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文檔簡介
1、第3章動量定理及其守恒定律習(xí)題解答 28 第3章動量定理及其守恒定律習(xí)題解答第三章基本知識小結(jié)牛頓運動定律適用于慣性系、質(zhì)點,牛頓第二定律是核心。矢量式:分量式:動量定理適用于慣性系、質(zhì)點、質(zhì)點系。導(dǎo)數(shù)形式:微分形式:積分形式:(注意分量式的運用)動量守恒定律適用于慣性系、質(zhì)點、質(zhì)點系。若作用于質(zhì)點或質(zhì)點系的外力的矢量和始終為零,則質(zhì)點或質(zhì)點系的動量保持不變。即 (注意分量式的運用)在非慣性系中,考慮相應(yīng)的慣性力,也可應(yīng)用以上規(guī)律解題。在直線加速參考系中:在轉(zhuǎn)動參考系中:質(zhì)心和質(zhì)心運動定理(注意分量式的運用) 3.5.1 質(zhì)量為2kg的質(zhì)點的運動學(xué)方程為 (單位:米,秒), 求證質(zhì)點受恒力而運
2、動,并求力的方向大小。解:, 為一與時間無關(guān)的恒矢量,質(zhì)點受恒力而運動。F=(242+122)1/2=12N,力與x軸之間夾角為:3.5.2 質(zhì)量為m的質(zhì)點在o-xy平面內(nèi)運動,質(zhì)點的運動學(xué)方程為:,a,b,為正常數(shù),證明作用于質(zhì)點的合力總指向原點。證明:, 作用于質(zhì)點的合力總指向原點。 3.5.3 在脫粒機中往往裝有振動魚鱗篩,一方面由篩孔漏出谷粒,一方面逐出秸桿,篩面微微傾斜,是為了從較低的一邊將秸桿逐出,因角度很小,可近似看作水平,篩面與谷粒發(fā)生相對運動才可能將谷粒篩出,若谷粒與篩面靜摩擦系數(shù)為0.4,問篩沿水平方向的加速度至少多大才能使谷物和篩面發(fā)生相對運動?解:以地為參考系,設(shè)谷物的
3、質(zhì)量為m,所受到的最大靜摩擦力為 ,谷物能獲得的最大加速度為 篩面水平方向的加速度至少等于3.92米/秒2,才能使谷物與篩面發(fā)生相對運動。m2m1F 1 2 3.5.3 題圖 3.5.4題圖3.5.4 桌面上疊放著兩塊木板,質(zhì)量各為m1 ,m2,如圖所示,m2和桌面間的摩擦系數(shù)為2,m1和m2間的摩擦系數(shù)為1,問沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出來。解:以地為參考系,隔離m1、m2,其受力與運動情況如圖所示,xym1gf1N1a1a2N2N1'm2gFf1'f2其中,N1'=N1,f1'=f1=1N1,f2=2N2,選圖示坐標(biāo)系o-xy,對m1,m2分別應(yīng)
4、用牛頓二定律,有 解方程組,得 要把木板從下面抽出來,必須滿足,即yN2a2xN1'=N1m2gx'N1a'f*=m1a2y'm1gm1m23.5.5 質(zhì)量為m2的斜面可在光滑的水平面上滑動,斜面傾角為,質(zhì)量為m1的運動員與斜面之間亦無摩擦,求運動員相對于斜面的加速度及其對斜面的壓力。解:以相對地面向右作加速直線運動的斜面為參考系(非慣性系,設(shè)斜面相對地的加速度為a2),取m1為研究對象,其受力及運動情況如左圖所示,其中N1為斜面對人的支撐力,f*為慣性力,a'即人對斜面的加速度,方向顯然沿斜面向下,選如圖所示的坐標(biāo)系o'-x'y'
