03第三節(jié)二重積分的計算

1、第三節(jié)二重積分的計算(2)有些二重積分，其積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標方程來表示比較簡單，如圓形或扇形區(qū)域的邊界等此時，如果該積分的被積函數(shù)在極坐標系下也有比較簡單的形式，則應考慮用 極坐標來計算這個二重積分 .分布圖示利用極坐標系計算二重積分重積分化為次積分例1例2例3例4例5例6例7例8例9例10平面薄片的重心例11例平面薄片的轉動慣量例1213平面薄片對質點的引力例14一般曲線坐標系中二重積分的計算例15例16例17內(nèi)容小結課堂練習習題9-3返回內(nèi)容要點一、在極坐標系下二重積分的計算極坐標系下的面積微元d；rdrd，直角坐標與極坐標之間的轉換關系為x = r cos 入 y = r si

2、n v,從而就得到在直角坐標系與極坐標系下二重積分轉換公式Il f (x, y)dxdy = f (r cos), rsin Rrdrd J (3.1)DD二、二重積分的應用平面薄片的重心平面薄片的轉動慣量三、在一般曲線坐標系中二重積分的計算二重積分的一般換元分式例題選講在極坐標系下二重積分的計算2 2例1(E01)計算.e4x v)dG其中D是由圓x2yR2所圍成的區(qū)域D解如圖，在極坐標系下，積分區(qū)域D的積分限為0_2二，0乞r R,于是R /20e d(-r )r2 R-：(e |o)厶2七2、2兀 R 2R丄2e4x y= 0叫 e rdr =2二 ° e rdrD=二(1 -

3、e").例2計算二重積分d”,其中D是由x_yP所確定的圓域 解如圖(見系統(tǒng)演示)，區(qū)域D在極坐標下可表示為 0_r _1, 0_二_2二,故D1咒rdr21 r2n-: In 2.0. 2 2例3(E02)計算rrsinVx +y )dxdy,其中積分區(qū)域DQx2+y2確定的圓環(huán)域.解由對稱性，可只考慮第一象限部分，D 4D1,注意到被積函數(shù)也有對稱性，則有_sin(密)d ,x2y2)dxdyn= 4 02 .12例4(E03)計算dxdy,其中D是由曲線D XX22y =2x所圍成的平面區(qū)域.解積分區(qū)域D是以點(1,0)為圓心，以1為半徑的圓域，如圖.其邊界曲線的極坐標方程為r

4、 =2 cos -于是區(qū)域D的積分限為2-<e遷,所以2每 dxdy D X2.2.r sin ti2 rdrd 二D r cos_ 2nrdrcos :=2.2 si n2Fv 丿L 一2二 2(1 cos2力dv -二.2例5(E04)寫出在極坐標系下二重積分| f (x, y)dxdy的二次積分，其中區(qū)域DD =( x, y)|1 x 乞 y 空.1 x2, 0 乞 x 1解利用極坐標變換 x = rcosv, y =r sinv,易見直線方程x y =1的極坐標形式為1r,si n： cos故積分區(qū)域D的積分限為0_r_二，1r1,2 si n 日 +cos 日所以更 111 f

5、 (x, y)dxdy = 2 d 1 f(rcosn,rsin v)rdr. zL0 .Dsin 丁cosj例6計算(x2 y2)dxdy ,其中D為由圓x2 y2y, x2 y4y及直線Dx - i3y =0, y - 3x = 0所圍成的平面閉區(qū)域22x y 4y r =4sin jLHx_、3y 二0 r 二62亠y 2y r 二2sin 二所以 i i(x2 y2)dxdyD-t4sin 寸尹2sinJ26 "兀rdr =60 ?sin 4v -15(3).6 2例7將二重積分.f (x, y)d；化為極坐標形式的二次積分，其中D是曲DX2亠y2 =a2,X22二蘭及直線x

6、 y=0所圍成上半平面的區(qū)域4解如圖，令x = r cosy y = rsin y 則d的邊界的極坐標方程分別變r = a, r = ac o 飛及二-3二.4.D1 : 0 J ":二 2,acos): r a;f(x,y)d I l f(x, y)d亠 i i f (x, y)d二D© +D2D2 :二 2 乞二乞 3二 4,0 _ r _ a.D12a34 adr .f(rcosr,rs in Rrdrdr f(rcos),rs in r)rdr.0"acos 20例8(E05)求曲線(x2y2)2 = 2a2(x2y2)和x2 y2 _ a所圍成區(qū)域D的面

7、積.解根據(jù)對稱性有 D =4D在極坐標系下X2+ y2 =a2 r 壬a,(x2 y2)2 =2a2(x2 -y2) r =a£；2cos2v,r =a£2cos2日，得交點A =r =aa,6 ,故所求面積.d3a 2 cos 2 J'2- dxdy =4iidxdy =4iirdrd J _ 4 6 d rdr4a2 6 cos2d v - a20a0DD1D1例9(E06)求球體x2 y2 z4a2被圓柱面x2 y2 = 2ax (a - 0)所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積解如圖，由對稱性，有V = 4 ! ,：4a2 - x2 - y2 dxdy,

