定理：F- (m+M)g = (m+M)aC 設人相對地的加速度為a1，氣球相對地的加速度為a2，由相對運動公式：a1=am+a2，由質心定義式可知：（m+M）aC = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 聯立，可求得：3.8.4水流沖擊在靜止的渦輪葉片上，水流沖擊葉片曲面前后的速率都等于v，設單位時間投向葉片的水的質量保持不變等于u，求水作用于葉片的力。-vv解：以水為研究對象，設在t時間內質量為m的水

30、投射到葉片上，由動量定理：由牛頓第三定律，水作用葉輪的力F'= -F=2uvm2x3.8.5 70kg重的人和210kg重的小船最初處于靜止，后來人從船尾向船頭勻速走了3.2m停下來，問人向哪個方向運動，移動了幾米？不計船所受的阻力。m1解：以地為參考系，選圖示坐標o-x,設人的質量為m1=70kg，人相對地的速度為v1，相對船的速度為v1，它們的方向顯然與x軸同向；設船的質量為m2=210kg，船相對地的速度為v2，（方向顯然與x軸相反）；據相對運動的速度變換公式，人對地的速度v1=v1+v2.由于不計水的阻力，所以在水平方向上，人與船構成的質點系動量守恒，有：m1v1+m2 v2=

31、0，即 m1(v1+ v2)+m2 v2=0 ，可求得v2= - v1m1/(m1+m2)，將上式兩邊同時乘上相互作用時間t，v2t=s2為船相對地的位移，v1t=s1=3.2m，即s2 = - s1m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m3.8.6 炮車固定在車廂內，最初均處于靜止，向右發(fā)射一枚彈丸，車廂向左方運動，彈丸射在對面墻上后隨即順墻壁落下，問此過程中車廂移動的距離是多少？已知炮車和車廂總質量為M，彈丸質量為m，炮口到對面墻壁的距離為L,不計鐵軌作用于車廂的阻力。xLMv'mV解：以地為參考系,建立圖示坐標o-x，設彈丸出口時相對車的速度為 v, 對地的速度為v, 車后退的速度為V，據相對運動的速度變換公式，可知：v=v+V 由于不計路軌對車的摩擦 阻力，所以，在水平方向，彈、車組成的質點系動量守恒，有 MV+m v=0，將v代入，MV+m(v+V)=0，V= - vm/(m+M) 設彈發(fā)出到與車壁相碰所用時間為t，用t乘上式兩邊，得：Vt= - vt m/(m+M)，其中：vt= -L，Vt即為車在此過程中前進的距離S，S=Lm/(m+M)3.8.7載人的切諾