5、;,應(yīng)用牛頓第二定律建立方程:再以地為參考系,取m2為研究對象,其受力及運動情況如右圖所示,選圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第二定律建立方程: (1)、(2)、(3)聯(lián)立,即可求得:m1m2F3.5.6在圖示的裝置中兩物體的質(zhì)量各為m1,m2,物體之間及物體與桌面間的摩擦系數(shù)都為,求在力F的作用下兩物體的加速度及繩內(nèi)張力,不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦,繩不可伸長。f1N1m1gTaFN2m2gTaN1f1f2解:以地為參考系,隔離m1,m2,受力及運動情況如圖示,其中:f1=N1=m1g,f2=N2=(N1+m2g)=(m1+m2)g. 在水平方向?qū)蓚€質(zhì)點應(yīng)用牛二定律:+可求得:將a代入中,可求
6、得:Tf1N1m1ga1Tf2N2m2ga2T'm3ga3CAB3.5.7在圖示的裝置中,物體A,B,C的質(zhì)量各為m1,m2,m3,且兩兩不相等. 若物體A,B與桌面間的摩擦系數(shù)為,求三個物體的加速度及繩內(nèi)的張力,不計繩和滑輪質(zhì)量,不計軸承摩擦,繩不可伸長。解:以地為參考系,隔離A,B,C,受力及運動情況如圖示,其中:f1=N1=m1g,f2=N2=m2g,T'=2T,由于A的位移加B的位移除2等于C的位移,所以(a1+a2)/2=a3. 對A,B,C分別在其加速度方向上應(yīng)用牛頓第二定律:,聯(lián)立,可求得:3.5.8天平左端掛一定滑輪,一輕繩跨過定滑輪,繩的兩端分別系上質(zhì)量為m1
7、,m2的物體(m1m2),天平右端的托盤上放有砝碼. 問天平托盤和砝碼共重若干,天平才能保持平衡?不計滑輪和繩的質(zhì)量及軸承摩擦,繩不伸長。m1m2解:隔離m1,m2及定滑輪,受力及運動情況如圖示,應(yīng)用牛頓第二定律:T'm1gaT'm2gaTT'T' 由可求得:所以,天平右端的總重量應(yīng)該等于T,天平才能保持平衡。0.050.08t(s)F(N)Fmax03.5.11棒球質(zhì)量為0.14kg,用棒擊棒球的力隨時間的變化如圖所示,設(shè)棒球被擊前后速度增量大小為70m/s,求力的最大值,打擊時,不計重力。解:由Ft圖可知:斜截式方程y=kx+b,兩點式方程 (y-y1)/(
8、x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)由動量定理:可求得Fmax = 245Nt(s)F(N)98203.5.12 沿鉛直向上發(fā)射玩具火箭的推力隨時間變化如圖所示,火箭質(zhì)量為2kg,t=0時處于靜止,求火箭發(fā)射后的最大速率和最大高度(注意,推力大于重力時才啟動)。解:根據(jù)推力F-t圖像,可知F=4.9t(t20),令F=mg,即4.9t=2×9.8,t=4s因此,火箭發(fā)射可分為三個階段:t=04sYY2Y10為第一階段,由于推力小于重力,火箭靜止,v=0,y=0;t=420s為第二階段,火箭作變加速直線運動,設(shè)t=20s時,y = y1,v = vmax ;t20s 為第三階段,
9、火箭只受重力作用,作豎直上拋運動,設(shè)達(dá)最大高度時的坐標(biāo) y=y2.第二階段的動力學(xué)方程為:F- mg = m dv/dt第三階段運動學(xué)方程令v=0,由(1)求得達(dá)最大高度y2時所用時間(t-20)=32,代入(2)中,得y2-y1=5030 y2=ymax=5030+1672=6702(m)3.5.13拋物線形彎管的表面光滑,沿鉛直軸以勻角速率轉(zhuǎn)動,拋物線方程為y=ax2,a為正常數(shù),小環(huán)套于彎管上。彎管角速度多大,小環(huán)可在管上任一位置相對彎管靜止?若為圓形光滑彎管,情況如何?xymgNa解:以固定底座為參考系,設(shè)彎管的角速度為,小環(huán)受力及運動情況如圖示:為小環(huán)處切線與x軸夾角,壓力N與切線垂