8、D其中D為半圓周y二.2ax - x2,及x軸所圍成的閉區(qū)域.在極坐標中，積分區(qū)域D : 0：二":：: 2,0乞r乞2acoshV = 4- 4a2 - r2 rdrd v - 4 o2 dD二 2aCOs4a2-r2rdr-32a3 .°2(1 -sin3旳d -32a333: x2例10(E07)計算概率積分.0 e dx.R解記l(R) = o edx,其平方|2(r) = 0R /e dx2 (2 2、J dy 二 e4x y )dxdy.Dy)dxdy 乞 e4x y)dxdy 乞 e4x y)dxdy.DiD2根據(jù)例1的結果，即有一（i eR）乞|2（r）_一

9、（1 _e'R）.44令R； s并利用夾逼定理，得4 '故所求概率積分：幾、二 o e dx二重積分的應用例11（E08）求位于兩圓：=2si nr和卜=4si nr之間的均勻薄片的重心（圖 9-3-13）解如圖，因為閉區(qū)域 D對稱于y軸，故重心C（x,y）必位于y軸上，于是，_ _ 1x =0, yyd；二AD易見積分區(qū)域D的面積等于這兩個圓的面積之差，即A =3二再利用極坐標計算積分：2 r r 兀4前日256 兀 4yd；丁二r2 si n 用rdsi nF . r2dr = sin4 一7二.“"02sin 3 0因此、二 =1,所求重心是C(0,7/3).3

10、 二 3例12(E09)設一均勻的直角三角形薄板(面密度為常量P),兩直角邊長分別為 a、b ,求這三角形對其中任一直角邊的轉動慣量y_b x2dx詁壬.解設三角形的兩直角邊分別在x軸和y軸上，對y軸的轉動慣量Iy同理，對x軸的轉動慣量“Pdxdy>8Db和h，計算此矩形板對于通過例13已知均勻矩形板(面密度為常數(shù)門的長和寬分別為 其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉動慣量解先求形心1xxdxdy,AA D1yydxdy.A D區(qū)域面積A=b h.因為矩形板均勻，由對稱性知形心坐標xb h 二，y=?將坐標系平移如圖，對 u軸的轉動慣量hblu = v2dudv = J *v2dv 2bdu

11、 =甘D22hdv = bh3'212同理,對v軸的轉動慣量2b3hPI v 八 u dudv 二12D例14求面密度為常量、半徑為R的均勻圓形薄片:x2 y2 _ R2 , z = 0對位于z軸上的點M°(O,O,a)處的單位質點的引力(a 0).解由積分區(qū)域的對稱性知Fx 二 Fy =0,Fzj>2rdr7223/2(r a )=2 詠aP1&R2 +a2故所求引力為F =0,0,2 詠aP&R2 十a(chǎn)21 a7在一般曲線坐標系中二重積分的計算2 2 2例15(E10)求橢球體爲爲學1的體積. a2b2c2解由對稱性知，所求體積為2 2x y d 廠

12、以心 a b2 2y _0.令x =ar cos, y =brsi稱其為廣義極坐標變換其中積分區(qū)域D :冷篤叩，x_0,a2 b2則區(qū)域D的積分限為0乞乞二，02<1,又J =3dr,日)a cos t1bsin var sinbr cos二 abr,2 冷 0 j-r2d(r特別地，當a=b=：c時，則得到球體的體積為 -a3.3/ 2 1 2于是 V 二8abc °d q J r rdr 二 8abc 2)二上二abc.3y -x例16計算 ey xdxdy,其中D由x軸、y軸和直線x y =2所圍成的閉區(qū)域.D解令 u = y x, v = y x,貝UV - u V 亠

13、ux , y .2 2u=v; y=0u=-v;x y=2v=2.12121212y -xy "x所以 I iey dxdyDu= .evD '1 dudv =_22 v udv evdu0'-vJ 2(ee')vdv 二ed2 0作變換xy =u,上x因為魚M =Qx,y)yy2x=2)=2v,及由第8章第五節(jié)知xS .沁從而有：(u,v)：-(x,y)例17(E11)求曲線xy =a2,xy =2a2, y =x, y =2x(x 0, y 0)所圍平面圖形的面積.解如果在直角坐標下計算，需要求曲線的交點，并畫出平面圖形，還需將積分區(qū)域分割成幾塊小區(qū)域來計算面積，很麻煩，現(xiàn)在可巧妙地作曲線坐標變換=v,貝V有 a2 _u _2a2, 1 乞v 乞2.c(x, y)1c(u,v)2v丄2v1a2 21a2dvdv In 2.2v2 1 v22a22吐adU1a注:題中利用函數(shù)組u =u(x, y), v =v(x,y)與反函數(shù)組x = x(u,v), y = y(u, v)之間偏導數(shù)的關系式"X, y) &u,v)=：(u,v)