《雙曲線》課堂實(shí)錄

1、區(qū)課雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課堂實(shí)錄T:第一次來(lái)到劍橋三中和咱們八班的同學(xué)合作，我很高興。希望能和同學(xué)們度過(guò)一個(gè)開(kāi)心而難忘的四十分鐘。咱們劍橋三中高二有多少個(gè)班級(jí)?。縎:十九個(gè)。T:在這么多班級(jí)中能和咱們八班的同學(xué)合作這叫什么呀？S:緣分啊。T:對(duì)！這就是緣分??！希望我們能共同珍惜這個(gè)緣分。將八班的昂揚(yáng)向上精神展現(xiàn)給在座的每一位老師好不好？S:好。T:同學(xué)們的回答非常令人振奮。今天老師給大家?guī)?lái)一個(gè)更令人振奮的新聞。請(qǐng)看視頻。(播放中南大學(xué)劉嘉憶攻克“西塔潘猜想”，與他的導(dǎo)師對(duì)他的評(píng)價(jià)，對(duì)教育的期待)T:通過(guò)這段視頻我們不僅為學(xué)霸哥所取得的成就而感到高興與自豪。同時(shí)也感悟到老教授對(duì)我們的諄諄教導(dǎo)。我

2、們的博導(dǎo)對(duì)我們說(shuō)了些什么？S:有獨(dú)立思考能力，敢想，有創(chuàng)新。T:對(duì)！要?jiǎng)?chuàng)新就要敢于質(zhì)疑，敢于提出問(wèn)題。因此，我們這節(jié)課的主旋律就是“提問(wèn)題”。大家以前看沒(méi)看過(guò)神探狄仁杰呀！狄仁杰每次斷案之前都要提出幾個(gè)問(wèn)題，然后會(huì)說(shuō)出那句經(jīng)典話。S:元芳你怎么看？T:對(duì)！這就是狄仁杰斷案的一種手段。提出問(wèn)題，集思廣益。因此，今天只要你有不懂的地方，你就勇敢地提出來(lái)。好不好？S:好！T: 老師看誰(shuí)提的問(wèn)題多！剛才，視頻接觸了一個(gè)猜想。是什么？S:西塔潘猜想。T:其實(shí)我們數(shù)學(xué)界里還有很多猜想。你們還知道哪些？S:哥德巴赫猜想。費(fèi)馬大定理。T:很好！我們的數(shù)學(xué)界中有很多猜想。同學(xué)們想不想知道這些猜想是怎么得到的呢？

3、S:想。T:今天，老師教給大家一個(gè)方法。類比猜想。我形容它是站在巨人肩膀上的一種猜想。首先誰(shuí)來(lái)回憶一下橢圓的定義？S: 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的和等于常數(shù)(大于 )的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。T:很好！今天，咱們就在橢圓的定義的基礎(chǔ)上大膽地進(jìn)行猜想。我先來(lái)拋一個(gè)磚頭，比如把“平面內(nèi)”改成“空間內(nèi)”。會(huì)產(chǎn)生什么軌跡呢？S:一個(gè)像橄欖球一樣的橢球。T:非常好！看來(lái)只要我們改變定義中的某幾個(gè)字或某些條件就會(huì)產(chǎn)生新的軌跡。該引玉了，誰(shuí)來(lái)試一試？提出一個(gè)猜想。S: 與兩個(gè)定點(diǎn)的“和”等于常數(shù)改為“差”，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡。T:不錯(cuò)！將“和”改成“差”。改得好，你叫什么名字？S:郭新。T: 同學(xué)們勇敢一點(diǎn)兒，在數(shù)學(xué)的世界里是

4、“自由、平等、公正”的。你不要擔(dān)心你的猜想會(huì)不會(huì)產(chǎn)生軌跡。比如“西塔潘猜想”提出了近200多年才得以解決。雖然你今天的猜想，可能暫時(shí)得不到解決，但我相信，隨著你的不斷學(xué)習(xí)和努力總有一天會(huì)得到解決的。S:將“和”改成“積或商”。T:非常好！不過(guò)大家思維始終局限于四則運(yùn)算。有沒(méi)有點(diǎn)兒新鮮的？S:將平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)改成動(dòng)點(diǎn)。T:哦！那動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)間的距離和是一個(gè)常數(shù)，那范圍可大了去了。S:那改成三個(gè)定點(diǎn)，四個(gè)定點(diǎn)。T:同學(xué)們改得都非常好。只是由于時(shí)間關(guān)系??！今天我們只研究第一種猜想，由于是郭新提出來(lái)的，老師把它起名為“郭新猜想”。看電腦屏幕。郭新猜想的內(nèi)容：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離差是一個(gè)常數(shù)的軌跡是