10、直,加速度大小a=2x,方向垂直指向y軸。在圖示坐標(biāo)下應(yīng)用牛頓二定律的分量式:/得:tg=2x/g ;由數(shù)學(xué)知識:tg=dy/dx=2ax;所以,若彎管為半徑為R的圓形,圓方程為:x2 + (R-y)2 = R2,即代入中,得:xhlmgNya 3.5.14北京設(shè)有供實驗用的高速列車環(huán)形鐵路,回轉(zhuǎn)半徑為9km,將要建設(shè)的京滬列車時速250km/h,若在環(huán)路上作此項列車實驗且欲使鐵軌不受側(cè)壓力,外軌應(yīng)比內(nèi)軌高多少?設(shè)軌距1.435m.解:以地為參考系,把車廂視為質(zhì)點,受力及運動情況如圖示:車廂速度v=250km/h=69.4m/s,加速度a=v2/R;設(shè)軌矩為l,外軌比內(nèi)軌高h(yuǎn), 有選圖示坐標(biāo)o
11、-xy,對車箱應(yīng)用牛頓第二定律: /得:,兩邊平方并整理,可求得h:3.5.15汽車質(zhì)量為1.2×10kN,在半徑為100m的水平圓形彎道上行駛,公路內(nèi)外側(cè)傾斜15°,沿公路取自然坐標(biāo),汽車運動學(xué)方程為s=0.5t3+20t (m),自t=5s開始勻速運動,問公路面作用于汽車與前進方向垂直的摩擦力是由公路內(nèi)側(cè)指向外側(cè)還是由外側(cè)直向內(nèi)側(cè)?解:以地為參考系,把汽車視為質(zhì)點,受力及運動情況如圖示:v=ds/dt=1.5t2+20,v| t=5 =1.5×52+20=57.5m/s,an=v2/R=57.52/100=33yx=15°fNmgan設(shè)摩擦力f方向指
12、向外側(cè),取圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第二定律:/得:,說明摩擦力方向與我們事先假設(shè)方向相反,指向內(nèi)側(cè)。××××××××v+EBxy3.5.16速度選擇器原理如圖,在平行板電容器間有勻強電場,又有與之垂直的勻強磁場。現(xiàn)有帶電粒子以速度進入場中,問具有何種速度的粒子方能保持沿x軸運動?此裝置用于選出具有特定速度的粒子,并用量綱法則檢驗計算結(jié)果。解:帶電粒子在場中受兩個力的作用:電場力F1=qE,方向向下;磁場力F2=qvB,方向向上F2=qvBF1=qE粒子若沿x軸勻速運動,據(jù)牛頓定律:vEBs1s2sB0r3.5.1
13、7帶電粒子束經(jīng)狹縫S1,S2之選擇,然后進入速度選擇器(習(xí)題3.5.16),其中電場強度和磁感應(yīng)強度各為E和B. 具有“合格”速度的粒子再進入與速度垂直的磁場B0中,并開始做圓周運動,經(jīng)半周后打在熒光屏上.試證明粒子質(zhì)量為:m=qBB0r/E,r和q分別表示軌道半徑和粒子電荷。解:由3.5.16題可知,通過速度選擇器的粒子的速度是v=E/B,該粒子在B0磁場中受到洛侖茲力的作用做勻速圓周運動,其向心加速度為an=v2/r,由牛頓第二定律:3.5.18某公司欲開設(shè)太空旅館。其設(shè)計為用32m長的繩聯(lián)結(jié)質(zhì)量相等的兩客艙,問兩客艙圍繞兩艙中點轉(zhuǎn)動的角速度多大,可使客艙感到和在地面上那樣受重力作用,而沒
14、有“失重”的感覺。解:3.5.20 圓柱A重500N,半徑RA=0.30m,圓柱B重1000N,半徑RB=0.50m,都放置在寬度L=1.20m的槽內(nèi),各接觸點都是光滑的,求A、B間的壓力及A、B柱與槽壁和槽底間的壓力。 NBA B NB' NB NA NAB A mBg mAgL A B C AB=RA+RB=0.8 CB=L-RA-RB=0.4 y x o解:隔離A、B,其受力情況如圖所示,選圖示坐標(biāo),運用質(zhì)點平衡方程,有 通過對ABC的分析,可知,sin=0.4/0.8=0.5 =30º, cos=/2,分別代入(1)、(2)、(3)、(4)中,即可求得: NB = 2
