的左右焦點分別為與,點P在直線l上.當取最大值時,比的

1、智浪教育普惠英才文庫2014年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試模擬試題一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1已知A=x|x24x+3<0，xR，B=x|21x+a0，x22(a+7)x+50，xR若AÍB，則實數(shù)a的取值范圍是 2 已知橢圓的左右焦點分別為與，點P在直線l：上. 當取最大值時，比的值為 . 3設(shè)，則的值域是 。4一個球的內(nèi)接圓錐的最大體積與這個球的體積之比為_. 5函數(shù)的值域為_. 6已知正整數(shù)n不超過2000，并且能表示成不少于60個連續(xù)正整數(shù)之和，那么，這樣的n的個數(shù)是_. 7用x表示不大于實數(shù)x的最大整數(shù)， 方程lg2xlgx2=0的實根個數(shù)是 8各

2、項均為實數(shù)的等比數(shù)列a n 前n項之和記為S n ,若S10 = 10, S30 = 70, 則S40等于_. 二、解答題：本大題共3小題，共56分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 9（本題滿分16分）如圖，有一列曲線P0, P1, P2, ，已知P0所圍成的圖形是面積為1的等邊三角形，Pk+1是對Pk進行如下操作得到的：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉(k=0,1,2,3,)，記Sn為曲線Pk所圍成圖形面積。求數(shù)列Sn的通項公式；求。P0P1P210（本題滿分20分）如題10圖，是拋物線上的動點，點在軸上，圓內(nèi)切于，求面積的最

3、小值解 設(shè)，不妨設(shè)直線的方程:，化簡得 又圓心到的距離為1， ， 5分故，易知，上式化簡得， 同理有 10分所以，則因是拋物線上的點，有，則 ， 15分所以當時，上式取等號，此時因此的最小值為8 20分11 （本題滿分20分）設(shè) . 記，.證明：.一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分.1、【解】A=(1，3)；又，a21x(1，)，當x(1，3)時，a 7(7，4) 4a12、【解】 由平面幾何知，要使最大，則過，P三點的圓必定和直線l相切于P點。設(shè)直線l交x軸于A，則，即，即 （1），又由圓冪定理，（2），而，A，從而有，。代入（1），（2）得。 3、【解】。令，則。因此。 即得

4、。 4、【解】設(shè)球半徑為R，其內(nèi)接圓錐的底半徑為r，高為h，作軸截面，則r2=h(2Rh) V錐=r2h=h2(2Rh)=h·h(4R2h)=·R3 所求比為8275、【解】 等價于或 即或此時或或解為x >4或0<x<1 或 1<x<6、 【解】首項為a為的連續(xù)k個正整數(shù)之和為由Sk2000，可得60k62.當k=60時，Sk=60a+30×59，由Sk2000，可得a3，故Sk=1830,1890,1950；當k=61時，Sk=61a+30×61，由Sk2000，可得a2，故Sk=1891，1952；當k=62時，Sk=

5、62a+31×61，由Sk2000，可得a1，故Sk=1953.于是，題中的n有6個.7、 【解】令lgx=t，則得t22=t作圖象，知t=1，t=2，及1<t<2內(nèi)有一解當1<t<2時，t=1，t=故得：x=，x=100，x=10，即共有3個實根。8、 【解】首先q1，于是，(q101)=10，(q301)=70， q20+q10+1=7Þq10=2(3舍) S40=10(q401)=150二、解答題：本大題共3小題，共56分 9、【解】對P0進行操作，容易看出P0的每條邊變成P1的4條邊，故P1的邊數(shù)為3×4；同樣，對P1進行操作，P1

6、的每條邊變成P2的4條邊，故P2的邊數(shù)為3×42，從而不難得到Pn的邊數(shù)為3×4n 5分 已知P0的面積為S0=1，比較P1與P0，容易看出P1在P0的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而P0有3條邊，故S1=S0+3×=1+ 再比較P2與P1，容易看出P2在P1的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為×，而P1有3×4條邊，故S2=S1+3×4×=1+ 類似地有：S3=S2+3×42×=1+ 5分 Sn= =1+ = () 10分 下面用數(shù)學歸納法證明()式 當n=1時，由上面已知()式成立，

7、 假設(shè)當n=k時，有Sk= 當n=k+1時，易知第k+1次操作后，比較Pk+1與Pk，Pk+1在Pk的每條邊上增加了一個小等邊三角形，其面積為，而Pk有3×4k條邊。故Sk+1=Sk+3×4k×= 綜上所述，對任何nN，()式成立。 16分10、【解】 設(shè)，不妨設(shè)直線的方程:，化簡得 又圓心到的距離為1， ， 5分故，易知，上式化簡得， 同理有 10分所以，則因是拋物線上的點，有，則 ， 15分所以當時，上式取等號，此時因此的最小值為8 20分11、 【證明】（）如果，則，。 （5分）（）如果，由題意 ，,. 則 當 時，（）. 事實上，當時，, 設(shè)時成立（為某整數(shù)），則對， . 當 時，（）.事實上，當時，, 設(shè)時成立（為某