必修四_任意角與弧度制__知識點匯總(教師版)

1、美博教育任意角與弧度制知識梳理: 一、任意角和弧度制1、角的概念的推廣定義：一條射線OA由原來的位置，繞著它的端點 O按一定的方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB就形成了角口，記作：角a或2口 可以簡記成a o2、角的分類：由于用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地擴(kuò)大了?？梢詫⒔欠譃檎恰⒘憬呛拓?fù)角。正角：按照逆時針方向轉(zhuǎn)定的角。零角：沒有發(fā)生任何旋轉(zhuǎn)的角。負(fù)角：按照順時針方向旋轉(zhuǎn)的角。3、 “象限角”為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角， 角的頂點合于坐標(biāo) 原點，角的始邊合于x軸的正半軸。角的終邊落在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個象限， 稱為軸

2、線角。4、常用的角的集合表示方法1、終邊相同的角：(1)終邊相同的角都可以表示成一個 07到360?的角與k(kw Z)個周角的和。(2)所有與 隱邊相同的角連同？在內(nèi)可以構(gòu)成一個集合即：任何一個與角 終邊相同的角，都可以表示成角：與整數(shù)個周角的和 注意：1、k2、a是任意角3、終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角 有無數(shù)個，它們相差360°的整數(shù)倍。4、一般的，終邊相同的角的表達(dá)形式不唯例1、(1)若a角的終邊與8L角的終邊相同，則在10,2/上終邊與g的角終邊相 同的角為。若9角的終邊與8冗/5的終邊相同則有：8=2kTt+8兀/5 (k為整數(shù))所以有：

3、9 /4=(2k 兀 +8兀 /5)/4=k 兀 /2+2 兀 /5當(dāng)：0& k 兀 /2+2 tt/5 <2 幾有：k=0時，有2冗/5 與8/4角的終邊相同的角k=1時，有9冗/10 與8/4角的終邊相同的角(2)若口和P是終邊相同的角。那么a-P在例2、求所有與所給角終邊相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大負(fù)角:(1) -210(2) -1484 37'.例3、求9,使日與-900二角的終邊相同，且 睚 L180 ：1260二】.2、終邊在坐標(biāo)軸上的點：終邊在x軸上的角的集合：/F=kx180：kwz終邊在y軸上的角的集合： 如P =kx180 ：'+

4、90：,kwz終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：匚|B=k 90 ,k Z>3、終邊共線且反向的角：終邊在y=x軸上的角的集合：0|P=kM180'=+45ikWz)終邊在y=-x軸上的角的集合：*| P =kx180245kwz4、終邊互相對稱的角：若角口與角P的終邊關(guān)于X軸對稱，則角口與角P的關(guān)系：0(=360%-P若角a與角P的終邊關(guān)于y軸對稱，則角口與角P的關(guān)系：a =360二k+180：P若角a與角P的終邊在一條直線上，則角口與角P的關(guān)系：a=180°k+P角ot與角P的終邊互相垂直，則角口與角P的關(guān)系：a =360'k+P±90二例1、若口 =k

5、'360、日，P = m 360 =-9(k,me Z)則角口與角P的中變得位置關(guān) 系是(A.重合 B.關(guān)于原點對稱 C.關(guān)于x軸對稱 D.有關(guān)于y軸對稱/八 19(1) 一二(2) 315例2、將下列各角化成0到2n的角加上2kn（kw Z）的形式3例 3、設(shè)集合 A = x|k，360”+60% x < k，3600 + 300： k w Z),B = & | k 360 <210 '<x <k 360 ：k w Z),求 AB, AU B.二、弧度與弧度制1、弧度與弧度制：弧度制一另一種度量角的單位制，它的單位是rad讀作弧度定義：長度等于

6、 的弧所對的圓心角稱為1弧度的角。如圖：?AOB=1radf, ?AOC=2rad / 2r|d<=2?rad1rAr A汪忠：。1、正角的弧度數(shù)是釀度數(shù)卜蹩勺弧度數(shù)是02、角曲勺弧度數(shù)的絕對值 口 =1 （I為弧長，r為半徑）r3、用角度制和弧度制來度量 零角，單位不同，但數(shù)量相同（都是 0） 用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，量數(shù)也不同。4、在同一個式子中角度、弧度不可以混用。2、角度制與弧度制的換算弧度定義：對應(yīng)弧長等于半徑所對應(yīng)的圓心角大小叫一弧度角度與弧度的互換關(guān)系：= 360 ：= rad 180：= rad，一冗 . .1 .=rad 0.01745rad180注

7、意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零 例1、把67 =30'化成弧度 例2、把3nrad化成度5例3、將下列各角從弧度化成角度3(1) rad(2) 2.1 rad?(3) -nrad365例4、用弧度制表示：1嚶邊在x軸上的角的集合2 ?終邊在y軸上的角的集合三、弧長公式和扇形面積公式,c 112l =otr;S =_ lR = -ar22例1、已知扇形的周長是6 cm,面積是2 cm2,則扇形的中心角的弧度數(shù)是 L或4-例2、若兩個角的差為1弧度，它們的和為1、求這連個角的大小分別為 0例3、直徑為20cm的圓中，求下列各圓心所對的弧長2165°3

8、例4、(1) 一個半徑為r的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形 的圓心角是多少弧度是多少度扇形的面積是多少(2) 一扇形的周長為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角口等于多少弧度時，這個扇形的面積最大.例5、(1)已知扇形的周長為10,面積為4,求扇形中心角的弧度數(shù)；(2)已知扇形的周長為40,當(dāng)它的半徑和中心角取何值時，才能使扇形的面積最大最大面積是多少(七)任意角的三角函數(shù)(定義)1 .設(shè)坦一個任意角，在？的終邊上任取(異于原點的)一點 P (x,y),則P與 原點的距離 r = Jx2 +|y2 = xx2 + y2 > 02 .比值y叫做？的正弦記作： sina = ?；比值？

9、叫做？的余弦 記作：rrrxcos =二一r比值y叫做？的正切記作：tan" = '比值？叫做？的余切 記作：xx yxcot -=.y比值二叫做中勺正割記作：seca = E ；比值工叫做？的余割 記作：xx yrcsc_i =一 y注意突出幾個問題：角是“任意角”，當(dāng)？=2kH?(k ?Z)時，？與，?的同名三角函 數(shù)值應(yīng)該是相等的，即凡是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等。實際上，如果終邊在坐標(biāo)軸上，上述定義同樣適用。三角函數(shù)是以“比值”為函數(shù)值的函數(shù)r>0,而x,y的正負(fù)是隨象限的變化而不同，故三角函數(shù)的符號應(yīng)由象限確 定三角函數(shù)在各象限的符號：定義域：4.久是第二象限角，P(X,痣)為其終邊上一點，且 cosa=mx,則sin ot =4.10.4. 已知角a的終邊落在直線y=-3x(x<0)上，則曲X上匣=2.