高中物理競(jìng)賽-話題18：關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上話題18：關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題一、剛體的力學(xué)性質(zhì): 討論的問(wèn)題中，研究對(duì)象是剛體、剛性球、剛性桿或拉直的、不可伸長(zhǎng)的線等，它們都具有剛體的力學(xué)性質(zhì)，是不會(huì)發(fā)生形變的理想化物體，剛體上任意兩點(diǎn)之間的相對(duì)距離是恒定不變的；任何剛體的任何一種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)都是由平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)復(fù)合而成的如圖所示，三角板從位置移動(dòng)到位置，可以認(rèn)為整個(gè)板一方面做平動(dòng)，使板上點(diǎn)移到點(diǎn)，另一方面又以點(diǎn)為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)、點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)由于前述剛體的力學(xué)性質(zhì)所致，點(diǎn)、及板上各點(diǎn)的平動(dòng)速度相同，否則板上各點(diǎn)的相對(duì)位置就會(huì)改變這里，我們稱點(diǎn)為基點(diǎn)分析剛體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，基點(diǎn)可以任意選擇于是我們得到剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則：剛體上每一點(diǎn)的速

2、度都是與基點(diǎn)速度相同的平動(dòng)速度和相對(duì)于該基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度的矢量和我們知道轉(zhuǎn)動(dòng)速度，是轉(zhuǎn)動(dòng)半徑，是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，剛體自身轉(zhuǎn)動(dòng)角速度則與基點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)根據(jù)剛體運(yùn)動(dòng)的速度法則，對(duì)于既有平動(dòng)又有轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性桿或不可伸長(zhǎng)的線繩，每個(gè)時(shí)刻我們總可以找到某一點(diǎn)，這一點(diǎn)的速度恰是沿桿或繩的方向，以它為基點(diǎn)，桿或繩上其他點(diǎn)在同一時(shí)刻一定具有相同的沿桿或繩方向的分速度（與基點(diǎn)相同的平動(dòng)速度）結(jié)論一、桿或繩約束物系各點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：在同一時(shí)刻必具有相同的沿桿或繩方向的分速度再來(lái)研究接觸物系接觸點(diǎn)速度的特征由剛體的力學(xué)性質(zhì)及“接觸”的約束可知，沿接觸面法線方向，接觸雙方必須具有相同的法向分速度，否則將分離或形變，從

3、而違反接觸或剛性的限制至于沿接觸面的切向接觸雙方是否有相同的分速度，則取決于該方向上雙方有無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，若無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，則接觸雙方將具有完全相同的速度因此，我們可以得到下面的結(jié)論結(jié)論二、接觸物系接觸點(diǎn)速度的相關(guān)特征是：沿接觸面法向的分速度必定相同，沿接觸面切向的分速度在無(wú)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)相同 相交物系交叉點(diǎn)速度的特征是什么呢?我們來(lái)看交叉的兩直線、，如圖所示，設(shè)直線不動(dòng)，當(dāng)直線沿自身方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)并不移動(dòng)，而當(dāng)直線沿直線的方向移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)便沿直線移動(dòng)，因交點(diǎn)亦是直線上一點(diǎn)，故與直線具有相同的沿直線方向的平移速度同理，若直線固定，直線移動(dòng)，交點(diǎn)的移動(dòng)速度與直線沿直線方向平動(dòng)的速度相同根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成原理，當(dāng)

4、兩直線、各自運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分別是兩直線沿對(duì)方直線方向運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)于是我們可以得到下面的結(jié)論 結(jié)論三、線狀相交物系交叉點(diǎn)的速度是相交雙方沿對(duì)方切向運(yùn)動(dòng)分速度的矢量和二、相關(guān)的速度所謂關(guān)聯(lián)速度就是兩個(gè)通過(guò)某種方式聯(lián)系起來(lái)的速度比如一根桿上的兩個(gè)速度通過(guò)桿發(fā)生聯(lián)系，一根繩兩端的速度通過(guò)繩發(fā)生聯(lián)系(一)、當(dāng)繩（桿）端在做既不沿繩（桿）方向，又不垂直于繩（桿）方向的運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般要將繩（桿）端的運(yùn)動(dòng)分解為沿繩（桿）方向和垂直于繩（桿）方向二個(gè)分運(yùn)動(dòng)。、如圖所示的情況，繩拉著物體在水平面上運(yùn)動(dòng)，端以速度做勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)做什么運(yùn)動(dòng)？有的同學(xué)會(huì)將繩的速度分解成豎直分速度和水平分速度，以為木塊的速度這是錯(cuò)誤的。因

