4升58容斥原理之重疊問題

1、 第八講：容斥原理之重疊問題 一、 導(dǎo)入 文氏圖 文氏圖，也叫“維恩圖”，是由英國著名數(shù)學(xué)家 Venn 發(fā)明的維恩（公元 1834 年 8 月 4 日公元 1923 年 4 月 4 日）十九世紀(jì)英國著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，生于英國赫爾他 1883 年獲得理學(xué)博士學(xué)位，同年被選為英國皇家學(xué)會會員維恩最主要的成就是系統(tǒng)解釋并發(fā)展了幾何表示的方法，也就是發(fā)明了文氏圖他作出一系列簡單閉曲線（圓或更復(fù)雜的圖形），將平面分為許多間隔利用這種圖表，維恩闡明了演繹推理的基本原理為了進(jìn)一步明確起見，他還引入了一些數(shù)學(xué)難題作為實例雖然在維恩之前，萊布尼茨（Leibniz）已系統(tǒng)地運用過這類邏輯圖，但今天這種邏輯圖仍

2、稱作“維恩圖”另外，維恩在概率論和邏輯學(xué)方面也有很大貢獻(xiàn)，他的著作機(jī)會邏輯和符號邏輯，在 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初曾享有很高的聲譽除了數(shù)學(xué)以外，維恩還有一項較為特別的技能制作機(jī)器他曾制作過一部板球發(fā)球機(jī)，當(dāng)澳洲板球隊在 1909 年到訪劍橋大學(xué)時，維恩的機(jī)器依然運作正常，并使他們其中一位成員打空四次什么是容斥原理？這一講我們主要學(xué)習(xí)和“包含”與“排除”有關(guān)的問題，這樣的問題在生活中就有不少，比如吃瓜子我們說吃掉了一斤瓜子，指的是帶殼的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因為這一斤中還“包含”著瓜子殼如果要計算到底吃了多少，最簡單的方法就是稱一稱瓜子殼，用原來的一斤“排除”掉瓜子殼的重量瓜子的例子相

3、對簡單，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子殼，兩者各不相關(guān)但本講要學(xué)習(xí)的包含與排除問題要復(fù)雜一些，各部分之間會有重疊比如一個辦公室中每個人都至少愛喝茶或咖啡中的一種，已知有 7 個人愛喝茶，10 個人愛喝咖啡，那能不能就說辦公室里有 17 個人呢？顯然不能，因為可能有一些人既愛喝茶也愛喝咖啡，如果直接將喝茶的人數(shù)和喝咖啡的人數(shù)相加，會把既愛喝茶又愛喝咖啡的人計算 2 次，計算人數(shù)的時候要把這一部分減去才行比如，如果有 3 個人既愛喝茶又愛喝咖啡，那總的人數(shù)就應(yīng)該是 7 + 10 3 = 14 人這就是我們今天要來研究的問題有重疊的計數(shù)問題，即包含與排除問題研究這種問題通常需要畫出示意圖

4、，這樣的示意圖又叫做文氏圖，下面我們就用文氏圖推導(dǎo)兩個對象的容斥原理公式兩個量之間的重疊例1、某班有34名同學(xué)參加了學(xué)校的運動會，其中有17名參加了跳繩，有20 名參加了拔河，問：及參加了跳繩又參加了拔河的又多少人？如右圖所示，如果要計算三個部分的總數(shù)，直接計算 A+B 就會算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的減掉就可以了上述分析總結(jié)成公式就是：這個公式就是兩個對象的容斥原理17+20-34=37-34=3（人）答：即參加跳繩又參加拔河的同學(xué)有3人。練一練1、五年級有 122 名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課的成績是優(yōu)秀，其中語文成績優(yōu)秀的有 65 人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有 87

5、人語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ 2、 在一次數(shù)學(xué)測試中有兩道題全班同學(xué)都至少答對一題，答對第一題的有33人，答對第二題的又38 人，兩題都答對的又15 人，問全班又多少人？3、學(xué)校文藝組每人至少會演奏一種樂器。已知會拉手風(fēng)琴的有24人，會彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會的有8人，這個文藝組一共有多少人？挑戰(zhàn)思維1、為了參加一次競賽，某班46人中，每人至少參加一項。其中有20人參加語文興趣小組，參加語文同時又參加數(shù)學(xué)興趣小組的有2人，兩項都沒有報的有10 人，那么參加數(shù)學(xué)興趣小組的有多少人？換個思路想一想至少報一項的有多少人？三個量之間的重疊1、某單位元旦期間組織旅游，每人至少說出一個想去的