15、88.5 N , NB'= 1500 N , NA = 288.5 N , NAB = 577 N.3.5.21圖表示哺乳動物的下頜骨,假如肌肉提供的力F1和F2均與水平方向成45°,食物作用于牙齒的力為F,假設(shè)F,F1和F2共點,求F1和F2的關(guān)系以及與F的關(guān)系。FxF1F2y解:建立圖示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用共點力平衡條件:x方向,F(xiàn)1cos-F2cos=0, F1= F2y方向,F(xiàn)1sin+F2sin- F=0,3.5.22四根等長且不可伸長的輕繩端點懸于水平面正方形的四個頂點處,另一端固結(jié)于一處懸掛重物,重量為W,線與鉛垂線夾角為,求各線內(nèi)張力。若四根線均不等長,知諸線之
16、方向余弦,能算出線內(nèi)張力嗎?解:設(shè)四根繩子的張力為T1,T2,T3,T4,由于對稱,顯然,T1=T2=T3=T4=T;設(shè)結(jié)點下邊的拉力為F,顯然F=W. 在豎直方向上對結(jié)點應(yīng)用平衡條件:4Tcos-W=0,T=W/(4cos)若四根線均不等長,則T1T2T3T4,由于有四個未知量,因此,即使知道各角的方向余弦,也無法求解,此類問題在力學(xué)中稱為靜不定問題。3.6.1 小車以勻加速度a沿傾角為的斜面向下運動,擺錘相對小車保持靜止,求懸線與豎直方向的夾角(分別自慣性系和非慣性系求解)。f*=maayxTW=mg解:(1)以地為參考系(慣性系),小球受重力W和線拉力T的作用,加速度a沿斜面向下,建立圖
17、示坐標(biāo)o-xy,應(yīng)用牛頓第二定律: 解得 (2)以小車為參考系(非慣性系),小球除受重力W、拉力T外,還受慣性力f*的作用(見上圖虛線表示的矢量),小球在三個力作用下靜止,據(jù)牛頓第二定律: 解得 m1m2T Tf1* f2* a a1' a2' m1g m2g3.6.2 升降機內(nèi)有一裝置如圖示,懸掛的兩物體的質(zhì)量各為m1,m2且m1m2,若不計繩及滑輪質(zhì)量,不計軸承處摩擦,繩不可伸長,求當(dāng)升降機以加速度a(方向向下)運動時,兩物體的加速度各是多少?繩內(nèi)的張力是多少?解:以升降機為參考系,隔離m1,m2,受力及運動情況如圖示,T為繩中張力,f1*=m1a,f2*=m2a, a1&
18、#39;=a2'=a'為m1、m2相對升降機的加速度.以向下為正方向,由牛頓二定律,有:解得:設(shè)m1、m2的加速度分別為a1、a2,根據(jù)相對運動的加速度公式, 寫成標(biāo)量式:,將a代入,求得:3.6.3圖示為柳比莫夫擺,框架上懸掛小球,將擺移開平衡位置而后放手,小球隨即擺動起來。當(dāng)小球擺至最高位置時,釋放框架使它沿軌道自由下落,如圖a,問框架自由下落時,擺錘相對于框架如何運動?當(dāng)小球擺至平衡位置時,釋放框架,如圖b,小球相對框架如何運動?小球質(zhì)量比框架小得多。abTf*WTf*W解:以框架為參考系,小球在兩種情況下的受力如圖所示:設(shè)小球質(zhì)量為m, 框架相對地自由落體的加速度為g,