5、為實(shí)際上木塊并沒(méi)有一個(gè)向上的分速度。應(yīng)該將繩端實(shí)際上的水平速度分解成沿繩方向的分速和垂直于繩的分速，使繩子縮短，所以，使繩子圍繞滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，而且隨著的增大而越來(lái)越大。、如圖所示，桿沿滑下，、二端的速度和也是二個(gè)相關(guān)的速度。將分解成沿桿方向的分速和垂直于桿的分速,將分解成沿桿方向的分速和垂直于桿的分速.由于桿的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，所以，即，即、如圖所示，半徑為的半圓凸輪以等速沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，帶動(dòng)從動(dòng)桿沿豎直方向上升，為凸輪圓心，為其頂點(diǎn)求當(dāng)時(shí)，桿的速度分析與解這是接觸物系相關(guān)速度問(wèn)題由題可知，桿與凸輪在點(diǎn)接觸，桿上點(diǎn)速度是豎直向上的，輪上點(diǎn)的速度是水平向右的，根據(jù)接觸物系觸點(diǎn)速度相關(guān)特征，兩

6、者沿接觸面法向的分速度相同，如圖所示，即，則故桿的速度為 (二)、兩桿交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)兩桿的交點(diǎn)同時(shí)參與了二桿的運(yùn)動(dòng)，而且相對(duì)每一根桿還有自己的運(yùn)動(dòng)，因而是一種比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。、圖中的、兩桿均以角速度繞、兩固定軸在同一豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)方向如圖示。當(dāng)時(shí)，試求時(shí)刻兩棒交點(diǎn)點(diǎn)的速度和加速度。本問(wèn)題實(shí)質(zhì)上也是關(guān)聯(lián)速度的問(wèn)題，但其關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是兩桿的角速度相同，所以不變，推知點(diǎn)的軌跡在正三角形外接圓上運(yùn)動(dòng)由此可重點(diǎn)在幾何模型上去探求解法。當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，因此，它的外接圓半徑，圖。二桿旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，角增大的角度一直等于角減小的角度，所以角的大小始終不變（等于），因此點(diǎn)既不能偏向圓內(nèi)也不能偏向圓外，只能沿著圓周

7、移動(dòng)，因?yàn)楹褪菍?duì)著同一段圓弧的圓心角和圓周角，所以，即以的角速度繞點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，任意時(shí)刻的速度大小恒為 向心加速度的大小恒為、如圖，一平面內(nèi)有二根細(xì)桿和，各自以垂直于自己的速度和在該平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，試求交點(diǎn)相對(duì)于紙平面的速率及交點(diǎn)相對(duì)于每根桿的速率。參考圖，經(jīng)過(guò)時(shí)間之后，移動(dòng)到了的位置， 移動(dòng)到了的位置，和的原位置交于點(diǎn)，和交于點(diǎn)。在中：因?yàn)榻呛徒腔パa(bǔ)，所以因此兩桿交點(diǎn)相對(duì)于紙平面的速度不難看出，經(jīng)過(guò)時(shí)間后，原交點(diǎn)在上的位置移動(dòng)到了位置，因此交點(diǎn)相對(duì)的位移就是，交點(diǎn)相對(duì)的速度就是：用同樣的方法可以求出交點(diǎn)相對(duì)的速度因?yàn)榭梢匀〉脽o(wú)限小，因此上述討論與是否為常量無(wú)關(guān)。如果是變量，上述表達(dá)式仍然可以

8、表達(dá)二桿交點(diǎn)某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。、如圖所示，合頁(yè)構(gòu)件由三個(gè)菱形組成，其邊長(zhǎng)之比為，頂點(diǎn)以速度沿水平方向向右運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)構(gòu)件所有角都為直角時(shí)，頂點(diǎn)的速度.分析與解:頂點(diǎn)作為桿上的一點(diǎn)，其速度是沿桿方向的速度及垂直于桿方向速度的合成；同時(shí)作為桿上的一點(diǎn)，其速度又是沿桿方向的速度及垂直于桿方向的速度的合成由于兩桿互成直角的特定條件，由圖顯見(jiàn)，故頂點(diǎn)的速度可通過(guò)、速度的矢量和求得，而根據(jù)桿的約束的特征，得，于是可得 由幾何關(guān)系可知 則， ，由此求得上述解析，我們是選取了速度為沿桿方向的某一點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)考察頂點(diǎn)的速度的當(dāng)然我們也可以選取其他合適的點(diǎn)為基點(diǎn)來(lái)分析如圖所示，若以、點(diǎn)為基點(diǎn)，則點(diǎn)作為桿上的點(diǎn)，其速