6、地方。其中想去海南的有42人，想去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三個地方都想去的有4人。問這個單位一共有多少人？（42=44+36）-12-8-10+4=122-（12+8+10）+4=122-30+4=96（人）答：這個單位一共有96 人。方法總結(jié)：（1） 三個量的重疊問題中，如果是全部參與，則總?cè)藬?shù)等于參加三項的人數(shù)和減去同時參加兩項的人數(shù)和，再加上同時參加的三項人數(shù)。（2） 三個量的重疊問題中，如果是部分參與，則總?cè)藬?shù)等于至少參加一項的人數(shù)和三項都沒有參加的人數(shù)和，如果都參加了，總數(shù)等于三

7、個量的和減去兩兩重疊的部分，在加上三個量重疊的部分。公式：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc部分參與公式：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc+d（d是三項都沒有參加的人數(shù)）練一練1、學(xué)校對150名大學(xué)生做關(guān)于業(yè)余生活的調(diào)查，統(tǒng)計到喜歡看電影的有63人，喜歡玩球的有66人，喜歡讀書的有54人，既喜歡看電影又喜歡玩球的有18人，既喜歡玩球又喜歡讀書的有12人，既喜歡看電影又喜歡讀書的有15人.問：三種都喜歡的有多少人？2、在校園藝術(shù)活動中，五（2）班的同學(xué)參加了美術(shù)和聲樂比賽。參加美術(shù)比賽的有25人，參加聲樂比賽的有20人，兩項都參加的有12人，兩項都沒有參加的有10人

8、。五（2）班一共有多少人？挑戰(zhàn)競賽3、學(xué)校舉行運動會。四年級共有60名同學(xué)，其中參加百米賽跑的有21人，參加投擲的有26人，即參加百米有參加跳遠(yuǎn)的有12人，即參加跳遠(yuǎn)有參加投擲的有9人，即參加百米有參加投擲的有14人，三項都參加的有5人，三項都沒有參加的有12人，問參加跳遠(yuǎn)的有多少人？重疊問題中的極值問題1、40人參加某次晚會，其中28 人在晚會上唱了歌，25人在晚會上跳舞，那么即唱歌有跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？換個思路想一想要使人數(shù)最多則重疊最多，怎么畫圖才可以重疊最多呢？要使人數(shù)最少，可以圖形不重疊嗎？最多：25人最少:(28+25)-40=13人答：最多25 人最少13 人。方

9、法總結(jié)：兩個量的極值中，兩項都參加的人最多，就是較少的一項；兩項都參加的人數(shù)最少，就是求重疊部分。練一練換個思路想一想最多56人還是75 人，最少是0人嗎？為什么？1、 某校100名學(xué)生中，愛好音樂的有56人，愛好美術(shù)的有75人，那么即愛好音樂有愛好美術(shù)的最多有多少人？最少有多少人？2、 某班30 名同學(xué)。在一項測試中，答對一題的有19 人，答對2題的14 人，那么兩題都答對的最多有多少人？最少有多少人？挑戰(zhàn)思維3、希望小學(xué)音樂興趣小組有37 人，其中20人會手風(fēng)琴，16人會鋼琴，24人會電子琴，即會手風(fēng)琴又會鋼琴的8人，即會電子琴又會鋼琴的10人，即會手風(fēng)琴又會電子琴的8人，那么三種都 不會

10、的至少多少人？換個思路想一想根據(jù)：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc+d若要d最大，則abc必須怎么樣？方法總結(jié)：兩個量的極值中，兩項都參加的人最多，就是較少的一項；兩項都參加的人數(shù)最少，就是求重疊部分。三個量的極值中，如果要不參加的最多，就要參加的盡量少。家庭作業(yè)1、 一個班有48人，班主任在班會上問：“誰做完語文作業(yè)?請舉手!”有37人舉手。又問：誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)?請舉手!”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)沒有做完?”沒有人舉手。求這個班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)是_人。2、某個班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個項目的測試，有4名學(xué)生在這三個項目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其

11、余每人至少有一個項目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項目、人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球1718156652求這個班的學(xué)生數(shù)？3、某班共有30名男生，其中20人參加足球隊，12人參加藍(lán)球隊，10人參加排球隊。已知沒一個人同時參加3個隊，且每人至少參加一個隊，有6人既參加足球隊又參加藍(lán)球隊，有2人既參加藍(lán)球隊又參加排球隊，那么既參加足球隊又參加排球隊的有多少人？4、班有46人其中會彈琴的有30人，會拉小提琴的有28人，則這個班級會彈琴又會拉小提琴的至少有多少人？5、某班同學(xué)中，有26人愛打籃球，17人愛打排球，19人愛踢足球，有9人既愛打籃球又愛踢足球，有4人既愛打排球又愛踢足球，有7人既愛打籃球又愛打排球，沒有一個人三種球都愛玩，也沒有一個人三種球都不愛玩，問：這個班共有多少學(xué)生？6、某班有45名同學(xué)，其中22名同學(xué)參加科技興趣小組，27名同學(xué)參加