5、什么？T:我們先來(lái)做一個(gè)小實(shí)驗(yàn)，來(lái)驗(yàn)證一下“郭新猜想”，是否存在軌跡，軌跡又是什么？T:我們?nèi)∫粭l生活中常見(jiàn)的拉鏈。如圖把它固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2；拉動(dòng)拉鏈，看看拉鏈的軌跡是什么？電腦動(dòng)畫(huà)演示。T:觀察這個(gè)實(shí)驗(yàn)有什么不明白的地方嗎？我認(rèn)為此處應(yīng)有問(wèn)題啊。S:為什么要留出一段拉鏈呢？T:這位同學(xué)觀察得非常仔細(xì)，提得非常好。誰(shuí)來(lái)幫他解決一下這個(gè)問(wèn)題。S:因?yàn)槔渻深^一樣長(zhǎng)，留出一段就能保證兩個(gè)拉鏈差一段。T:非常好！這正好符合郭新定理的條件。同學(xué)們觀察。拉鏈兒的頭產(chǎn)生了什么樣的曲線？S:雙曲線。T:看來(lái)我們的“郭新猜想”是存在曲線，而且是雙曲線。真?zhèn)ゴ蟀?！老師再用幾何?huà)板給大家動(dòng)態(tài)生成一遍。大

6、家仔細(xì)觀察屏幕上的數(shù)據(jù)。哪些量在變？哪些量沒(méi)變？S:在曲線的生成過(guò)程中，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離差是一個(gè)定值。但為什么該定值一會(huì)兒正，一會(huì)兒負(fù)呢？T:問(wèn)的很棒，誰(shuí)來(lái)幫他解決這個(gè)問(wèn)題。S:因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)在右邊的曲線上時(shí)，大于的距離。所以差是一個(gè)正數(shù)。而到左邊時(shí)，小于的距離，距離是一個(gè)負(fù)數(shù)。T:解釋的非常好。這兩種情況能不能合二為一呢？S:可以。將兩個(gè)式子平方。T:行，不夠簡(jiǎn)潔。S:加絕對(duì)值。T:那同學(xué)們你們看好哪個(gè)？S:加絕對(duì)值。T:我也是，看來(lái)只有加上絕對(duì)值這個(gè)法制條件才能形成兩條完美的曲線。那誰(shuí)根據(jù)以上的分析來(lái)給雙曲線下個(gè)定義呢。S:平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值是一個(gè)常數(shù)，點(diǎn)的軌跡就是雙曲線。T:不

7、愧為文科生，歸納的非常不錯(cuò)。同學(xué)們看該定義完美嗎？你認(rèn)為還有哪些地方需要修改。S:我認(rèn)為，差值2a應(yīng)該小于2c， T:為什么呢？S:因?yàn)槿切蔚膬蛇呏钜∮诘谌?。T:非常好。那同學(xué)們誰(shuí)還有疑問(wèn)呢？S:那2a等于2c。那是什么樣子？T:同學(xué)們誰(shuí)來(lái)幫忙，解決一下他的問(wèn)題。S:我想應(yīng)是兩條射線。T:老師用電腦演示一下當(dāng)2a等于2c時(shí)的軌跡！看來(lái)當(dāng)2a接近2c的時(shí)候雙曲線的開(kāi)口是逐漸變小的，這也是下節(jié)課要解決的關(guān)于離心率的內(nèi)容。最后，形成兩條射線！S: 那2a大于2c。，還會(huì)有曲線呢？T:好！誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)自己的想法？S:沒(méi)有，兩邊之差不可能大于第三邊。T:很好！現(xiàn)在，我們把雙曲線的定義以及注意事項(xiàng)，都

8、解決了。那同學(xué)們?cè)诂F(xiàn)實(shí)生活中見(jiàn)過(guò)雙曲線嗎？S:見(jiàn)過(guò)?？蓸?lè)瓶子的剖面圖T:老師搜集了一些關(guān)于雙曲線的圖片咱們欣賞一下。圖2，工業(yè)上的冷卻塔，是物理學(xué)中的流體力學(xué)與雙曲線的完美結(jié)合。圖3，北京采用雙曲線交通結(jié)構(gòu)來(lái)緩解道路擁擠。圖4，天體中某些彗星的運(yùn)行軌跡也是雙曲線。圖5，建筑學(xué)中雙曲線的應(yīng)用更廣泛了。比如，法國(guó)巴黎的埃菲爾鐵塔。還有各國(guó)的標(biāo)志性建筑，都是雙曲線形結(jié)構(gòu)。T:看來(lái)雙曲線被廣泛地應(yīng)用在我們現(xiàn)實(shí)生活中。那你想不想更深入的了解雙曲線呢！說(shuō)說(shuō)你還想知道有關(guān)雙曲線的哪方面知識(shí)呢？S:方程和性質(zhì)。T:同學(xué)們想法非常多。今天，老師先和大家一起探討一下雙曲線的方程。那怎樣去求雙曲線的方程呢！S:建系