9、度是與點(diǎn)相同的平動(dòng)速度和對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度之合成，同時(shí)點(diǎn)作為桿上的點(diǎn)，其速度是與點(diǎn)相同的平動(dòng)速度和對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度之合成，再注意到題給的幾何條件，從矢量三角形中由余弦定理得 而由矢量圖可知 ，代入前式可得兩解殊途同歸、如圖所示，水平直桿在圓心為、半徑為的固定圓圈上以勻速豎直下落，試求套在該直桿和圓圈的交點(diǎn)處一小滑環(huán)的速度，設(shè)與豎直方向的夾角為 分析與解當(dāng)小環(huán)從圓圈頂點(diǎn)滑過(guò)圓心角為的一段弧時(shí)，據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，將桿的速度沿桿方向與圓圈切線方向分解，則的速度為 、如圖所示，直角曲桿繞軸在如圖所示的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，使套在其上的光滑小環(huán)沿固定直桿滑動(dòng)已知，曲桿的角速度，求時(shí)，小環(huán)的速度 分析與解本題首先應(yīng)該

10、求出交叉點(diǎn)作為桿上一點(diǎn)的速度，而后根據(jù)交叉點(diǎn)速度相關(guān)特征，求出該速度沿方向的分量即為小環(huán)速度由于剛性曲桿以為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故其上與直桿交叉點(diǎn)的速度方向垂直于轉(zhuǎn)動(dòng)半徑、大小是將其沿、方向分解成兩個(gè)分速度，如圖所示，即得小環(huán)的速度為 、如圖所示，一個(gè)半徑為的軸環(huán)立在水平面上，另一個(gè)同樣的軸環(huán)以速度從這個(gè)軸環(huán)旁通過(guò)，試求兩軸環(huán)上部交叉點(diǎn)的速度與兩環(huán)中心之距離之間的關(guān)系軸環(huán)很薄且第二個(gè)軸環(huán)緊鄰第一個(gè)軸環(huán). 分析與解軸環(huán)速度為，將此速度沿軸環(huán)、的交叉點(diǎn)處的切線方向分解成、兩個(gè)分量，如圖，由線狀相交物系交叉點(diǎn)相關(guān)速度規(guī)律可知，交叉點(diǎn)的速度即為沿對(duì)方速度分量注意到圖中顯示的幾何關(guān)系便可得.三、關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題是運(yùn)動(dòng)的

11、合成和分解的一個(gè)基本模型關(guān)聯(lián)的本質(zhì)是轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)的關(guān)聯(lián)，分析時(shí)既要考慮運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，又要考慮物體實(shí)際的運(yùn)動(dòng)軌跡，還要考慮連繩的長(zhǎng)度，建立好正確的幾何模型對(duì)解題至關(guān)重要。、如圖所示，桿的端以速度做勻速運(yùn)動(dòng)，在桿運(yùn)動(dòng)時(shí)恒與一靜止的半圓周相切，半圓周的半徑為，當(dāng)桿與水平線的交角為時(shí)，求桿的角速度及桿上與半圓相切點(diǎn)的速度 分析與解考察切點(diǎn)的情況由于半圓靜止，桿上點(diǎn)速度的法向分量為零，故點(diǎn)速度必沿桿的方向以點(diǎn)為基點(diǎn)，將桿上點(diǎn)速度分解成沿桿方向分量和垂直于桿方向分量（如圖所示），則是點(diǎn)與點(diǎn)相同的沿桿方向平動(dòng)速度，是點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，故可求得點(diǎn)的速度為 ，又由題給幾何關(guān)系知，點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為 代入前式中