19、因此小球所受的慣性力f*=mg,方向向上,小球所受重力W=mg. 在兩種情況下,對小球分別應(yīng)用牛頓第二定律:小球擺至最高位置時釋放框架,小球相對框架速度v=0,所以法向加速度an=v2/l=0(l為擺長);由于切向合力F=Wsin-f*sin=0,所以切向加速度a=0. 小球相對框架的速度為零,加速度為零,因此小球相對框架靜止。小球擺至平衡位置時釋放框架,小球相對框架的速度不為零,法向加速度an=v2/l0,T=man ;在切向方向小球不受外力作用,所以切向加速度a=0,因此,小球速度的大小不變,即小球在拉力T的作用下相對框架做勻速圓周運動。mgNf=0Nf*=m2r3.6.4摩托車選手在豎直
20、放置圓筒壁內(nèi)在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)。筒內(nèi)壁半徑為3.0m,輪胎與壁面靜摩擦系數(shù)為0.6,求摩托車最小線速度(取非慣性系做)解:設(shè)摩托車在水平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)的最小角速度為,以摩托車本身為參考系,車受力情況如圖示,運動狀態(tài)靜止。在豎直方向應(yīng)用平衡條件,0N = mg 在水平方向應(yīng)用平衡條件,N = m2 r /得:最小線速度 WfC*fK*Nf03.6.5一雜技演員令雨傘繞鉛直軸轉(zhuǎn)動,一小圓盤在雨傘上滾動但相對地面在原地轉(zhuǎn)動,即盤中心不動。小盤相對于雨傘如何運動?以傘為參考系,小盤受力如何?若保持牛頓第二定律形式不變,應(yīng)如何解釋小盤的運動?解:可把小盤當(dāng)作質(zhì)點,小盤相對雨傘做勻速圓周運動,與傘相對地的轉(zhuǎn)向相反。
21、以傘為參考系,小盤質(zhì)點受5個力的作用:向下的重力W,與扇面垂直的支持力N,沿傘面向上的靜摩擦力f0,此外還有離心慣性力fC*和科氏慣性力fk*,方向如圖所示。把這些力都考慮進去,即可保持牛頓第二定律的形式不變,小盤正是在這些力的作用下相對傘做勻速圓周運動。fk*×v60°fC*3.6.6設(shè)在北緯60°自南向北發(fā)射一彈道導(dǎo)彈,其速率為400m/s,打擊6.0km遠(yuǎn)的目標(biāo),問該彈受地球自轉(zhuǎn)影響否?如受影響,偏離目標(biāo)多少(自己找其它所需數(shù)據(jù))?解:以地球為參考系,導(dǎo)彈除受重力作用外,還要受離心慣性力和科氏慣性力的作用。離心慣性力的方向在速度與重力加速度平面內(nèi),不會使導(dǎo)彈
22、前進方位偏離,而科氏慣性力的方向垂直速度、重力加速度平面(指向紙面),要使導(dǎo)彈偏離前進方向。由于導(dǎo)彈速度較大,目標(biāo)又不是很遠(yuǎn),可近似認(rèn)為導(dǎo)彈做勻速直線運動,導(dǎo)彈擊中目標(biāo)所需時間t=6000/400=15s,在此時間內(nèi)導(dǎo)彈在科氏慣性力作用下偏離目標(biāo)的距離:3.7.1就下面兩種受力情況:(N,s),(N,s)分別求出t=0,1/4,1/2,3/4,1時的力并用圖表示;再求t=0至t=1時間內(nèi)的沖量,也用圖表示。xyF(0)F(1/4)F(1/2)F(3/4)F(1)12120解:代入t值得:xy12120I,與x軸夾角= arctgIy/Ix = arctg2 = 63.5°xyF(0)
23、F(1/4)F(1/2)F(3/4)F(1)1210 代入t值得:Ixy12120,與x軸夾角= arctgIy/Ix = arctg0.5 = 26.5°3.7.2一質(zhì)量為m的質(zhì)點在o-xy平面上運動,其位置矢量為:,求質(zhì)點的動量。解:質(zhì)點速度:質(zhì)點動量:大?。悍较颍号cx軸夾角為,tg= py/px = - ctgt·b/a3.7.3自動步槍連發(fā)時每分鐘可射出120發(fā)子彈,每顆子彈質(zhì)量為7.9g,出口速率為735m/s,求射擊時所需的平均力。解:槍射出每法子彈所需時間:t=60/120=0.5s,對子彈應(yīng)用動量定理:3.7.4 棒球質(zhì)量為0.14kg,棒球沿水平方向以速率