9、，設(shè)點(diǎn)，列式，化簡(jiǎn)，檢驗(yàn)。T:非常棒！同學(xué)們看看這么優(yōu)美的曲線，這么好對(duì)稱的結(jié)構(gòu)，你想怎么建系??？S:以F1,F2所在的直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，T:非常好，建完坐標(biāo)系，自然，點(diǎn)的坐標(biāo)就出來(lái)了。那誰(shuí)來(lái)列限制條件呢！S: ，但我不會(huì)去掉絕對(duì)值。T:看來(lái)，絕對(duì)值是一個(gè)攔路虎。那如何去掉絕對(duì)值呢？S:平方。T:理想很好，道路崎嶇。還有捷徑了？S:利用定義去掉絕對(duì)值。改為正負(fù)即可。T:說(shuō)的很精彩！解決了攔路虎，剩下的就自己去做吧！類似于橢圓方程的化簡(jiǎn)，去化簡(jiǎn)一下這個(gè)式子。T:教師巡視學(xué)生化簡(jiǎn)情況。T:哪位同學(xué)上來(lái)把自己化簡(jiǎn)結(jié)果寫(xiě)在黑板上。好數(shù)學(xué)課代表來(lái)吧！S: 板書(shū)：T:我們

10、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中等號(hào)的右邊等于幾?。縎:等于1。T:我們也把這個(gè)式子等號(hào)右邊變成1。出現(xiàn)了一個(gè)熟悉的式子， S: 令，得出：得到了焦點(diǎn)在x軸上， 標(biāo)準(zhǔn)方程為，T:很好！類似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程誰(shuí)能給出焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢！S: 類比橢圓：只需交換方程中的，得到焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程為（其中，）.T:同學(xué)們看電腦屏幕。填一下學(xué)案中的表格。T:首先我們來(lái)解決第一個(gè)問(wèn)題，通過(guò)方程如何來(lái)判斷與。S:不好確定T:我們要區(qū)別兩件事物。首先要重點(diǎn)觀察。他們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)是什么。舉個(gè)例子，你們?cè)谧奈迨鄠€(gè)人，如果有一個(gè)人長(zhǎng)了三只眼，我會(huì)第一眼就記住他。我們看這兩個(gè)方程，看看有什么異同 ？S:結(jié)構(gòu)相同，

11、但x與y的位置不同。T:誰(shuí)來(lái)總結(jié)？S:這兩個(gè)方程都是，焦點(diǎn)在x軸上，就將x填前面，否則填后面。T:很棒，誰(shuí)來(lái)總結(jié)一下，通過(guò)方程如何來(lái)判斷焦點(diǎn)的位置呢？S: 看與的系數(shù)誰(shuí)正，焦點(diǎn)就在那個(gè)軸上！T:總結(jié)的非常好。橢圓看大小，雙曲線看正負(fù)。我們對(duì)郭新猜想取得了階段性的勝利，現(xiàn)在我們來(lái)小試一下牛刀。S:學(xué)生完成例題T:（總結(jié)）咱們到目前為止學(xué)了兩種曲線，橢圓和雙曲線。有人稱他們?yōu)閷\生曲線。因?yàn)樗麄冇性S多相同點(diǎn)。但也有很多不同點(diǎn)，今天老師就和同學(xué)們一起總結(jié)一下雙曲線和橢圓的異同點(diǎn)。我們一起來(lái)完成這個(gè)表格。S:學(xué)生完成T:橢圓和雙曲線，是一對(duì)孿生的姐妹。他們除了外形不像以外。他們的性格也迥然相反。特別在，追求男朋友的觀點(diǎn)上，更是不同，姐姐橢圓焦點(diǎn)放在高大帥上。而妹妹雙曲線則把焦點(diǎn)放在交往具有正能量的男朋友上。也就是說(shuō)“橢圓焦點(diǎn)看大小雙曲線焦點(diǎn)看正負(fù)”。T:今天，我們這節(jié)課的最重要的思想有三個(gè)。兩個(gè)三星級(jí)的思想：一是，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法，“大膽猜想，小心求證”。這個(gè)思想非常重要，你要想在學(xué)術(shù)上標(biāo)新立異，你要想有創(chuàng)新，你就得大膽的去猜想。但在求證的道路上，要謹(jǐn)慎。而且漫長(zhǎng)，