12、即可解得 、如圖所示，物體置于水平面上，物體上固定有動(dòng)滑輪,為定滑輪，一根輕繩繞過(guò)滑輪、后固定在點(diǎn)，段水平當(dāng)以速度拉繩頭時(shí)，物體沿水平面運(yùn)動(dòng)，若繩與水平面夾角為，物體運(yùn)動(dòng)的速度是多大? 分析與解首先根據(jù)繩約束特點(diǎn)，任何時(shí)刻繩段上各點(diǎn)有與繩端相同的沿繩段方向的分速度，再看繩的這個(gè)速度與物體移動(dòng)速度的關(guān)系：設(shè)物體右移速度為，則相對(duì)于物體(或動(dòng)滑輪的軸心)，繩上點(diǎn)的速度為，即，方向沿繩方向；而根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則，在沿繩方向上，繩上點(diǎn)速度是相對(duì)于參照系(或動(dòng)滑輪的軸心)的速度與參照系對(duì)靜止參照系速度的合成，即,由上述兩方面可得 、如圖所示，纏在線軸上的繩子一頭搭在墻上的光滑釘子上，以恒定的速度拉繩，當(dāng)繩

13、與豎直方向成角時(shí)，求線軸中心的運(yùn)動(dòng)速度設(shè)線軸的外徑為，內(nèi)徑為，線軸沿水平面做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng) 分析與解當(dāng)線軸以恒定的速度拉繩時(shí)，線軸沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)從繩端速度到軸心速度，是通過(guò)繩、軸相切接觸相關(guān)的考察切點(diǎn)的速度：本題中繩與線軸間無(wú)滑動(dòng)，故繩上點(diǎn)與軸上點(diǎn)速度完全相同，即無(wú)論沿切點(diǎn)法向或切向，兩者均有相同的分速度圖是軸上點(diǎn)與繩上點(diǎn)速度矢量圖：軸上點(diǎn)具有與軸心相同的平動(dòng)速度及對(duì)軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度（為軸的角速度），那么沿切向軸上點(diǎn)的速度為；而繩上點(diǎn)速度的切向分量正是沿繩方向、大小為速度，于是有關(guān)系式，即 又由于線軸沿水平地面做純滾動(dòng)，故與水平地面相切點(diǎn)的速度為零，則軸心速度為 ，由以上兩式可解得 若繩拉線軸使

14、線軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)， 、如圖所示，線軸沿水平面做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，并且線端點(diǎn)速度為，方向水平以鉸鏈固定于點(diǎn)的木板靠在線軸上，線軸的內(nèi)、外徑分別為和試確定木板的角速度與角的關(guān)系分析與解設(shè)木板與線軸相切于點(diǎn)，則板上點(diǎn)與線軸上點(diǎn)有相同的法向速度，而板上點(diǎn)的這個(gè)法向速度正是點(diǎn)關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，如圖所示，即 現(xiàn)在再來(lái)考察線軸上點(diǎn)的速度：它應(yīng)是點(diǎn)對(duì)軸心的轉(zhuǎn)動(dòng)速度和與軸心相同的平動(dòng)速度的矢量和，而是沿點(diǎn)切向的，則點(diǎn)法向速度應(yīng)是 又由于線軸為剛體且做純滾動(dòng)，故以線軸與水平面切點(diǎn)為基點(diǎn)，應(yīng)有 將、兩式代入式中，得 、線軸置于斜面上，斜面與水平面的夾角為。線的自由端固定住（如圖）線繩為垂直線時(shí)的瞬間線軸的旋轉(zhuǎn)角速度等于，

15、線軸的半徑為求在這瞬間的：、線軸軸心的速度；、線軸與斜面相切點(diǎn)的速度分析和解：本題中由于線繩不能伸長(zhǎng)，所以垂直線最下面的點(diǎn)和與其相接觸的線軸上的點(diǎn)的速度相同，的方向是水平方向線軸的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)運(yùn)動(dòng)合成：平行于斜面的直線運(yùn)動(dòng)，其速度為；繞軸心的順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度等于。在題中情況下, 點(diǎn)的速度（圖）等于不難看出，且，由此可得 同理可以求出線軸與斜面相切點(diǎn)的速度（圖) 其速度在斜面方向的投影為 將代人得、輪子在直線軌道上作純滾動(dòng)，輪子邊緣點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道曲線稱為滾輪線設(shè)輪子半徑為，輪子邊緣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的滾輪線如圖所示，試求此滾輪線在最高點(diǎn)曲率半徑和在最低點(diǎn)曲率半徑.解 為計(jì)算、，可將輪子的滾動(dòng)設(shè)計(jì)為最簡(jiǎn)單的勻