24、50m/s投來,經(jīng)棒擊球后,球沿水平成30º飛出,速率為80m/s,球與棒接觸時間為0.02s,求棒擊球的平均力。 v解:以地為參考系,把球視為質(zhì)點, 30º v0由動量定理,畫出矢量圖,由余弦定理,代入數(shù)據(jù),可求得F=881N.由正弦定理 mv Ft ,代入數(shù)據(jù), 30º 求得 mv0Mm3.7.5 質(zhì)量為M的滑塊與水平臺面間的靜摩擦系數(shù)為0,質(zhì)量為m的滑塊與M均處于靜止,繩不可伸長,繩與滑輪質(zhì)量可不計,不計滑輪軸摩擦。問將m托起多高,松手后可利用繩對M沖力的平均力拖動M?設(shè)當(dāng)m下落h后經(jīng)過極短的時間t后與繩的鉛直部分相對靜止。 解:以地為參考系,選圖示坐標(biāo),先
25、以m為研究對象,它被托起h,再落 y回原來位置時,速度大小為, x在t極短時間內(nèi)與繩相互作用,速度又變?yōu)榱悖O(shè)作用在m上的平均沖力為F,相對沖力,重力作用可忽略,則由質(zhì)點動量定理有:,再以M為研究對象,由于繩、輪質(zhì)量不計,軸處摩擦不計,繩不可伸長,所以M受到的沖力大小也是F,M受到的最大靜摩擦力為fmax=o Mg,因此,能利用繩對M的平均沖力托動M的條件是:Ffmax,即3.7.6質(zhì)量m1=1kg, m2=2kg, m3=3kg, m4=4kg,m1, m2和m4三個質(zhì)點的位置坐標(biāo)順次是:(x,y) = (-1,1), (-2,0), (3,-2),四個質(zhì)點的質(zhì)心坐標(biāo)是:(x,y)=(1,-
26、1),求m3的位置坐標(biāo)。解:由質(zhì)心定義式:,有m1X3.8.1 質(zhì)量為1500kg的汽車在靜止的駁船上在5s內(nèi)自靜止加速至5m/s,問纜繩作用與駁船的平均力有多大?(分別用質(zhì)點系動量定理、質(zhì)心運動定理、牛頓定律求解)Fxm1m2解:(1)用質(zhì)點系動量定理解:以岸為參考系,把車、船當(dāng)作質(zhì)點系,該系在水平方向只受纜繩的拉力F的作用, 應(yīng)用質(zhì)點系動量定理,有Ft=m1vF=m1v/t=1500×5/5=1500N(2)用質(zhì)心運動定理解:F=(m1+m2)ac ,據(jù)質(zhì)心定義式,有:(m1+m2)ac=m1a1+m2a2 , a1為車對岸的加速度,a1=(v-0)/t=v/t,a2為船對地的加
27、速度,據(jù)題意a2=0,ac=a1m1/(m1+m2),代入a1,ac=m1v/(m1+m2)t ,F(xiàn)=m1v/t=1500N(3)用牛頓定律解: a2=0 a1m2m1分別分析車、船兩個質(zhì)點的 F f f 受力與運動情況:其中f為靜摩擦力,a1=v/t,對兩個質(zhì)點分別應(yīng)用牛頓二定律:a2a'x3.8.2汽車質(zhì)量m1=1500kg,駁船質(zhì)量m2=6000kg,當(dāng)汽車相對船靜止時,由于船尾螺旋槳的轉(zhuǎn)動,可使船載著汽車以加速度0.2ms-2前進. 若正在前進時,汽車自靜止開始相對船以加速度0.5ms-2與船前進相反方向行駛,船的加速度如何?解:用質(zhì)心定理求解 車相對船無論靜止還是運動,螺旋槳