16、速純滾動(dòng)，并將輪心相對(duì)直線軌道的勻速度記為 點(diǎn)相對(duì)直線軌道的運(yùn)動(dòng)速度等于點(diǎn)相對(duì)輪心運(yùn)動(dòng)速度與輪心相對(duì)直線軌道運(yùn)動(dòng)速度之和，在最高點(diǎn)這一速度大小應(yīng)為在最低點(diǎn)這一速度大小則降為 。 點(diǎn)相對(duì)直線軌道的加速度等于點(diǎn)相對(duì)輪心的加速度，與輪心相對(duì)直線軌道的加速度之和，后者為零，故有 即為勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度，方向隨時(shí)變化，大小恒為 ,在最高點(diǎn)和在最低點(diǎn)的顯然全部用作向心加速度，因此同有據(jù)算式，可得、一塊小木塊放在很粗糙的水平面上，被一根繩拉著滑動(dòng)，繩的另一端以速度在軌道中運(yùn)動(dòng)，繩長(zhǎng)，繩與軌道的夾角是（如圖）求此時(shí)的速度和加速度解：由于水平面很粗糙，不沿繩方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此的速度一定沿繩

17、的方向，那么的速度現(xiàn)取為參考系，因?yàn)闊o(wú)加速度，所以在系中的加速度等于在地面系中的加速度。在系中，有一個(gè)垂直于的速度。 因?yàn)楹苄。?，因此因此、如圖所示，物體質(zhì)量為，吊索拖著沿光滑豎直桿上升，吊索通過(guò)滑輪與卷?yè)P(yáng)機(jī)相連，收吊索的速度為，滑輪到豎直桿的距離為，滑輪在水平桿上向右以速度運(yùn)動(dòng)。求左邊吊索恰好豎直，繩與水平方向成角時(shí)，吊索中的張力是多少？解法一、 這是一個(gè)比較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，將此運(yùn)動(dòng)看成兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合成：一個(gè)是滑輪不動(dòng)，卷?yè)P(yáng)機(jī)以速度收吊索；另一個(gè)是段吊索長(zhǎng)度不變，滑塊以向右運(yùn)動(dòng)。第一個(gè)運(yùn)動(dòng)使滑塊得到了一個(gè)速度第二個(gè)運(yùn)動(dòng)使滑塊得到另一個(gè)速度的真實(shí)速度將的速度分解成沿吊索方向的分量和垂直吊索方向的

18、分量 速度的垂直于吊索的分量所以相對(duì)于垂直于吊索方向的速度物體的向心加速度分析的受力情況可知聯(lián)立，即可求得解法二、 以滑輪為參照物，物體速度可看成水平方向的速度和豎直方向的速度的合成，卷?yè)P(yáng)機(jī)雖然也有向左的速度，但不影響吊索的速度，所以物體沿吊索方向的速度亦為.即得速度垂直吊索的分量以下同解法一。四、物理學(xué)中特殊的曲線運(yùn)動(dòng)物理學(xué)中特殊的曲線運(yùn)動(dòng)主要有兩類，即圓周運(yùn)動(dòng)和拋體運(yùn)動(dòng)，其中拋體運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率半徑是隨時(shí)變化的，所以在考慮拋體運(yùn)動(dòng)時(shí)，如果要計(jì)算向心加速度，則必須通過(guò)有關(guān)運(yùn)動(dòng)的計(jì)算得出曲率半徑才能求解。、以速度、與水平方向成角拋出石塊，石塊沿某一軌道飛行如果蚊子以大小恒定的速率沿同一軌道飛行問(wèn)蚊子飛到最大高度一半處具有多大加速度？空氣阻力不計(jì)分析和解：蚊子的運(yùn)動(dòng)實(shí)際上是勻速率曲線運(yùn)動(dòng)它的加速度就是它運(yùn)動(dòng)到不同位置時(shí)的向心加速度關(guān)鍵在于求出最大高度一半處時(shí)的曲率半徑我們可以根據(jù)軌道方程，求出曲率半徑現(xiàn)在我們根據(jù)石塊的運(yùn)動(dòng)來(lái)求曲率半徑石塊的運(yùn)動(dòng)為斜上拋運(yùn)動(dòng)，它到達(dá)的最大高度為 設(shè)在處，速度與水平方向成角運(yùn)動(dòng)速度關(guān)系為， 故有由以上四式得將加速度分解為法向和切向方向得