28、的水平推力不變,即車、船系統(tǒng)所受外力不變,由質(zhì)心運動定理可知,車運動時的質(zhì)心加速度與車靜止時的質(zhì)心加速度相等aC=0.2m/s2設(shè)車運動時相對船的加速度為a',相對地的加速度為a1,船相對地的加速度為a2,由相對運動公式: 由質(zhì)心定義式可知:將代入中,可得:,取船前進方向為正,代入數(shù)據(jù):m/s2用質(zhì)點系動量定理求解 設(shè)船所受的水平推力為F,在車靜止時,可把車、船當(dāng)作質(zhì)量為(m1+m2)的質(zhì)點,加速度為a=0.2,由牛頓第二定律:設(shè)車運動時相對船的加速度為a',相對地的加速度為a1,船相對地的加速度為a2,由相對運動公式:對車、船應(yīng)用質(zhì)點系動量定理的導(dǎo)數(shù)形式:令=,,取船前進方向
29、為正,代入數(shù)據(jù):m/s23.8.3氣球下懸軟梯,總質(zhì)量為M,軟梯上站一質(zhì)量為m的人,共同在氣球所受浮力F作用下加速上升,當(dāng)人以相對于軟梯的加速度am上升時,氣球的加速度如何?x解:由質(zhì)心定理:F- (m+M)g = (m+M)aC 設(shè)人相對地的加速度為a1,氣球相對地的加速度為a2,由相對運動公式:a1=am+a2,由質(zhì)心定義式可知:(m+M)aC = ma1+Ma2=m(am+a2)+Ma2 聯(lián)立,可求得:3.8.4水流沖擊在靜止的渦輪葉片上,水流沖擊葉片曲面前后的速率都等于v,設(shè)單位時間投向葉片的水的質(zhì)量保持不變等于u,求水作用于葉片的力。-vv解:以水為研究對象,設(shè)在t時間內(nèi)質(zhì)量為m的水
30、投射到葉片上,由動量定理:由牛頓第三定律,水作用葉輪的力F'= -F=2uvm2x3.8.5 70kg重的人和210kg重的小船最初處于靜止,后來人從船尾向船頭勻速走了3.2m停下來,問人向哪個方向運動,移動了幾米?不計船所受的阻力。m1解:以地為參考系,選圖示坐標(biāo)o-x,設(shè)人的質(zhì)量為m1=70kg,人相對地的速度為v1,相對船的速度為v1,它們的方向顯然與x軸同向;設(shè)船的質(zhì)量為m2=210kg,船相對地的速度為v2,(方向顯然與x軸相反);據(jù)相對運動的速度變換公式,人對地的速度v1=v1+v2.由于不計水的阻力,所以在水平方向上,人與船構(gòu)成的質(zhì)點系動量守恒,有:m1v1+m2 v2=
31、0,即 m1(v1+ v2)+m2 v2=0 ,可求得v2= - v1m1/(m1+m2),將上式兩邊同時乘上相互作用時間t,v2t=s2為船相對地的位移,v1t=s1=3.2m,即s2 = - s1m1/(m1+m2) = - 3.2×70/(70+210) = - 0.8m3.8.6 炮車固定在車廂內(nèi),最初均處于靜止,向右發(fā)射一枚彈丸,車廂向左方運動,彈丸射在對面墻上后隨即順墻壁落下,問此過程中車廂移動的距離是多少?已知炮車和車廂總質(zhì)量為M,彈丸質(zhì)量為m,炮口到對面墻壁的距離為L,不計鐵軌作用于車廂的阻力。xLMv'mV解:以地為參考系,建立圖示坐標(biāo)o-x,設(shè)彈丸出口時相對車的速度為 v, 對地的速度為v, 車后退的速度為V,據(jù)相對運動的速度變換公式,可知:v=v+V 由于不計路軌對車的摩擦 阻力,所以,在水平方向,彈、車組成的質(zhì)點系動量守恒,有 MV+m v=0,將v代入,MV+m(v+V)=0,V= - vm/(m+M) 設(shè)彈發(fā)出到與車壁相碰所用時間為t,用t乘上式兩邊,得:Vt= - vt m/(m+M),其中:vt= -L,Vt即為車在此過程中前進的距離S,S=Lm/(m+M)3.8.7載人的切諾
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